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2024-2025 学年北京市北京师范大学附属实验中学高二上学期期末考试
数学试题
一、单选题:本大题共 10 小题,共 50 分。
1.在空间直角坐标系� − ���中,点� 2, − 3,1 关于原点对称的点的坐标为( )
A. −2, − 3, − 1 B. 2,3, − 1 C. −2,3,1 D. −2,3, − 1
2.已知直线�的一个方向向量为 −1,1 ,则直线�的倾斜角为( )
A. 45∘ B. 90∘ C. 120∘ D. 135∘
3.抛物线�2 = 12�的焦点为�,点�在此抛物线上, �� = 6,则点�的横坐标为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4.圆(� − 3)2 + (� + 2)2 = 1 与圆(� − 7)2 + (� − 1)2 = 16 的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
5.在(� − 2�2 )
6的展开式中,常数项为( )
A. 60 B. 15 C. −60 D. −15
6.某学校 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只能去 1 个小区,且每个小区至少安排 1
名同学,则不同的安排方法种数为( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
7.已知正四棱锥� − ����的高为 4,棱��的长为 2,点�为侧棱��上的一动点,则△���面积的取小值为( )
A. 2 B. 4 23 C.
3
2 D.
2
3
8.已知直线�: 3� + � − 4 = 0,圆�: �2 + �2 = �2 � > 0 ,若直线�上存在两点�, �,圆�上存在点�,使得
�� = 2,且∠��� = 90∘,则�的取值范围是( )
A. 1,3 B. 2,3 C. 1, + ∞ D. 2, + ∞
9.已知直线�1, �2的斜率分别为�1, �2,倾斜角分别为�1, �2,则“cos �1 − �2 ≤ 0”是“�1�2 ≤ 0”的( )
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A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.一个平面区域内,两点间距离的最大值称为此区域的直径,那么曲线�2 + �4 = 2 围成的平面区域的直径
为( )
A. 4 32 B. 3 C. 2 2 D. 4
二、填空题:本大题共 5 小题,共 25 分。
11.如图,直线�: � − 2� + 2 = 0 过椭圆的左焦点�1和一个顶点�,该椭圆的离心率为 .
12.圆�2 + �2 − 2� − 8� + 13 = 0 的圆心到直线�� + � − 1 = 0 的距离为 1,则�的值为
13.设(2� − 1)4 = �4�4 + �3�3 + �2�2 + �1� + �0,则�1 + �2 + �3 + �4 = .
14.双曲线�: �2 − �
2
3 = 1 的渐近线方程为 ;若�与圆�: �
2 + �2 = �2(� > 0)交于�, �, �, �四点,且这四
个点恰为正方形的四个顶点,则� = .
15.如图,在棱长为 2 的正方体���� − �1�1�1�1中,点�为��的中点,点�在正方体的表面上运动,且满
足平面��1� ⊥平面��1�,给出下列四个结论:
①▵��1�的面积的最大值为 5;
②满足▵��1�的面积为 2 的点�有且仅有 4 个;
③点�可能为��1的中点;
④线段��的最大值为 3.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题:本题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
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16.某小组共有 6 名学生,其中女生 2 名,男生 4 名.
(1)将 6 名学生排成一排,且女生不相邻的排法有多少种?
(2)从 6 名中选出 3 人参加某公益活动.
(�)共有多少种不同的选择方法?
(��)如果至少有 1 位女生入选,共有多少种不同的选择方法?
17.已知� 2,4 , � −1,1 , �为坐标原点,圆�为▵���的外接圆.
(1)求圆�的标准方程;
(2)过原点的直线�被圆�截得的弦长为 3 2,求直线�的方程.
18.如图,在三棱柱��� − �1�1�1中,��1 ⊥平面���, �� ⊥ ��,�� = �� = 2, ��1 = 3,点�, �分别在棱��1
和棱��1上,且�� = 1, �� = 2,�为棱�1�1的中点.
(1)求证:�1� ⊥ �1�;
(2)求二面角�1 − �1� − �的余弦值.
