第七章 相交线与平行线 重难专项

第七章 相交线与平行线 考点 1 垂线的性质与应用 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超 过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线 l上的点 A处起跳， BC l ，垂足为 C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（ ） 模块 章节重难点考察 考点 1.垂线的性质与应用 考点 2.尺规作图综合—作垂线、平行线 考点 3.平行线求角度问题 考点 4.平行线补充条件或证明依据 考点 5.平行线与折叠问题 【高效学】有学习视频哦 考点 6.平行线拐点问题 【高效学】有学习视频哦 考点 7.平行线分类讨论问题 【高效学】有学习视频哦 考点 8.标角法-平行线复杂计算与证明题 【高效学】有学习视频哦 考点 9.定理、命题的判断与改写 考点 10.图形的平移与作图 考点 11.根据平移求周长、面积 章节重难点考察 模块导航 A． BC可能为1.95m B． BC可能为1.8m C． AB可能为1.85m D． AB可能为1.95m 2．（24-25七年级下·全国·单元测试） P是直线 l外一点， , ,A B C分别是 l上三点，已知 1, 2, 3PA PB PC   ．若点 P到 l的距离是 h，则（ ） A． 1h  B． 1h  C． 2h  D． 3h  3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形 ABC中， , 12, 16, 20AC BC BC AC AB    ，D是��边上的动点，则线段��的最小值是 ． 4．（24-25七年级上·上海·假期作业）如图， AC CD ， 90BED  ．填空： （1） ACD  度； （2）直线 AD与 BE的位置关系是 ； （3）点 B到直线 AD的距离是线段 的长度，点 D到直线 AB的距离是线段 的长度； （4）在线段DA，DB，DC中，最短的是线段 ；在线段BA， BE，BD中，最 短的是线段 ，理由是 ． 考点 2 尺规作图综合—作垂线、平行线 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）过点 P作直线 l的垂线CD，下面三角板的摆放正确的 是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，直线��与直线��相交于点C． (1)按要求完成画图． ①过点 P画 PQ CD∥ ，交��于点Q； ②过点 P画PR CD ，垂足为 R； (2)在（1）所画的图形中，按要求完成下列问题． ①点 P到直线��的距离是线段_________的长； ②写出 PQB 与 DCA 的数量关系，并说明理由． 考点 3 平行线求角度问题 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，将一块直角三角板的60顶点与直尺的一边重合， 若 1 70 ∠ ，则 2 的度数为（ ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．（24-25七年级上·海南·期末）如图，AB CD∥ ，点 E在CB的延长线上，若 1 60 30   ， 则 ECD 等于 度． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图， 2 B   ， BE与DF交于点 P． (1)若 1 46  ，求 C 的度数； (2)若 2 90D   ， AB CD∥ ，求证：BE DF . 考点 4 平行线补充条件或证明依据 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）填空：如图，EF AD∥ ， 1 2   ， 75BAC  ， 求 AGD 的度数． 解：∵EF AD∥ ， ∴ 2 ________，（两直线平行，同位角相等）． 又∵ 1 2   ， ∴ 1 3   （等量代换）， ∴ AB DG∥ （________）， ∴ BAC AGD   ________ （两直线平行，同旁内角互补）． ∵ 75BAC  ， ∴ AGD  ________ ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知 1 2 70EF AD BAC     ， ， ，求 AGD 的度数．请将下面的解答过程解： EF AD ∥ （已知）， 2  ___________（ ）， 又 1 2   （已知）， 1 3   （ ） AB ∥___________（ ） 180BAC AGD   （ ） 70BAC   （已知）， AGD  ___________． 考点 5 平行线与折叠问题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，EF为折痕，ED 交 BF于点G，且 50EFB  ．则下列结论：① 50DEF  ；② 80AED  ； ③ 80BFC  ；④ 100DGF  ．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将一条等宽的纸条按图中方式折叠，若∠1 ＝40°，则∠2 的度数为 ． 3．如图 a是长方形纸带（提示：AD∥BC），将纸带沿 EF折叠成图 b，再沿 GF折叠成图 c． （1）若∠DEF＝20°，则图 b中∠EGB＝______，∠CFG＝______； （2）若∠DEF＝20°，则图 c中∠EFC＝______； （3）若∠DEF＝α，把图 c中∠EFC用α表示为______； （4）若继续按 EF折叠成图 d，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共 折叠了 9次，问图 a中∠DEF的度数是多少． 