立体几何解答题专题练-2025届高三数学一轮复习

立体几何解答题 1．如图，平行六面体中，底面与平面都是边长为2的菱形，，侧面的面积为. (1)求平行六面体的体积； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，且是边长为2的等边三角形，且平面平面为中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求的值，若不存在，请说明理由. 3．在等腰梯形ABCD中，，，，，M为AB中点，将，沿MD，MC翻折，使A，B重合于点E，得到三棱锥．    (1)求ME与平面CDE所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 4．如图，已知底面为平行四边形的四棱锥中，平面与直线和直线平行，点为的中点，点在上，且. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求作过作四棱锥的截面，使与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形. 5．已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若为的中点 ①求与平面所成角的正弦值； ②求二面角的平面角的余弦值． 6．如图，四棱锥中，四边形是边长为2的菱形， （1）证明：平面平面； （2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求直线与平面所成角正弦值. 7．如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点． (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离． 8．如图，平行六面体中，点P在对角线上，，平面平面． (1)求证：O，P，三点共线； (2)若四边形是边长为2的菱形，，，求二面角大小的余弦值． 9．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现九章算术中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）. (1)若O是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求平面与平面所形成的锐二面角的余弦值. 10．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.    (1)若为的中点，证明：平面平面； (2)若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值. 11．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点． (1)求证：平面； (2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值． 12．“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，四边形是边长为3的正方形，，． (1)证明：四棱锥是一个“阳马”； (2)已知点在线段上，且，若二面角的余弦值为，求的值． 参考答案 1．(1) (2) （1）连接，， 因为底面与平面均为菱形，且， 所以与均为等边三角形， 取AB的中点，连接，，则，，则， 因为侧面的面积为， 所以的面积为，则， 所以，则. 在中，，则， 所以，所以. 因为，平面， 所以平面， 故平行六面体的体积. （2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 由得取，则. 设平面的法向量为，， 由得取，则， 于是. 设平面与平面的夹角为， 所以. 2．(1)证明见解析 (2)存在， （1） 证明：在中，由， 得， 即，所以 由平面，平面平面，且平面平面 得平面 （2） 由（1）得平面，所以， 在等边三角形中，为中点，所以， 即两两互相垂直，则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，又，所以， 则， 所以，设， 则，得到， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，又， 由，令，得， 所以， 又一面角的大小为， 所以，得到， 又，解得， 所以存在点使二面角的大小为，且 3．(1) (2) （1）在三棱锥中，取CD中点为Q， 过点M作直线EQ的垂线交直线EQ于点H，      因为ABCD为等腰梯形，且M为AB中点，则，， 可知，，且EQ，平面MEQ，， 则平面MEQ，且平面MEQ，可得， 可知，，，CD，平面CDE， 则平面CDE，可知即为所求线面角， 在等腰梯形ABCD中，已知，，， 可求出，，， 可得， 且，则， 所以直线ME与平面CDE所成角为. （2）以H为原点，，，为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 可得，， 设平面MEQ的法向量为，则， 取，则，可得， 且平面CDE的法向量为， 可得， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 4．(1)证明见解析 (2)答案见解析 （1）∵平面，平面，平面平面，∴ ∵平面，平面，平面平面，∴ ∴， ∵平面，平面，平面平面，∴ ∵平面，平面，平面平面，∴ ∴， ∴四边形是平行四边形. （2） 如图，延长，与交于点，过点作直线,则直线为平面和平面的交线，延长，交于点，连接，与交于点，连接.∵点为的中点，点为的中点,∴是的一条中位线∴，又∵平面,平面,∴截面. 故平面即为所求截面. 5．(1)证明见解析 (2)①；②． （1）因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为,，，平面，所以平面． （2）①过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面．