17.1勾股定理 备课包 2024-2025学年人教版数学八年级下册

17.1勾股定理 人 教 版 数 学 教 材 八 年 级 下 www.v5ppt.com 1 情景1：下图是2002年在北京召开的国际数学大会的会徽，请同学们认真观察会徽与数学的联系。 一、创设情境，激趣引入 相传2500多年前，毕达哥拉斯在朋友家做客期间，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数学关系。 情景2 毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家 问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？ 二、动手实践，探求新知 A B C 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ A B C 5 问题3　在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)： 这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？ 方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 左图： 右图： 方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 左图： 右图： 你还有其他办法求C的面积吗？ 根据前面求出的C的面积直接填出下表： A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 13 25 9 16 9 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. 证法1：赵爽“弦图” 3世纪我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。 a b b c a b c a 让我们跟着我国数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 小贴士 我国是发现并研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家把两条直角边称为勾（短边）和股（长边），斜边称为弦，这就是我国称之为勾股定理的由来。 勾股定理最早的发现者是我国西周时期的数学家商高，根据《周髀算经》的记载，他提出了勾三股四弦五的数学原理，首次反映了直角三角形三条边之间的关系。 勾股定理是历史上最先把数与形联系起来的定理，有着巨大的实用价值。该公式大约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。它是中国人智慧的结晶，是中国古代文化的精华。 请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 证法2：毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明： ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 证法3：总统证法 在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a、b、c为正数 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 公式变形： 勾股定理 a b c 归纳总结 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 勾 股 勾2+股2=弦2 小贴士 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. 解： (1)据勾股定理得 (2)据勾股定理得 C A B 三、学以致用，巩固提高 例2 某楼房在20米高处的楼层失火，消防员取来25米长的云梯救火，已知梯子的底部离墙的距离是15米，问消防员能否进入该楼层灭火？ 解：由题可知AB=25，BC=15 由勾股定理可得 AC2+BC2=AB2， 即AC2=AB2 - BC2 =252 -152 =400 因为高度不能为负，所以AC=20 楼层在20米高处，所以消防员刚好能够到达该楼层，能进入该楼层灭火 A C B 练一练 求下列图中未知数x、y的值： 解：由勾股定理可得 81+ 144=x2， 解得x=15. 解：由勾股定理可得 y2+ 144=169， 解得 y=5 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 四、课堂小结，升华思想 四、课堂小结，升华思想 在伟大的数学家身上你感悟到了什么？ 赵爽弦图证明的巧妙与独特，体现中国古代数学家智慧。古代数学家对勾股定理的研究贡献，传承不畏艰难、坚持不懈，勇于探索的科学精神。 希望同学们： 今后的学习中传承和发扬这种数学家精神，勇于追求真理，不断探索未知。在学习和生活中勇于创新、敢于思考。 五、布置作业 1. 书面作业：完成教材课后习题17.1第1-2题。 2. 拓展作业：查阅资料，了解勾股定理在建筑、测量等领域应用，写一篇300字左右数学小论文。 $$ “课程思政”《勾股定理》教学设计 【教学思考】 黄河哺育的炎黄子孙有着光辉灿烂的文化，在数学领域中形成了辉煌的数学文化，仅以古代数学为例，至少有二三十项数学成就，曾处于世界领先地位，若我们数学教师结合教材实际，将生动的数学史科融合在数学知识的传授中，则会收割良好的爱国主义教育效果。 