云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

高二年级数学试题卷·第1页 (共 6页) 2024~2025 学年高二年级上学期期末考试 数学 试题卷 考试用时：120 分钟 试卷满分：150 分 注意事项： 1. 本卷为试题卷。考生解题作答必须在答题卷(答题卡)上。答案书写在答题卷(答题卡)相应位置(不 能改动答题卡上的标题题号)，在试题卷、草稿纸上作答无效。 2. 考试结束后，请将试题卷和答题卷(答题卡)一并交回。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. 已知向量 ( ) ( )2 3,1 , 1,4a b= − = −, 0, ，则 2 3a b+ = （ ） A. ( )4,6,14− B. ( )4,0,6− C. ( )4,3,6− D. ( )4,3,14− 2. 直线 3 2 0x y+ − = 的倾斜角为 （ ） A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  3. 已知等比数列 na 满足 2 62, 6a a= − = − ，则 4a 的值为 （ ） A. 4− B. 2 3 C. 2 3− D. 2 3 4. 若双曲线 2 2 2 2 : 1 x y C a b − = 离心率为 2 ，过点 ( )2, 3 ，则该双曲线的方程为（ ） A． 2 22 1x y− = B． 2 2 1 3 y x − = 高二年级数学试题卷·第2页 (共 6页) C． 2 25 3 1x y− = D． 2 2 1 2 6 x y − = 5. 如图,在四棱锥 P ABCD− 中,四边形 ABCD是平行四边形, F 是棱 PD的中点,且 2BE EC= ,则 EF = （ ） A． 1 1 2 6 AP AB AD− − B． 1 1 2 6 AP AB AD− + + C． 1 1 2 6 AP AB AD− + D． 1 1 2 6 AP AB AD− + − 6．已知两等差数列 na , nb ,前 n项和分别是 nA , nB ,且满足 4 9 3 n n A n B n = + ,则 10 10 a b =（ ） A． 40 93 B． 38 87 C． 17 42 D． 32 81 7. 如果直线 4ax by+ = 与圆 2 2 4x y+ = 有两个不同的交点,那么点 ( ),P a b 与圆的位置关系是 ( ) A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．P与圆的位置关系不确定 8. 已知抛物线 2 4y x= 的焦点为 F，过原点 O的动直线 l交抛物线于另一点 P，交抛物线的 准线于点 Q，下列说法错误的是 （ ） A．若 O为线段 PQ中点，则 2PF = B．若 4PF = ，则 21OP = C．存在直线 l，使得 PF QF⊥ D．△PFQ面积的最小值为 2 高二年级数学试题卷·第3页 (共 6页) 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，三个答案的部分选对每个得 2 分，两个答案的部分选对的 每个得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 已知曲线 2 2 : 1 x y C m n + = . （ ） A. 若 1, 1m n= = − ，则曲线C 的离心率为 2 B. 若 0m n  ，则C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 C. 若 0mn  ，则C 为双曲线，其渐进线方程为 n y x m =  − D. 若 0m n=  ，则C 是圆，其半径为 m 10. 已知数列 na 的前 n项和 2 2nS n n= + （ ） A. 数列 1 nS       的前 10 项和为 11 24 B. 2 1na n= + C. 数列 2 8na − 的前 10 项和为 160 D. 1 2 2 3 3 4 11 12 8 12 16 48 22 75a a a a a a a a − + − − =… 11. 如图,正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中正四面体 1 1A BDC− 的棱长为 2,则下列说法正确的是 ( ) A．异面直线 1A B与 1AD 所成的角是 3  B． 