19.已知椭圆�
2
�2 +
�2
�2 = 1 � > � > 0 的右焦点为� 1,0 ,离心率为
2
2 ,直线�过点�且不平行于坐标轴,�与�
有两个交点�, �,线段��的中点为�.
(1)求椭圆�的方程;
(2)延长线段��与椭圆�交于点�,若四边形����为平行四边形,求此时直线�的斜率.
20.如图,正方体���� − �1�1�1�1的棱长为 2,�为��的中点.点�在��1上.再从下列三个条件中选择一个
作为已知,使点�唯一确定,并解答问题.
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条件①:�� = ��
条件②:�� ⊥ ��;
条件③:��//平面���1�1.
(1)求证:�为��1的中点;
(2)求直线��与平面���所成角的大小,及点�到平面���的距离.
21.已知椭圆�: �
2
�2 +
�2
�2 = 1 � > � > 0 的离心率为
3
2 ,以椭圆�的四个顶点为顶点的四边形面积为 4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设�为椭圆�的右顶点,�为椭圆的上顶点,直线�: � = 12 �与椭圆交于�, �两点(�在第三象限),�是椭圆上
的动点(不与顶点重合),直线��, ��分别交直线�于点�, �,记�� = ��� ; �� = ��� ,求证:� + �为定值.
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参考答案
1.�
2.�
3.�
4.�
5.�
6.�
7.�
8.�
9.�
10.�
11. 22
12.− 43
13.0
14.� =± 3�; ; ; ; ;
; 3
15.①④
16.(1)男生先排有�44种,女生插空有�52种,
所以共有�44�52 = 480 种不同排法.
(2)(�)6 名中选出 3 人共有�63 = 20 种方法;
(��)6 名中选出 3 名男生有�43 = 4 种方法,
所以至少有 1 位女生入选,共有 20 − 4 = 16 种不同的选择方法.
17.解:(Ⅰ)设△ ���的外接圆的方程为�2 + �2 + �� + �� + � = 0,
∵ �,�,�均在圆�上,
∴
4 + 16 + 2� + 4� + � = 0
1 + 1 − � + � + � = 0
� = 0
,
解得
� =− 2
� =− 4
� = 0
,
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所以圆�的方程为�2 + �2 − 2� − 4� = 0,
所以圆�的标准方程为(� − 1)2 + (� − 2)2 = 5;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心�(1,2),半径为 5,
因为直线�被圆�截得的弦长为 3 2,
所以点�到直线�的距离为� = 5 − ( 3 22 )
2 = 22 ,
当直线�的斜率存在时,设直线�的方程为� = ��,即�� − � = 0,
则
|�−2|
1+�2
= 22 ,两边同时平方得
�2−4�+4
1+�2 =
1
2,解得� = 1 或� = 7,
当直线�的斜率不存在时,不满足条件,
所以直线�的方程为� − � = 0 或 7� − � = 0.
18.(1)由于��1 ⊥ ��, ��1 ⊥ ��, �� ⊥ ��,故建立如图所示的空间直角坐标系,则
�1 2,0,3 , �1 0,2,3 ,� 1,1,3 , �1 0,0,3 , � 2,0,1 , � 0,0,2 ,,
�1� = 1,1,0 , �1� = 2, − 2, − 2 ,
故�1� ⋅ �1� = 1,1,0 ⋅ 2, − 2, − 2 = 2 − 2 + 0 = 0,
故�1� ⊥ �1� ,因此�1� ⊥ �1�
(2)由于�� ⊥平面���1�1,故平面�1�1�的一个法向量为� = 1,0,0 ,
设平面�1��的一个法向量为� = �, �, � ,
�1� = 0, − 2, − 1 , �1� = 2, − 2, − 2 ,
故
�1� ⋅ � =− 2� − � = 0
�1� ⋅ � = 2� − 2� − 2� = 0
,令� = 2,则� = 1, − 1,2 ,
设二面角�1 − �1� − �的平面角为�,由图可知�为钝角,
故 cos� =− cos� , � =− � ⋅� � ⋅ � =−
1
6 =−
6
6
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19.(1)由题意可知,� = 1,� = �� =
2
2 ,
∵ �2 = �2 + �2,
∴ � = 2,� = 1,
∴椭圆的方程为�
2
2 + �
2 = 1.
