北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

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2025-01-22
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第 1页,共 9页 2024-2025 学年北京市北京师范大学附属实验中学高二上学期期末考试 数学试题 一、单选题:本大题共 10 小题,共 50 分。 1.在空间直角坐标系� − ���中,点� 2, − 3,1 关于原点对称的点的坐标为( ) A. −2, − 3, − 1 B. 2,3, − 1 C. −2,3,1 D. −2,3, − 1 2.已知直线�的一个方向向量为 −1,1 ,则直线�的倾斜角为( ) A. 45∘ B. 90∘ C. 120∘ D. 135∘ 3.抛物线�2 = 12�的焦点为�,点�在此抛物线上, �� = 6,则点�的横坐标为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4.圆(� − 3)2 + (� + 2)2 = 1 与圆(� − 7)2 + (� − 1)2 = 16 的位置关系是( ) A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 5.在(� − 2�2 ) 6的展开式中,常数项为( ) A. 60 B. 15 C. −60 D. −15 6.某学校 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只能去 1 个小区,且每个小区至少安排 1 名同学,则不同的安排方法种数为( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 7.已知正四棱锥� − ����的高为 4,棱��的长为 2,点�为侧棱��上的一动点,则△���面积的取小值为( ) A. 2 B. 4 23 C. 3 2 D. 2 3 8.已知直线�: 3� + � − 4 = 0,圆�: �2 + �2 = �2 � > 0 ,若直线�上存在两点�, �,圆�上存在点�,使得 �� = 2,且∠��� = 90∘,则�的取值范围是( ) A. 1,3 B. 2,3 C. 1, + ∞ D. 2, + ∞ 9.已知直线�1, �2的斜率分别为�1, �2,倾斜角分别为�1, �2,则“cos �1 − �2 ≤ 0”是“�1�2 ≤ 0”的( ) 第 2页,共 9页 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.一个平面区域内,两点间距离的最大值称为此区域的直径,那么曲线�2 + �4 = 2 围成的平面区域的直径 为( ) A. 4 32 B. 3 C. 2 2 D. 4 二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。 11.如图,直线�: � − 2� + 2 = 0 过椭圆的左焦点�1和一个顶点�,该椭圆的离心率为 . 12.圆�2 + �2 − 2� − 8� + 13 = 0 的圆心到直线�� + � − 1 = 0 的距离为 1,则�的值为 13.设(2� − 1)4 = �4�4 + �3�3 + �2�2 + �1� + �0,则�1 + �2 + �3 + �4 = . 14.双曲线�: �2 − � 2 3 = 1 的渐近线方程为 ;若�与圆�: � 2 + �2 = �2(� > 0)交于�, �, �, �四点,且这四 个点恰为正方形的四个顶点,则� = . 15.如图,在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中,点�为��的中点,点�在正方体的表面上运动,且满 足平面��1� ⊥平面��1�,给出下列四个结论: ①▵��1�的面积的最大值为 5; ②满足▵��1�的面积为 2 的点�有且仅有 4 个; ③点�可能为��1的中点; ④线段��的最大值为 3. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 第 3页,共 9页 16.某小组共有 6 名学生,其中女生 2 名,男生 4 名. (1)将 6 名学生排成一排,且女生不相邻的排法有多少种? (2)从 6 名中选出 3 人参加某公益活动. (�)共有多少种不同的选择方法? (��)如果至少有 1 位女生入选,共有多少种不同的选择方法? 17.