1BD 平面 1 1AC B C．平面 1ACB 截正四面体 1 1A BDC− 所得截面面积为 3 2 D．正四面体 1 1A BDC− 的高为 2 6 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 两条平行直线3 4 2 0x y− − = 与6 8 1 0x y− + = 间的距离为: _____________ 13. 已知圆O经过点 ( )2, 2M − 及圆 2 2 06x y x+ =− 与圆 2 2 4x y+ = 交点.则圆O的方程为: _____________ 高二年级数学试题卷·第4页 (共 6页) 14. 在平面四边形 ABCD中， 1, 30 , 120AB AC CD ADC DAB= = =  =   = ，将 ACD沿 AC 翻折至 ACP，其 P 中为动点.当PC AB⊥ 时，三棱锥P ABC− 的各个顶点都在球O的球 面上，则球O的体积为：____________ 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字 说明、证明过程演算步骤。 15. （13 分） 已知数列 na 是首项为1，公差大于 0 等差数列, 且满足 1 2 5, ,a a a 成等比数列. （1）求数列 na 的通项公式；. （2）设 + 1 , , N . 3 , k n k k k k n a b k a n a + = =    求数列 nb 的前 20 项和 20S 16. （15 分） 已知圆M 经过点 ( ) ( )1,2 , 6,3A B− ，且圆心在 2 0x y+ − = 上. （1）求圆的方程； （2）已知直线 l经过点 ( )2, 2− ,直线 l与圆M 相交所得的弦长为8，求直线 l 的方程. 高二年级数学试题卷·第5页 (共 6页) 17. （15 分） 在四棱锥 P ABCD− 中, PD ⊥底面 ABCD , ,CD AB∥ 120BCD =  , 1,AD DC CB= = = 3DP = . （1）求证： BD PA⊥ （2）求 PD与平面 PBC 所成角的正弦值； （3）求平面 PBC 与平面 PAB的夹角的余弦值. 18. （17 分） 已知数列 na 的首项 1 3 5 a = ，且满足 1 3 2 1 n n n a a a + = + ． （1）求证：数列 1 1 na   −    为等比数列． （2）求数列 na 的通项公式； （3）若 1 2 3 1 1 1 1 100 na a a a + + + +  ，求满足条件的最大整数 n． 高二年级数学试题卷·第6页 (共 6页) 19. （17 分） 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y E a b a b + =   过点 ( )4,0A − ,且离心率为 3 2 .直线 l 经过点 ( )4, 4M − − （1）求椭圆 E 的方程； （2）当直线 l与椭圆 E 相切时，求两切点所在的直线方程 （3）若直线 l与交于 E 不同两点 ,C D ，动直线 x t= 与直线 ,AC AD分别交于点R 和 S .Q 为线段 RS 的中点，求 | |MQ 的最小值。 2024~2025学年高二年级上学期期末考试 数学参考答案及评分标准 一、 单选题；二、多选题 题号 1 2 3 6 8 9 10 11 答案 0 D C B ACD BD ACD 三、填空题 题号 12 13 14 答案 1 x2+y2-3x-2=0 55z 6 四、解答题 15.解析：(1)设数列{a}的公差为d,因为a,a,a,成等比数列，所以aa,=a 即1+4d=(1+d)2；解得d=2(d=0舍去) .3分 所以an=2n-1;4分 (2)由题意可知：a4<a+1<ak, 5分 ①.当n=a影时，b=k,则b。=n,bm1=n；…7分 ②.当n=a4+1时，b+1=3*，则bH=3”,b2n=3”: 9分 所以S20=么+b2+6+…+b0=(+6++)+(+b++b0) =(1+2+…+10+(3+32+…+30) 10:0+10+30-30 2 1-3 107+34 2 e …12分 故数列{b,}的前20项和S。= 107+3" -13分 2 高二年级鼓学参考答案及评分标准·第1页（共6页） 16.