考点 6 平行线拐点问题 1．（24-25 七年级上·河南南阳·期末）如图， AB CD∥ ， 60BEF  ，则 1 ， 2 与 3 之 间的关系是（ ） A． 2 3 1 60     B． 1 3 2 60     C． 1 2 3 90     D． 2 3 1 90     2．（24-25 七年级下·全国·单元测试）如图，AB CD∥ ，则 1 nB D M M      （ ） A．180n度 B．180( 1)n 度 C．360n度 D．180( 2)n 度 3．（23-24七年级下·重庆南岸·期末）已知： AB CD∥ ． (1)如图 1，点E在��，��之间，请说明 A C E    ； (2)如图 2，请用等式表示 A ， C ， E 之间的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，请直接用等式表示 A ， C ， 1E ， 2E ， 3E 之间的数量关系. 考点 7 平行线分类讨论问题 1．（2021·浙江嘉兴·二模）已知 ABC 的两边与 DEF 的两边分别平行，即 AB DE BC EF∥ ， ∥ ，试探究： (1)如图 1， B 与 E 的关系是 ___________ ； (2)如图 2，写出 B 与 E 的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 2．（16-17七年级下·山东临沂·期中）已知直线 1 2//l l ，直线 3l 和直线 1l 、 2l 交于点 C和 D，点 P是直线 3l 上一动点． （1）如图，当点 P在线段 CD上运动时， PAC ， APB ， PBD 之间存在什么数量关系？ 请你猜想结论并说明理由． （2）当点 P在 C、D两点的外侧运动时（P点与点 C、D不重合），上述（1）中的结论是否 还成立？若不成立，请直接写出 PAC ， APB ， PBD 之间的数量关系，不必写理由． 考点 8 标角法-平行线复杂计算与证明题 1．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知 AB CD∥ ． (1)如图 1，试探究 G ， AEG ， CFG 之间的数量关系，并说明理由； (2)如图 2，FH 平分 GFD ，HE平分 ABG ， 90G  ，请利用（1）的结论求 H 的大 小； (3)如图 3，FH 平分 GFD ，HE平分 ABG ，两角平分线交于点H ，结合（1）的结论求 G 与 H 的关系． 2．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）已知直线 AB CD∥ ，点M ，N 分别在直线 AB，CD 上，点E为平面内一点． (1)如图 1，请说明 MEN AME ENC   ； (2)如图 2， 30AME  ，EF平分 MEN ， NP平分 ENC ， EQ NP∥ ，求 FEQ 的度 数： (3)如图 3，点G为CD上一点， 3AMN EMN   ， 3GEK GEM   ，EH MN∥ 交 AB 于点H ，请探究 GEK ， BMN ， GEH 之间的数量关系． 考点 9 定理、命题的判断与改写 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）有下列语句：①画线段 AB；②两个负数的差一定是负 数；③同角的余角相等；④如果直线 a，b不相交，那么 a与 b平行吗？其中是命题的 有 ，是真命题的有 ．（填序号） 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那 么”句式为 ，逆命题为 ． 3．（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形 式： ． 考点 10 图形的平移与作图 1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，此次奥运会的会标 如图所示，平移会标可以得到的图形是（ ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在每个小正方形的边长为 1 个单位长度的网格中， 点 A、B、C都在格点上． (1)将 ABC 向右平移 3 个单位，再向下平移 2个单位得到 1 1 1A BC△ ，请作出 1 1 1A BC△ ； (2)连结 1 1,AA BB ，则线段 1AA 和线段 1BB 有什么关系？ 考点 11 根据平移求周长、面积 1．（2025 七年级下·全国·专题练习）如图，将 ABE 向右平移2cm得到 DCF ，如果四边形 ABFD的周长是16cm，那么 ABE 的周长是（ ） A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm 2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修同样宽 的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为 2540m ，求小路的宽，若设小路 的宽为 mx ，则根据题意所列方程正确的是（ ） A．   20 32 540x x   B．    232 20 540x x x    C．   20 32 540x x   D．32 20 32 20 540x x    3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红 色的地毯．已知这种地毯的批发价为每平方米 10元，主楼梯的宽为 3米，其侧面如图所示， 则购买地毯至少需要 元． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在 ABCV 中， 90ABC  ，将 ABCV 沿着 BC 方向平移得到 DEF ．