已知� 2,4 , � −1,1 , �为坐标原点,圆�为▵���的外接圆. (1)求圆�的标准方程; (2)过原点的直线�被圆�截得的弦长为 3 2,求直线�的方程. 18.如图,在三棱柱��� − �1�1�1中,��1 ⊥平面���, �� ⊥ ��,�� = �� = 2, ��1 = 3,点�, �分别在棱��1 和棱��1上,且�� = 1, �� = 2,�为棱�1�1的中点. (1)求证:�1� ⊥ �1�; (2)求二面角�1 − �1� − �的余弦值. 19.已知椭圆� 2 �2 + �2 �2 = 1 � > � > 0 的右焦点为� 1,0 ,离心率为 2 2 ,直线�过点�且不平行于坐标轴,�与� 有两个交点�, �,线段��的中点为�. (1)求椭圆�的方程; (2)延长线段��与椭圆�交于点�,若四边形����为平行四边形,求此时直线�的斜率. 20.如图,正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2,�为��的中点.点�在��1上.再从下列三个条件中选择一个 作为已知,使点�唯一确定,并解答问题. 第 4页,共 9页 条件①:�� = �� 条件②:�� ⊥ ��; 条件③:��//平面���1�1. (1)求证:�为��1的中点; (2)求直线��与平面���所成角的大小,及点�到平面���的距离. 21.已知椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率为 3 2 ,以椭圆�的四个顶点为顶点的四边形面积为 4. (1)求椭圆的标准方程; (2)设�为椭圆�的右顶点,�为椭圆的上顶点,直线�: � = 12 �与椭圆交于�, �两点(�在第三象限),�是椭圆上 的动点(不与顶点重合),直线��, ��分别交直线�于点�, �,记�� = ��� ; �� = ��� ,求证:� + �为定值. 第 5页,共 9页 参考答案 1.� 2.� 3.� 4.� 5.� 6.� 7.� 8.� 9.� 10.� 11. 22 12.− 43 13.0 14.� =± 3�; ; ; ; ; ; 3 15.①④ 16.(1)男生先排有�44种,女生插空有�52种, 所以共有�44�52 = 480 种不同排法. (2)(�)6 名中选出 3 人共有�63 = 20 种方法; (��)6 名中选出 3 名男生有�43 = 4 种方法, 所以至少有 1 位女生入选,共有 20 − 4 = 16 种不同的选择方法. 17.解:(Ⅰ)设△ ���的外接圆的方程为�2 + �2 + �� + �� + � = 0, ∵ �,�,�均在圆�上, ∴ 4 + 16 + 2� + 4� + � = 0 1 + 1 − � + � + � = 0 � = 0 , 解得 � =− 2 � =− 4 � = 0 , 第 6页,共 9页 所以圆�的方程为�2 + �2 − 2� − 4� = 0, 所以圆�的标准方程为(� − 1)2 + (� − 2)2 = 5; (Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心�(1,2),半径为 5, 因为直线�被圆�截得的弦长为 3 2, 所以点�到直线�的距离为� = 5 − ( 3 22 ) 2 = 22 , 当直线�的斜率存在时,设直线�的方程为� = ��,即�� − � = 0, 则 |�−2| 1+�2 = 22 ,两边同时平方得 �2−4�+4 1+�2 = 1 2,解得� = 1 或� = 7, 当直线�的斜率不存在时,不满足条件, 所以直线�的方程为� − � = 0 或 7� − � = 0. 18.(1)由于��1 ⊥ ��, ��1 ⊥ ��, �� ⊥ ��,故建立如图所示的空间直角坐标系,则 �1 2,0,3 , �1 0,2,3 ,� 1,1,3 , �1 0,0,3 , � 2,0,1 , � 0,0,2 ,, �1� = 1,1,0 , �1� = 2, − 2, − 2 , 故�1� ⋅ �1� = 1,1,0 ⋅ 2, − 2, − 2 = 2 − 2 + 0 = 0, 故�1� ⊥ �1� ,因此�1� ⊥ �1� (2)由于�� ⊥平面���1�1,故平面�1�1�的一个法向量为� = 1,0,0 , 设平面�1��的一个法向量为� = �, �, � , �1� = 0, − 2, − 1 , �1� = 2, − 2, − 2 , 故 �1� ⋅ � =− 2� − � = 0 �1� ⋅ � = 2� − 2� − 2� = 0 ,令� = 2,则� = 1, − 1,2 , 设二面角�1 − �1� − �的平面角为�,由图可知�为钝角, 故 cos� =− cos� , � =− � ⋅�� ⋅ � =− 1 6 =− 6 6 第 7页,共 9页 19.