解析：设圆M的方程为x2+y2+Dx+y+F=0, 因为圆M经过点A(-1,2),B(6,3),且圆心在直线x+y-2=0上， 5-D+2E+F=0 D=-6 依题意有45+6D+3E+F=0 解得： E=2 …4分 DE-2=0 F=-15 22 所以圆M的方程为(x-3)+(y+1)=25. …6分 (2)设圆心到直线1的距离为d,则弦长L=2V2-d=8, 即V25-d2=4,得d=3.…8分 当直线的斜率不存在时，d=5≠3，所以直线的斜率存在.…10分 设其方程为y-2=k(x-2),即x-y+2k+2=0 d=B张+1+2k+2=3,解得k=0,k=-15 …13分 V1+k2 8 所以所求直线1的方程为y=2或15x+8y+14=0.…15分 17.解析：(1)由题可知：在底面ABCD中，因为∠BCD=120°，CD=CB=1,所以BD=√3 又因为CD∥AB,AD=BC=1,所以∠DAB=60°。 由余弦定理可得：AB=2,即AD⊥BD …2分 因为PD⊥底面ABCD,BDC面ABDC.所以PD⊥BD. 于是有：PD⊥BD,AD⊥BD,PDOAD=D,所以BD⊥面PAD…4分 而ADC面PAD,所以BD⊥PA …5分 (2)分别以DA,DB,DP为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系： 可得：naao,4ao,.sood50Paa同j 高二年级数学参考答案及评分标准·第2页（共6页） m-aa西90m-aaj,m-aj.…7分 设平面PBC的法向量为n=(x,,): 1 则有： CB-n= +2y=0,取i=(5-1-) …9分 PB.n=3y32=0 则直线PD与平面PBC所成角的正弦值：sinO 5 …11分 DP. (3)由(2)可知平面P8C的法向量为n=（5,-1,: 设平面PAB的法向量为m=(x2,y2,22): PA.n=x-z=0 则有： 取m=5,1 …13分 PB.n=3y-√3z,=0 一 所以平面PBC与平面PAB的夹角的余弦值为：cOsB= m-n1 …15分 5 D 18解析：()由愿意，数列a,满足“26+，可得 1=2a+1-1.1+2 da 3d 3 d 3' 可得 1-1=51+名-1=-，即8 dmn 3 d 33 d 1-13' …3分 a 高二年级鼓学参考答案及评分标准·第3页（共6页） 又由4=所以1= 3 a 3 所以数列 -表示首项为号，公比为写的等北数L…6分 2)由①可得1-号付=2，所以女号付r=2…8分 3" 所以a.=3"+2 …10分 (3)设数列 的前n项和为S。, 则=+++…+ aa2aan33232…×、7 -=20 1,1,1 - +n=n+1- 39, …13分 1- 3 若S,<100,即n+1- <100, 3 因为函数y=+1-为单调递增函数。 …15分 所以满足S。<100的最大整数n的值为99. …17分 a=4 a=4 19.解析：(1)由题可知： e=-5 解得 {c=2√5： …2分 a 2 a2=b2+c2 b=2 所以椭圆E的方程为： …3分 164 (2)由题易知：x=一4是椭圆的切线，切点为(-4,0). …4分 设另一条切线为y=+m,切点为P(xp,y,).且有：m=4+4. 高二年级鼓学参考答案及评分标准·第4页（共6页） y=kx+m 联立 消去y,得：（1+4k2)x2+8kr+4m2-16=0 164 △=(8m)°-4(（1+4k2）(4m2-16)=1616k2-m2+4=0,即m2=16k2+4…7分 3 k= 联立： m2=16k2+4 8 解得： m=4k+4 2 12 8km 所以2x,=1十状，解得： 5 8 yp=- 所以直线的斜率k=3,m= 8 2 故切点所在直线方程为：x+4y+4=0…9分 综上所述：两切点所在的直线方程为x=一4或x+4y+4=0.…10分 (3)设直线CD的方程为y=+m.且有：m=4+4k.其中C(x,片)，D(x2,2) 8km32k-32k2 X+X2= 由(2)可知： 1+4k21+4k2 …12分 4m2-1664k2-128k+48 1+4k2 1+4k2 直线4C的方程为：y=六(+4).得，=_亿+4+4-4 x+4 ,+4 +4 同理，可得人，=+9_+4)+4h-4) …14分 x2+4 x2+4 因为Q是RS中点， 高二年舰鼓学参考答案及评分标准·第5页（共6页） 因为1+1 。x+x2+84k+1 x+42+4x2+4(x+x2)+168 所以2y0=-1 1+4xo+4 22 二.点0的轨迹方程为：x+4y+4=0.…16分 所以1MQL=4+16+4.16正 V1+4217 …17分 高二年级鼓学参考答案及评分标准·第6页（共6页）