已知 8 3 2AB CF DH  ， ， ，且DE交 AC于点 H． (1)求线段HE的长． (2)图中阴影部分的面积为 ． 第七章 相交线与平行线 考点 1 垂线的性质与应用 1．D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴1.85m BC<1.95m ∵ AB BC ， ∴ AB可能为1.95m， 模块 章节重难点考察 考点 1.垂线的性质与应用 考点 2.尺规作图综合—作垂线、平行线 考点 3.平行线求角度问题 考点 4.平行线补充条件或证明依据 考点 5.平行线与折叠问题 【高效学】有学习视频哦 考点 6.平行线拐点问题 【高效学】有学习视频哦 考点 7.平行线分类讨论问题 【高效学】有学习视频哦 考点 8.标角法-平行线复杂计算与证明题 【高效学】有学习视频哦 考点 9.定理、命题的判断与改写 考点 10.图形的平移与作图 考点 11.根据平移求周长、面积 章节重难点考察 模块导航 故选项 D符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线 段最短是解答本题的关键．根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解 答即可． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点 P到直线 l的距离 h PA ，即0 1h  ． 故选：A． 3．9.6/ 48 5 / 39 5 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当CD AB 时，CD的长度最小，再运用等面积法求解即可； 【详解】解：由垂线段最短可知，当CD AB 时，CD的长度最小，如下图． 90ACB   ， 1 1 2 2ABC S AC BC AB CD     ， 1 116 12 20 2 2 CD      ， 9.6CD  ． 故答案为：9.6． 4． 90 互相垂直 BE DC DC BE 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵ AC CD ， ∴ =90ACD ， 故答案为：90． （2）解：∵ 90BED  ， ∴BE AD ， ∴直线 AD与 BE的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵BE AD ， ∴线段 BE的长是点 B到直线 AD的距离的线段； 同理，点 D到直线 AB的距离是线段DC的长度； 故答案为： BE，DC． （4）在线段DA，DB，DC中，最短的线段是DC；在线段BA， BE，BD中，最短的是 线段 BE．理由是垂线段最短． 故答案为：DC， BE，垂线段最短． 考点 2 尺规作图综合—作垂线、平行线 1．A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点 P作 AB的垂线CD，三角板的放法正确的是 故选：A． 2．(1)①图见解析 ②图见解析 (2)① PR ② 180PQB DCA   ，理由见解析 【分析】（1）①按照作平行线的方法作图即可； ②按照作垂线的方法作图即可； （2）①由题意即可直接得出答案； ②根据平行线的性质和平角的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：①②如图所示： PQ PR、 即为所求作； （2）解：①由题意可知，点 P到直线��的距离是线段 PR的长， 故答案为： PR； ② 180PQB DCA   ，理由如下： ∵ PQ CD∥ ， ∴ PQB DCB   ， ∵ 180DCB DCA   ， ∴ 180PQB DCA   ． 【点睛】本题主要考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，平行线性质的应用等知识点， 熟练掌握基本的作图方法和技巧是解题的关键. 考点 3 平行线求角度问题 1．B 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．结合图 形，利用平行线的性质和平角的定义求解即可． 【详解】依题意： AB CD∥ 1 3 70     又 4 60   2 180 3 4 180 70 60 50          故选：B 2．119.5 【分析】本题主要考查了平行线的性质和邻补角，解题的关键是先根据邻补角的定义得到 119.5ABC  ，再根据“两直线平行，内错角相等”即可得出答案． 【详解】解：∵ 1 60 30   ，点E在CB的延长线上， ∴ 180 1 180 60 30 119 30 119.5ABC             ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 119.5ECD ABC    ， ∴ ECD 的度数为119.5． 故答案为：119.5． 3．(1) 46C   (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的判定得出CF EB∥ ，再根据平行线的性质得出 C 1   ，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出 BFD D   ，根据 2 90D   ，得出 2 90BFD   ， 求出 90CFD  ，根据平行线的性质得出 90EPD CFD    ，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵ 2 B   ， ∴CF BE∥ ， ∴ C 1   ， ∵ 1 46  ， ∴ 46C  ． （2）证明：∵ AB CD∥ ， ∴ BFD D   ， ∵ 2 90D   ， ∴ 2 90BFD   ， ∴ 90CFD  ， 由（1）可知，CF BE∥ ， ∴ 90EPD CFD    ， ∴BE DF ． 