(1)由题意可知,� = 1,� = �� = 2 2 , ∵ �2 = �2 + �2, ∴ � = 2,� = 1, ∴椭圆的方程为� 2 2 + � 2 = 1. (2)设直线�的方程为� = � � − 1 � ≠ 0 ,� �1, �1 ,� �2, �2 , 联立 � = � � − 1 �2 2 + � 2 = 1 ,消去�得, 2�2 + 1 �2 − 4�2� + 2�2 − 2 = 0, 则�1 + �2 = 4�2 2�2+1, 若四边形����为平行四边形,则�� + �� = ��,设�(�3, �3) ∴ �3 = �1 + �2 = 4�2 2�2+1,�3 = �1 + �2 = � �1 + �2 − 2� = −2� 2�2+1, ∵点�在椭圆上, ∴ 4� 2 2�2+1 2 + 2 × −2�2�2+1 2 = 2, 解得�2 = 12,即� =± 2 2 , ∴当四边形����为平行四边形时,直线�的斜率为� =± 22 . 20.(1)选条件①:由�� = ��, 根据正方体���� − �1�1�1�1的对称性,此时点�为��1上的任意一点,所以不成立; 选条件②:�� ⊥ ��, 连接��1,在正方体���� − �1�1�1�1中,由�� ⊥平面���1�1, 因为��1 ⊂平面���1�1,所以�� ⊥ ��1, 第 8页,共 9页 又因为�� ⊥ ��,��//��,所以�� ⊥ ��, 因为��, ��1 ⊂平面���1,所以��//��1, 又因为�为��的中点,所以�为��1的中点. 选择条件③:��//平面���1�1, 连接��1,因为��//平面���1�1,�� ⊂平面���1, 且平面���1 ∩平面���1�1 = ��1,所以��//��1, 因为�为��的中点,所以�为��1的中点. (2)在正方体���� − �1�1�1�1中,��,   ��,   ��1两两互相垂直,建立空间直角坐标系, 如图所示,则�(0,0,0), �(0,2,0), �(1,2,0), �(1,1,1), 所以�� = (0,2,0),�� = (1,1,1),�� = (0, − 1,1), 设平面���的法向量为� = (�, �, �),则 � ⋅ �� = � = 0 � ⋅ �� = � + � + � = 0 , 令� = 1,则� = 0, � =− 1.于是� = (1,0, − 1), 设直线��与平面���所成的角为�,则 sin� = cos� , �� = � ⋅�� � ⋅ �� = 12, 所以直线��与平面���所成角的大小为 30∘, 点�到平面���的距离为� = �� sin� = 2 × sin30∘ = 22 . 21.(1)由椭圆�的四个顶点为顶点的四边形面积为 4,得12 ⋅ 2� ⋅ 2� = 2�� = 4,则�� = 2, 第 9页,共 9页 由�的离心率为 32 ,得 �2−�2 � = 3 2 ,则� = 2�,解得� = 2, � = 1, 所以椭圆�的标准方程为� 2 4 + � 2 = 1. (2)由(1)知,�(2,0), �(0,1), 由 �2 4 + � 2 = 1 � = 12 � ,解得 � =− 2 � =− 22 或 � = 2 � = 22 ,则�( − 2, − 22 ),�( 2, 2 2 ), 设�(�0, �0), �0�0 ≠ 0,有 �0 2 4 + �0 2 = 1,直线��的方程为� = �0−1�0 � + 1, 由 � = �0−1�0 � + 1 � = 12 � ,解得点�的横坐标�� = �0 �0 2 −�0+1 , 直线��的方程为� = �0�0−2 (� − 2),由 � = �0�0−2 (� − 2) � = 12 � ,解得点�的横坐标�� = 2�0 �0− �0 2 +1 , 由�� = ��� ,得� = ��− 2��+ 2 ,同理� = ��− 2��+ 2 , 所以� + � = ��− 2��+ 2 + ��− 2��+ 2 = 2����−4(��+ 2)(��+ 2) , 而 2���� − 4 = 2 ⋅ 2�0 �0− �0 2 +1 ⋅ �0�0 2 −�0+1 = 4�0�0 1− �02 −�0 2 − 4 = 4�0�0 �0�0 − 4 = 0, 所以� + � = 0 为定值.

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