因为平面，所以． ，所以平面， 所以就是与平面所成角的平面角． 由（1）知，平面，平面，所以． 在中，，，， 因为为的中点，所以． 在中，， 在中，， 在中，， 所以由同角三角函数的基本关系得． 所以与平面所成角的正弦值为． ②取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，所以平面，平面． 所以． 过点作，垂足为，连接，，，平面， 所以平面．平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，，由（2）知，， 即，解得． 因为平面，平面，所以． 在中，． ， 所以二面角的平面角的余弦值为． 6．（1）见解析（2） （1）过D作，垂直为O，连接， 在中，，，可得， 在中， 由余弦定理可得， 所以， 因为，所以为等边三角形，所以， 所以，可得，又由，且， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，以O为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系 设，则，，，， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，， 平面的法向量为， 由，解得 因为平面，所以为与平面所成的角，所以， 即直线与平面所成角正弦值. 7．(1)证明见解析 (2)或 （1）由题设，平面，又是切线与圆的切点， ∴平面，则，且， 又，∴平面， 又平面，所以平面平面. （2）作，以为原点，以、、为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 且， 又，可得， ∴，，， 有，，， 设是面的一个法向量，则， 令，则， 又直线与平面所成角的正弦值为， 即， 整理得，即，解得或 当时，，，， ， ，， 设是面的一个法向量，则， 令，则， 所以点A到平面的距离 当时，，，， ， ，， 设是面的一个法向量，则， 令，则， 所以点A到平面的距离 综上，点A到平面的距离为或. 8．(1)证明见解析 (2) （1）证明：连交于，连． 在平行六面体中，且， 所以四边形是平行四边形，且， 又O，分别为BD，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，于是， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为，都经过点O，所以O，P，三点共线． （2）解：由（1）可知，所以． 作平面于Q，于E，于F，连，，， 则，，由，得， 又，平面，所以平面， 于是，同理， 又，， 所以，则， 所以点Q在上，且，所以点Q与O重合，于是． 以点O为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，于是， 又，所以，， 设平面的法向量为， 则，于是可得， 不妨令，则， 平面的一个法向量为， ， 又结合图形易得二面角为锐角， 所以二面角大小的余弦值为． 9．(1)证明见解析 (2) （1）取线段中点H，连接、， 由图1可知，四边形是矩形，且， 是线段与的中点，且， 在图1中且，且. 所以在图2中，且， 且， 四边形是平行四边形，则， 由于平面，平面，平面. （2）由图1，，，折起后在图2中仍有，， 即为二面角的平面角，. 以E为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 由，得， 取，则，， 于是平面的一个法向量， ， 平面与平面所形成的锐二面角的余弦值为. 10．(1)证明见解析 (2) （1）取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则， 又，则， 且，平面，平面， 根据线面垂直的判定定理，得平面， 平面，. 由，则，又，为梯形的两腰，则与相交， 平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点为Q，由，， 则，， 因此△为等边三角形，. 由（1）知平面，，，两两垂直， 如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，    由，，则， ，，，， 由， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 由 取，得，，得. 设平面的一个法向量为， 由 取，得，， 即平面的一个法向量为. 记平面与平面夹角的大小为， 所以，化简得，即，所以实数的值为. 11．(1)证明见解析 (2) （1）因为平面平面，所以， 因为与平面所成的角为平面， 所以，且，所以， 又为的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面． （2）因为底面为正方形，为的内心， 所以在对角线上． 如图，设正方形的对角线的交点为， 所以， 所以， 所以， 所以，又因为，所以． 由题意知两两垂直，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 所以，由（1）知， 所以， 所以． 又因为平面，所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为， 则． 12．(1)证明见解析 (2) （1）四边形是正方形，， ，，平面， 平面， 平面，， 四边形是正方形，， ，，平面. 平面， 平面，， ，平面， 平面， 四棱锥是一个“阳马”； （2）由（1）得平面，平面，， ，，， 以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，，， 所以， 设，， ，，， 即，所以， ，， 设是平面的一个法向量，则， ，令，则，， 设是平面的一个法向量，则， ，令，则，， ，或（舍去）. 学科网（北京）股份有限公司 $$