考点 4 平行线补充条件或证明依据 1． 3 ；内错角相等，两直线平行；180；105． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由EF AD∥ ，得到 2 3  ，从而得到 1 3   ， 则 AB DG∥ ，即可求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵EF AD∥ ， ∴ 2 3  （两直线平行，同位角相等）， 又∵ 1 2   ， ∴ 1 3   （等量代换）， ∴ AB DG∥ （内错角相等，两直线平行）， ∴ 180BAC AGD   （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ 75BAC  ， ∴ 180 105AGD BAC     ， 故答案为： 3 ；内错角相等，两直线平行；180；105． 2． 3 ；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平 行，同旁内角互补；110 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由两直线平行，同位角相等得到 2 3  ， 进而可得 1 3   ，则可证明 AB DG∥ ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出 AGD 的度数． 【详解】解： EF AD ∥ （已知）， 2 3  （两直线平行，同位角相等）， 又 1 2   （已知）， 1 3   （等量代换）， AB DG ∥ （内错角相等，两直线平行）， 180BAC AGD   （两直线平行，同旁内角互补）， 70BAC   （已知）， 110AGD  ． 故答案为： 3 ；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；两 直线平行，同旁内角互补；110． 考点 5 平行线与折叠问题 1．D 【分析】本题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质求出 ' 50D EF EFB   ，根据折叠得出 50D EF EFB   ，再逐个判断即可． 【详解】解： AD BC   ， 50EFB  ， 50D EF EFB   ． 由折叠的性质，得 50DEF D EF    ，①正确； 180 80AED D EF DEF      ，②正确； AD BC   ， 80EGF AED     ． DE CF ∥ ， 80BFC EGF   ，③正确； 80EGF   ， 180 100DGF EGF    ，④正确． 故正确的结论有 4个． 2．70︒ 【分析】如图，由平行线的性质可求得∠1=∠3，由折叠的性质可求得∠4=∠5，再由平行线的 性质可求得∠2． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠3=∠1=40°，∠2=∠5， 又由折叠的性质可知∠4=∠5，且∠3+∠4+∠5=180°， ∴∠5= 1 2 （ 180°-∠3）=70°， ∴∠2=70°， 故答案为：70︒． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即① 两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补， ④a∥b，b∥c⇒a∥c． 3.【答案】（1）40°，140°；（2）120°；（3）180°﹣3α；（4）18°． 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠BFE的度数，利用三角形外角的性质即可求出∠EGB 的度数，由对顶角的性质可得∠FGD的度数，根据平行线的性质即可求出∠CFG的度数；（2） 由平行线的性质求出∠BFE的度数，根据图 a、b中的∠CFE每折叠一次，减少一个∠BFE， 求出图 c中的∠EFC的度数即可；（3）根据（2）中的规律即可得答案；（4）设图 a中∠DEF 的度数是 x°，根据（2）中的规律列方程求出 x的值即可. 【详解】（1）∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝40°， ∴∠FGD＝∠EGB＝40°， ∴∠CFG＝180°﹣∠FGD＝140°； 故答案为 40°，140°； （2）∵长方形的对边是平行的， ∴∠BFE＝∠DEF＝20°， ∴图 a、b中的∠CFE＝180°﹣∠BFE，以下每折叠一次，减少一个∠BFE， ∴图 c中的∠EFC度数是 120°； 故答案为 120°； （3）由（2）中的规律，可得∠CFE＝180°﹣3α． 故答案为 180°﹣3α； （4）设图 a中∠DEF的度数是 x°， 由（2）中的规律，可得 180﹣(9+1)x＝0． 解得：x＝18． 故答案为 18°． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质，观察图形判断出图 c中∠EFB处重叠了 3层是 解题的关键. 考点 6 平行线拐点问题 1．B 【分析】本题考查了平行线的性质，添加平行线是解题的关键．过点 E作EG AB∥ ，过点 F 作FH AB∥ ，根据平行线的性质可求得， 1 BEG   ， GEF EFH   ，所以 1 60EFH   ，再证明 3 2 EFH    ，即可代入得到答案． 【详解】过点 E作EG AB∥ ，过点 F作FH AB∥ ， EG FH ∥ ， 1 BEG  ， GEF EFH   ， 1 60EFH BEG GEF BEF        ， AB CD  ， FH CD ∥ ， 2HFC  ， 3 2 2EFH HFC EFH        ， 1 3 2 1 60EFH       ． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，分别过点 1 2 3, , , nM M M M 作 1 1 2 2 3 3, , , , n nM N AB M N AB M N AB M N AB     ，可得 1 1 2 2 3 3 n nAB M N M N M N M N CD     ，根据两直线平行，同旁内角互补，求出 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 3180 , 180 , 180 , , 180n nB BM N N M M M M N N M M M M N N M D D                ，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点 1 2 3, , , nM M M M 作 1 1 2 2 3 3, , , , n nM N AB M N AB M N AB M N AB     ， ∵ AB CD∥ ， ∴ 1 1 2 2 3 3 n nAB M N M N M N M N CD     ， ∴ 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 3180 , 180 , 180 , , 180n nB BM N N M M M M N N M M M M N N M D D                ∴  1 1 180nB D M M n        ． 故选：B． 3．(1)见解析 (2) A AEC C    ．理由见解析 (3) 1 2 3 1 2 2 3A E E E C AE E E E C      【分析】题目主要考查平行线的判定及性质，通过判定及性质推出各角之间的关系，解题关键 在于作出相应的辅助线． （1）过点E作EM AB∥ ，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出 答案； （2）过点E作EM AB∥ ，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出 角的关系； （3）依据（1）的证明方法，可推出角之间的关系． 【详解】（1）解：如图所示：过点E作EM AB∥ ， ∵ AB CD∥ ，EM AB∥ ， ∴ AB CD EM∥ ∥ ， ∴ A AEM   ， C CEM   ， ∵ AEC AEM CEM    ， ∴ AEC A C    ； （2）解： A AEC C    ，理由如下： 如图所示：过点E作EM AB∥ ， ∵ AB CD∥ ，EM AB∥ ， ∴ AB CD EM∥ ∥ ， ∴ A AEM   ， C CEM   ， ∵ AEM AEC MEC    ， ∴ A AEC C    ； （3）解： 1 2 3 1 2 2 3A E E E C AE E E E C      ，理由见解析， 如图：过点 1E 作 1E M AB∥ ，过点 2E 作 2E N AB∥ ，过点 3E 作 3E H AB∥ ， ∵ 1E M AB∥ ， 2E N AB∥ ， AB CD∥ ， 3E H AB∥ ∴ 1 2 3AB CD E M E N E H∥ ∥ ∥ ∥ ， ∴ 1A AE M   ， 1 2 1 2ME E E E N   ， 2 3 3 2E E H E E N   ， 3CE H C   ∴ 1 2 3 2 31 1 2 3 1 1 2 2 3 3AE M E E N CA E EE E C HN AE M ME E E E HE E CE H              ∴ 1 2 3 1 2 2 3A E E E C AE E E E C      即： 2 1 3A E C E E     ∠ 考点 7 平行线分类讨论问题 1．(1) B E   ，理由见解析 (2) 180B E   ，理由见解析 (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【分析】（1）根据平行线的性质得出 1 1B E   ， ，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出 1 180 1B E      ， ，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）解： B E   ，理由如下： 如下图， ∵ AB DE∥ ， ∴ 1B   ， 又∵BC EF∥ ， ∴ 1 E   ， ∴ B E   ； 故答案为： B E   ； （2）解： 180B E   ，理由如下： 如下图， ∵ AB DE∥ ， ∴ 1 180B   ， 又∵BC EF∥ ， ∴ 1 E   ， ∴ 180B E   ， 故答案为： 180B E   ； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 2．（1） APB PAC PBD   ，理由见解析．（2）不成立， PAC APB PBD   【分析】（1）过点 P作 1//PE l ，根据两直线平行，内错角相等进行推理证明； （2）根据两直线平行，内错角相等，分两种情况进行讨论证明． 【详解】解：（1） APB PAC PBD   ， 如图 1，过点 P作 1//PE l ， ∴ APE PAC  ， ∵ 1 2//l l ， ∴ 2//PE l ， ∴ BPE PBD   ， ∴ APE BPE PAC PBD     ， ∴ APB PAC PBD   ； （2）不成立， 如图 2： PAC APB PBD   ， 理由：过点 P作 1//PE l ， ∴ APE PAC  ， ∵ 1 2//l l ， ∴ 2//PE l ， ∴ BPE PBD   ， ∵ APB APE BPE PAC PBD      ， ∴ PAC APB PBD   ； 如图 3： PBD PAC APB   ， 理由：过点 P作 1//PE l ， ∴ APE PAC  ， ∵ 1 2//l l ， ∴ 2//PE l ， ∴ BPE PBD   ， ∵ APB BPE APE PBD PAC       ， ∴ PBD PAC APB   ． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 考点 8 标角法-平行线复杂计算与证明题 1．(1) G AEG CFG     ，见解析 (2)135 (3) 2 180G H    ，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关 键． （1）如图：过点 G作 AB MN∥ ， 易得 AB CD MN∥ ∥ ，由平行线的性质可得 ,AEG NGE CFG NGF      ，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得 ,GFH HFD AEH HEG      ，设 ,GFH HFD x AEH HEG y        ，则 180 2GFC x   、 2AEG y  ；结合（1） 的结论可得 G CFG AEG    、 H AEH HFC    ，再结合 90G  可得 45x y  ，同理可得  180 180H HFC AEH x y x y         ，然后代入数据 即可解答； （3）由角平分线定义可得 ,GFH HFD AEH HEG      ，设 ,GFH HFD x AEH HEG y        ，则 180 2GFC x   、 2AEG y  ；结合（1） 的结论可得 G CFG AEG    、 H AEH HFC    ，进而得到  180 2G x y    、  2 360 2H x y    ，然后观察即可解答． 【详解】（1）解： G AEG CFG     ，理由如下： 如图：过点 G作 AB MN∥ ， ∵ AB CD∥ ， ∴ AB CD MN∥ ∥ ， ∴ ,AEG NGE CFG NGF      ， ∴ EGF NGE NGF AEG CFG       ，即 G AEG CFG     ． （2）解：∵FH 平分 GFD ，HE平分 ABG ， ∴ ,GFH HFD AEH HEG      ， 设 ,GFH HFD x AEH HEG y        ，则 180 2GFC x   ， 2AEG y  由（1）的结论可得： G CFG AEG    ， H AEH HFC    ， ∵ 90G   ∴  90 180 2 2 180 2x y x y       ，解得： 45x y  ， ∴  180 180 180 45 135H HFC AEH x y x y             ． （3）解：∵FH 平分 GFD ，HE平分 ABG ， ∴ ,GFH HFD AEH HEG      ， 设 ,GFH HFD x AEH HEG y        ，则 180 2GFC x   ， 2AEG y  由（1）的结论可得： G CFG AEG    ， H AEH HFC    ， ∴  180 2 2 180 2G CFG AEG x y x y         ，  180 180H HFC AEH x y x y         ， ∴  2 360 2H x y    2 180G H    ． 2．(1)证明见解析 (2)15 (3) 3 180BMN GEK GEH      【分析】（1）过点 E作EE AB∥ ，根据题意和平行线的判定得 EE AB CD∥ ∥ ，根据平行 线的性质得 1 2AME CNE     ， ，根据 1 2MEN    ，即可得； （2）根据题意得 1 2 NEF MEN   ， 1 2 ENP END   ，根据平行线的性质得 1 2 QEN ENP ENC     ，根据 MEN AME ENC   得 30MEN ENC AME     ，即可得 FEQ NEF NEQ    ，进行计算即可； （3）根据题意得 1 3 ENM AMN   ， 1 3 GEM GEK   ，根据 EH MN 得 1 3 HEM EMN AMN    ，根据 1 1 3 3 GEH GEK AMN     得 3 GEH GEK AMN   ，根据 180AMN BMN   得 ( )3 180GEH GEK BMN    ，即可得 3 180BMN GEK GEH     ． 【详解】（1）证明：如图 1 所示，过点 E作EE AB∥ ， ∵ AB CD∥ ， ∴ EE AB CD∥ ∥ ， ∴ 1 2AME CNE     ， ． ∵ 1 2MEN    ， ∴ MEN AME ENC   ； （2）解：∵EF平分 MEN ， NP平分 ENC ， ∴ 1 1 2 2 NEF MEN ENP ENC     ， ． ∵EQ NP∥ ， ∴ 1 2 QEN ENP ENC     ． ∵ MEN AME ENC   ， ∴ 30MEN ENC AME     ， ∴ FEQ NEF NEQ    1 1 2 2 MEN ENC     1 2 MEN ENC   1 30 2    15 ； （3）解：∵ 3 3AMN EMN GEK GEM     ， ， ∴ 1 1 3 3 EMN AMN GEM GEK     ， ． ∵ EH MN ， ∴ 1 3 HEM EMN AMN    ． ∵ 1 1 3 3 GEH GEM HEM GEK AMN       ， ∴3 GEH GEK AMN   ． ∵ 180AMN BMN   ， ∴ ( )3 180GEH GEK BMN    ， ∴ 3 180BMN GEK GEH     ． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差计算．