【教材分析】 本节课是勾股定理的第1课时，根据课程标准的要求，注意让学生经历探索勾股定理的过程，鼓励学生用不同的方法解决问题，在解决问题的过程中，注意渗透数形结合的思想。另外，勾股定理具有很高的文化价值，这点要充分体现。 【教学目标】 学生能理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的表达式，熟练运用勾股定理在已知直角三角形两边时求第三边的长度；通过探索勾股定理的证明过程，体会数学中的数形结合思想，提升逻辑推理和数学运算能力；从不同文化对勾股定理的研究中，学会从多元视角分析数学问题；感受勾股定理丰富的数学文化内涵，增强民族自豪感和文化自信；培养学生严谨治学、勇于探索创新的科学精神，以及团队合作与交流的意识，体会数学的美学价值。 【教学重点】 勾股定理的内容、证明及应用；勾股定理相关数学文化的融入与呈现。 【教学难点】 如何将思政元素巧妙且深入地贯穿于勾股定理教学，引导学生在数学学习中实现思想层面的升华。 【教学过程】 1、 创设情境，激趣引入 情景1：多媒体出示2002年在北京召开的国际数学大会的会徽，请同学们认真观察会徽与数学的联系。 【设计意图】让学生体会数学与生活实际的联系，激发学习数学的兴趣，渗透爱国思想。 情景2：多媒体出示2500多年前毕达哥拉斯在朋友家做客期间，从朋友家的地砖中发现的数学问题。 【设计意图】向伟大的数学家学习，养成良好的学习习惯，主动观察，主动学习，发现生活中隐藏的数学知识，并能够进一步研究发现新的问题 教师：从以上情景中你有什么感悟？ 生1：数学来源于生活，数学又服务于生活。 生2：要养成善于观察、善于思考的好习惯。 师：本节课就让我们一起来探索图中的奥秘，努力成为下一个伟大的数学家（渗透目标教育） 2、 动手实践，探求新知 问题1　三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？ 问题2 图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？ 教师追问：是不是所有三角形都具有这样的性质呢？ 猜想：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。 （教师出示图片，学生独立思考，然后小组内相互交流。） 利用面积法：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积。 在图1中，SA+SB=SC；图2中，SA+SB=SC。可以得出，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 。 师：那么这个命题是不是真命题呢？ 生：是。 师：数学是一门很严谨的学科，我们需要对这个命题进行更加严密的逻辑推理，来证明它的真实性。 活动1：请同学们现在拿出你手中的两个硬纸板正方形，通过剪、拼计算出两个正方形的面积和。（小组合作） 【设计意图】通过裁剪前后面积相等，证明命题的真实性，培养学生的动手操作、合作探究、总结归纳的能力。交流结果：化简得a2+b2=c2。） 老师介绍：这种证法类似于我国三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的证明方法，赵爽是我国历史上杰出的数学家，他对图形进行切割和拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，该图称为“赵爽弦图”，被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。 教师介绍勾股定理的历史：我国是发现并研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家把两条直角边称为勾（短边）和股（长边），斜边称为弦，这就是我国称之为勾股定理的由来。 勾股定理最早的发现者是我国西周时期的数学家商高，根据《周髀算经》的记载，他提出了勾三股四弦五的数学原理，首次反映了直角三角形三条边之间的关系。勾股定理是历史上最先把数与形联系起来的定理，有着巨大的实用价值。该公式大约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。它是中国人智慧的结晶，是中国古代文化的精华。 【设计意图】赵爽利用几何图形的拼接和面积关系来证明代数式之间的恒等关系，既具有直观性，又具有严密性，为学生展示了数形统一、以形证数的经典方法；同时介绍我国古代数学家对勾股定理的研究成果，培养学生爱国热情和民族荣誉感 活动2体验毕达哥拉斯和美国第二十任总统的证法 【设计意图】采用不同的方法证明勾股定理，感悟证明方法的多样性，为课后的作业做铺垫，激发学生养成寻求多种途径解决问题的思维习惯，为社会主义建设培养创新型人才 归纳总结：勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边为c，那么a2+b2=c2 3、 ( C A B )学以致用，巩固提高 例1 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b. ( A C B )例2 某楼房在20米高处的楼层失火，消防员取来25米长的云梯救火，已知梯子的底部离墙的距离是15米，问消防员能否进入该楼层灭火？ 4、 课堂小结，升华思想 回顾勾股定理内容、证明要点以及相关数学文化。 【设计意图】强调勾股定理是数学文化瑰宝，鼓励学生在今后学习中保持对数学的热爱，传承和弘扬数学文化，秉持严谨态度探索科学知识。 5、 作业设计 1. 书面作业：完成教材课后习题17.1第1-2题。 2. 拓展作业：查阅资料，了解勾股定理在建筑、测量等领域应用，写一篇300字左右数学小论文。 学科网（北京）股份有限公司 $$