专题05 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题05 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、长方形中折痕过对角线模型 3 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 7 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 11 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 15 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 17 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 20 压轴能力测评（12题） 23 解题知识必备 1. 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 2. 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 3. 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 4. 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5. 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6. 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 压轴题型讲练 类型一、长方形中折痕过对角线模型 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 【变式训练1】如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是 ． 【变式训练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【变式训练1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【变式训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【变式训练1】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．    (1)证明； (2)求的面积． 【变式训练3】（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【变式训练1】（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【变式训练2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末） 如图，在三角形纸片中，，，，点E在线段上，将沿着折叠，的对应边刚好过点B，则的长   ． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 13．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点O为的中点，点D是线段上的动点（点D不与点O，B重合），将沿直线折叠得到，连接． (1)若，，求的长； (2)若，则 ； (3)若是等边三角形，请直接写出的值． 14．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，连接，若，且，求出的值； (3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 利用勾股定理解决折叠问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、长方形中折痕过对角线模型 3 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 7 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 11 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 15 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 17 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 20 压轴能力测评（12题） 23 解题知识必备 1. 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEC是等腰三角形。 2. 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：≌； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：AEF是等腰三角形。 3. 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 折在矩形内 结论1：≌； 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 折在矩形外 结论1：四边形≌四边形； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3：GC’F是直角三角形。 4. 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5. 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6. 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 压轴题型讲练 类型一、长方形中折痕过对角线模型 例题：（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，沿折叠长方形纸片，点D落到点E处，交于点F，若，，则 ． 【答案】3 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的翻折应用，涉及等腰三角形的判定，熟练掌握翻折中的勾股定理是解题的关键．利用翻折和平行判定，再在中利用勾股定理列式解决即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴， 由翻折得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】如图，在长方形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值． 【详解】解：∵，，∴AD=，， 由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，， ∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF， ∴在Rt中，由勾股定理得：， ∴，解得：EF=，故选：A． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键． 【变式训练2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，把一个长方形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴上，连接，将纸片沿着折叠，使点A落在的位置上，若，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】设与交于点F，作于点E，根据证明，那么，设，利用勾股定理可得，，利用面积可得，利用勾股定理可得，进而可求出点的坐标． 【详解】解：设与交于点F，作于点E ∵纸片沿折叠 ∴ ∵ ∴ ∴， 设 ∴ ∴， 解得 ∴，， ∵ ∴ ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，证明是解答本题的关键． 【变式训练3】（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形中，，，．点为上的一个动点，把沿直线翻折得．    (1)当点落在边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时，与交点，求长． 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）由知，结合点落在边上知，从而得出答案； （2）由折叠得出，再由得出，从而得知，可得，设，则，在中，由得到关于的方程，解之可得． 【详解】（1）解：由题意知， ， 点落在边上时，， ， 故答案为：45； （2）如图2，由题意知， 四边形是长方形， ， ， ， ， 设，则， 在中，由得： ， 解得，即． 【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，和勾股定理是解决问题的关键． 类型二、长方形中折痕过一顶点模型 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合， ∴， ∴，， ∴； （2）∵折叠， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线上处，若，则的长为（　　） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键．首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可． 【详解】∵， ∴， ∴根据勾股定理得， 根据折叠可得：， ∴， 设，则， 在中：，即， 解得：， 故答案为：B． 【变式训练2】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练3】（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 类型三、长方形中折痕过任意两点模型 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 【变式训练1】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵是边的中点， ∴， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式训练2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形中，边，．将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处．    (1)证明； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据同角的余角相等，可得，通过即可证明，可得结论； （2）设，则，在中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：证明：四边形是长方形， ，， 将此长方形沿折叠，使点与点重合，点落在点处， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 【变式训练3】（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点与重合，与重合．若长方形的长为，宽为．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于，在 中，由勾股定理的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知． 设，则 在中，， ，                  解得：， ； （2）过点作于，则， 在 中， ，由勾股定理：，即 ． ， ，         ，    （3）过点作于， ， ，，         ， ，         ． 【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 【变式训练2】（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． (1)在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； (2)在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 【变式训练1】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论． 【详解】解：在中由于，，， 由勾股定理得：， ∵由折叠可知， ， 设，则． 在中，， 即，解得， ∴． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、为一块直角三角形纸片，． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1），（2）， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出，由由翻折的性质可得，，再进一步得到即可求解． （2）过点作交延长线于点，连接，先证明，得到，进一步即可得到． 【详解】（1）解：在中， ， 由翻折的性质可知：，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 理由如下： 过点作交延长线于点，连接，如图： ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例题：在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 【变式训练1】（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 【变式训练2】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，勾股定理等知识点，根据长方形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握折叠的性质及勾股定理． 【详解】∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，纸片的两直角边长分别为3和4，，折叠，使B、C两点重合，折痕为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查三角形的折叠问题，先判断两直角边的长度，由折叠得出，设，利用勾股定理解即可． 【详解】解：中，， 为斜边，， 由折叠知， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为， 故选B． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则为长度的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据折叠的性质可得，设，表示出，然后在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴的长是． 故选：C． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，折叠长方形一边，使D落在边的点F处，已知，，则的长 ． ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，根据折叠，得到，，勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠长方形一边，使D落在边的点F处， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：， ∴； 故答案为： 6．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，将沿直线折叠，使得点A落在点D处，与交于点E，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查坐标与图形，折叠问题，根据点的坐标得到轴，轴，，折叠推出，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴轴，轴，， ∴轴，， ∴ 由折叠可得，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 7．（22-23八年级上·浙江舟山·期末） 如图，在三角形纸片中，，，，点E在线段上，将沿着折叠，的对应边刚好过点B，则的长   ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的算术平方根、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，用勾股定理列方程是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据折叠的性质得，，设为x，将用含x的代数式表示出来，然后在中根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：∵在中，， ， 根据折叠的性质得，， ∴， 设，则， 在Rt中，根据勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【详解】解：如图中，当时， ， ， ∴，，共线， ∵是的中点， ∴， ∵， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ； 如图中，当时，， ∴根据折叠可知：， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点D恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为． (1)写出点F的坐标． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与折叠问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）由点D的坐标可知，，根据翻折的性质可知，由勾股定理可求得，进而可求出点F的坐标． （2）设，由折叠得，则，在△中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点D的坐标为，在矩形中， ∴，， 由折叠的性质的可知：， 在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：设，由折叠得，则， ∵， ∴， 在△中，， 解得： ， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置． (1)若，则______，______； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，，求的面积． 【答案】(1)， (2)是等腰三角形，见解析 (3) 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了勾股定理、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识． （1）根据平行线的性质和折叠的性质即可求出答案； （2）由折叠可知，由得到，则，即可得到结论； （3）设的长为x，则，，由勾股定理得，解得，，则，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由折叠可知，， ∴； 故答案为：， （2）是等腰三角形， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）设的长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得，， ∴ ∴． 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处． (1)试判断线段与的关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：． 【答案】(1)垂直平分．理由见解析 (2) (3)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由折叠的性质可得出结论； （2）由勾股定理可求出答案； （3）证出，由直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）垂直平分． 理由如下：将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 垂直平分． （2）四边形是长方形，， ， ， 又， 在中，， ， ， ， ． （3）证明：设，由折叠的性质可得， ，，． 又点是的中点， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ．， ， ， ． 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）综合与实践． 课堂上老师展示了一张直角三角形纸片，请同学们进行折纸活动．已知在中，，点D、F分别是上的一点，连接． (1)如图1，将沿直线折叠，点B恰好与点C重合，则________（填“”、“”或“”）； (2)如图2，将沿直线折叠，点B落在的中点E处，若，，求线段的长； (3)如图3，将沿直线折叠，点B落在延长线上的点E处，平分，求的度数． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，角平分线性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，，求得，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的判定定理得到 （2）由点是的中点，，得到，根据折叠的性质的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （3）根据角平分线的定义得到．由折叠的性质得到．等量代换得到，根据三角形的内角和定理得到结论． 【详解】（1）将沿直线折叠，点恰好与点重合， 故答案为： （2）点是的中点，， 将沿直线折叠，点落在的中点处， （3）平分， 由折叠可知：． 又， 13．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点O为的中点，点D是线段上的动点（点D不与点O，B重合），将沿直线折叠得到，连接． (1)若，，求的长； (2)若，则 ； (3)若是等边三角形，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，以及勾股定理，理解题意，灵活运用是关键． （1）根据已知条件可知，由折叠可知，，则，为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求得的长； （2）根据折叠可知，则，，可得是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得的度数； （3）根据已知条件得，由等腰三角形的性质可知，得为直角三角形，再根据勾股定理可得，，即可求得结论． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）若是等边三角形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴且过O点， 即， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理可得：， ∵点O为的中点， ∴， ∴； 14．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，点P为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点B的对应点为． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，连接，若，且，求出的值； (3)如图3，连接，若，是否存在点P，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)1 (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）先根据同位角相等，两直线平行得出，再由平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，即可证明，再根据等角对等边证明即可； （2）设，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半及勾股定理得，过点作，垂足为Q，进而证得是等边三角形，即可求解； （3）先由三边相等证明是等边三角形，再分两种情况讨论：①当点在左侧时，过点C作于点H，②当点在右侧时，过点C作于点H，设，则，由勾股定理得，分别表示出的值，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴,， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，由勾股定理得， 过点作，垂足为Q， ∴， 由勾股定理得， ∴， 延长到点M，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ①当点在左侧时，过点C作于点H，则， ∵将沿直线折叠，使得点B的对应点为， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②当点在右侧时，过点C作于点H，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，翻折的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$