解题的关键是 根据图形找到角之间的和差关系和熟练掌握平行线的性质． 考点 9 定理、命题的判断与改写 1． ②③ ③ 【分析】本题考查了命题的定义、判断命题真假，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据命 题的定义，对语句逐一分析判断即可． 【详解】解：①画线段 AB不是命题； ②两个负数的差一定是负数是命题，是假命题； ③同角的余角相等是命题，是真命题； ④如果直线 a，b不相交，那么 a与 b平行吗？不是命题； 其中是命题的有②③，是真命题的有③． 故答案为：②③；③． 2． 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线 平行，同位角相等 【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命 题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论 解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两 直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”， 逆命题为“两直线平行，同位角相等”， 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平 行，同位角相等． 3．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么 这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 考点 10 图形的平移与作图 1．C 【分析】本题考查的是生活中的平移现象，熟知在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动， 这种图形的平行移动，叫做平移变换是解题的关键．根据图形平移的性质解答即可． 【详解】解：由图形可知，选项 C与原图形完全相同． 故选：C． 2．(1)见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移变换和线段之间的位置关系，熟练掌握网格中图形平移的方法是解题的 关键， （1）根据题中的平移方法平移即可得到 1 1 1A BC△ ， （2）连结 1 1,AA BB ，由图可得 1 1,AA BB 平行且相等． 【详解】（1）解：由题可得： 1 1 1A BC△ 就是所要求作的三角形，如下图： （2）解：连结 1 1,AA BB ，如下图所示： 由图可得：线段 1AA 和线段 1BB 为平行且相等． 考点 11 根据平移求周长、面积 1．C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得DF AE ， 2cmAD EF  ，然后 判断出四边形 ABFD的周长 ABE 的周长 AD EF  ，然后代入数据计算即可得解．能熟 练利用平移的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵将 ABE 向右平移2cm得到 DCF ， DF AE  ， 2cmAD EF  ， ∴ 16AB BE DF AD EF     ， 16AB BE AE AD EF      ，  ABE 的周长为： 16 AD EF  16 2 2   12cm ， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移 可把草坪把为一个长为  32 mx ，宽为  20 mx 的矩形，从而根据题中的等量关系即可得 出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为 x米， 根据题意得：   20 32 540x x   ， 故选：C． 3．252 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键； 利用平移和平行分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向向下平移到 BC上，竖直方向的线段沿 水平方向向左平移到 AC上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边 BC的长度， 纵向线段的长度之和就等于纵向直角边 AC的长度，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 地毯的总长度至少为5.6 2.8 8.4  (米)． 此时，总面积为8 4 3 25 2. .  (平方米)， 所以购买地毯至少需要 25.2 10 252  (元)． 4．(1)6 (2)21 【分析】本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的 线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）根据平移的性质得到 8DE AB  ，计算即可； （2）根据 ABC DEFS S  ，得到 ABEHS S阴影部分 梯形 ，再根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵ ABCV 沿着 BC方向平移得到 DEF ， 3ABC ADE BE CF  ， ≌ ， 8DE AB   ， 8 2 6HE DE DH      ； （2）由（1）可知： ABC ADE△ ≌△ ， ABC DEFS S △ △ ， ABC HEC DEF HECS S S S   △ △ △ △ ，  1 6 8 3 21 2ABEH S S      阴影部分 梯形 ， 故答案为：21．