四川省自贡市第一中学校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题

自贡市第一中学校2024-2025学年度上期高二年级期末调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟。 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求. 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．设向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于（    ） A．5 B．2 C． D． 4．过点的直线与圆相交于两点．记直线的斜率等于，．则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 6．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 7．直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 8．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A．] B． C． D． 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（   ） A．，互为互斥事件 B．与互为互斥事件 C． D．与互为对立事件 10．已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线与圆不一定相交 B．当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C．当时，圆关于直线对称的圆的方程是 D．当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时， 11．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（   ） A．直线与是平行直线 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 13．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则 ． 14．已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为 . 四、解答题;本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题13分）已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16．（本题15分）已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． (1)求圆C的标准方程； (2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17．（本题15分）某校食堂对新推出的套餐的满意度进行测评，满分为60分，在参与评分的学生中随机抽取了100人的评分数据进行整理，将分数以10为组距分成6组：，得到套餐评分的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计该套餐评分的中位数和平均值． (2)在抽样的100人中，从对套餐评分在的学生中随机选出3人，求3人中至少有2人评分在的概率． 18．（本题17分）四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，E是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19．（本题17分）已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. (1)求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； (2)为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； (3)斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A A C D D A BD AD 题号 11 答案 BCD 12．或 13．2 14． 15．（1）由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16．（1）首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17．（1）在分数频率分布直方图中，矩形面积之和为1， 所以， 所以， 该套餐评分的平均值为 ， 设该套餐评分的中位数为， 因为四组的频率为 ， 又五组的频率为 ， 所以该套餐评分的中位数在内， 则，解得， 即设该套餐评分的中位数为. （2）在抽样的100人中， 评分在的学生人数为， 评分在的学生人数为， 则对套餐评分在的学生人数为5， 所以从对套餐评分在的学生中随机选出3人有 种， 3人中至少有2人评分在范围内的选法有种， 所以3人中至少有2人评分在的概率. 18．（1）连接，交于点，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）因为底面，平面，平面， 所以，，又，所以两两垂直； 因此以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面DEB的一个法向量， 则，设，则，则， 因为，，，平面， 所以平面，因此，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19．（1） 如图所示，由 两式相减， 化简得． 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， 解得, 圆方程为. （2）如图，根据切线长公式,， 因为，所以，即， 设，则， 化简得， 点Q的轨迹方程 （3） 如图：设直线的方程为，且设. 由得， 显然，且. 分别过作轴，轴，折叠后， 可知, 由，所以, ， 又由 由 , ， 综上:的值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$