(2)设直线�的方程为� = � � − 1 � ≠ 0 ,� �1, �1 ,� �2, �2 ,
联立
� = � � − 1
�2
2 + �
2 = 1
,消去�得, 2�2 + 1 �2 − 4�2� + 2�2 − 2 = 0,
则�1 + �2 =
4�2
2�2+1,
若四边形����为平行四边形,则�� + �� = �� ,设�(�3, �3)
∴ �3 = �1 + �2 =
4�2
2�2+1,�3 = �1 + �2 = � �1 + �2 − 2� =
−2�
2�2+1,
∵点�在椭圆上,
∴ 4�
2
2�2+1
2
+ 2 × −2�2�2+1
2
= 2,
解得�2 = 12,即� =±
2
2 ,
∴当四边形����为平行四边形时,直线�的斜率为� =± 22 .
20.(1)选条件①:由�� = ��,
根据正方体���� − �1�1�1�1的对称性,此时点�为��1上的任意一点,所以不成立;
选条件②:�� ⊥ ��,
连接��1,在正方体���� − �1�1�1�1中,由�� ⊥平面���1�1,
因为��1 ⊂平面���1�1,所以�� ⊥ ��1,
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又因为�� ⊥ ��,��//��,所以�� ⊥ ��,
因为��, ��1 ⊂平面���1,所以��//��1,
又因为�为��的中点,所以�为��1的中点.
选择条件③:��//平面���1�1,
连接��1,因为��//平面���1�1,�� ⊂平面���1,
且平面���1 ∩平面���1�1 = ��1,所以��//��1,
因为�为��的中点,所以�为��1的中点.
(2)在正方体���� − �1�1�1�1中,��, ��, ��1两两互相垂直,建立空间直角坐标系,
如图所示,则�(0,0,0), �(0,2,0), �(1,2,0), �(1,1,1),
所以�� = (0,2,0),�� = (1,1,1),�� = (0, − 1,1),
设平面���的法向量为� = (�, �, �),则
� ⋅ �� = � = 0
� ⋅ �� = � + � + � = 0
,
令� = 1,则� = 0, � =− 1.于是� = (1,0, − 1),
设直线��与平面���所成的角为�,则 sin� = cos� , �� =
� ⋅��
� ⋅ ��
= 12,
所以直线��与平面���所成角的大小为 30∘,
点�到平面���的距离为� = �� sin� = 2 × sin30∘ = 22 .
21.(1)由椭圆�的四个顶点为顶点的四边形面积为 4,得12 ⋅ 2� ⋅ 2� = 2�� = 4,则�� = 2,
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由�的离心率为 32 ,得
�2−�2
� =
3
2 ,则� = 2�,解得� = 2, � = 1,
所以椭圆�的标准方程为�
2
4 + �
2 = 1.
(2)由(1)知,�(2,0), �(0,1),
由
�2
4 + �
2 = 1
� = 12 �
,解得
� =− 2
� =− 22
或
� = 2
� = 22
,则�( − 2, − 22 ),�( 2,
2
2 ),
设�(�0, �0), �0�0 ≠ 0,有
�0
2
4 + �0
2 = 1,直线��的方程为� = �0−1�0
� + 1,
由
� = �0−1�0
� + 1
� = 12 �
,解得点�的横坐标�� =
�0
�0
2 −�0+1
,
直线��的方程为� = �0�0−2
(� − 2),由
� = �0�0−2
(� − 2)
� = 12 �
,解得点�的横坐标�� =
2�0
�0−
�0
2 +1
,
由�� = ��� ,得� = ��− 2��+ 2
,同理� = ��− 2��+ 2
,
所以� + � = ��− 2��+ 2
+ ��− 2��+ 2
= 2����−4(��+ 2)(��+ 2)
,
而 2���� − 4 = 2 ⋅
2�0
�0−
�0
2 +1
⋅ �0�0
2 −�0+1
= 4�0�0
1− �02 −�0
2 − 4 =
4�0�0
�0�0
− 4 = 0,
所以� + � = 0 为定值.