浙江省宁波市鄞州区艺术实验学校（第十九中学）2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

艺术实验 2024 学年第一学期初二数学期中题卷 一. 选择题 (共 10 小题, 每题 3 分, 共 30 分) 1. 下列四个图形中, 是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2. 以下列数值为长度的各组线段中, 能组成三角形的是( ) A.2,4,7 B.3,3,6 C.5,8,2 D.4,5,6 3. 对于命题“若 ,则 . ”下面四组关于 的值中,能说明这个命题是假命题的是 ( ) A. B. C. D. 4. 如图为一张锐角三角形纸片 ,小明想要通过折纸的方式折出如下线段: ① 边上的中线 ; ② 的平分线 ; ③ 边上的高 . 根据所学知识与相关活动经验可知: 上述三条线中, 能够通过折纸折出的有( ) A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 5. 不等式组 的解集在数轴上表示证确的是( ) A. B. C. D. 6. 若点 关于原点对称的点在第二象限,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 或 7. 水果店进了某种水果 1000 千克,进价为 7 元/千克,出售价为 11 元/千克,商家卖掉一半质量的水果后准备打折出售,如果要使总利润不低于 3450 元,应至少( )折出售. A. 7 折 B. 8 折 C. 8.5 折 D. 9 折 8. 如图 1, 中, ,点 的坐标为(6,0),将 绕点 逆时针旋转得到 , 当点 的对应点 落在线段 上时,点 的坐标为( ) A. B.(7,5) C. D. 图 1 图 2 9. 我国是最早了解勾股定理的国家之一, 在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明, 相传是由商高发现, 故又称之为 “商高定理”. 下列四幅图中, 不能证明勾股定理的是( ) A. B. C. D. 10. 如图 2,在 中, 平分 交 于点 平分 交 于点 、 交于点 . ① ；②若 ,则 ；③ ；④ ⑤ . 则上列说法一定正确的是( ) A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 二. 填空题 (共 6 小题, 每题 3 分, 共 18 分) 11. 如图 3,在天平左盘放 3 个乒乓球,右盘放 5g 砝码,天平倾斜,设每个乒乓球的质量为 ,请写出 与 5 之间的关系:_____.(用不等式表示) 12. 若等腰三角形的两边长分别为 2 和 5,则这个等腰三角形的周长为_____. 13. 如图 4,在直角 中, ,按以下步骤作图: ① 以点 为圆心, 长为半径作弧,交 于点 ; ②分别以点 为圆心,大于 的一半为半径作弧,两弧交于点 ; ③连结 交 与点 ；则 _____. 图 3 图 4 图 5 14. “三等分角” 大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的, 借助如图所示的 “三等分角仪” 能三等分任一角. 这个三等分角仪由两根有槽的棒 组成,两根棒在 点相连并可绕 转动, 点固定, ,点 、 可在槽中滑动. 若 ,则 的度数是_____. 15. 如图,这是某同学设计的一个计算机程序,规定从 “输入一个 值” 到判断 “结果是否≥15” 为一次运行过程,如果程序运行两次就停止,那么 的取值范围是_____. 16. 如图 5,在 中, ,点 E为 B的中点,点 分别为 上的点,连结 ,若 ,则 的长度为 三. 解答题 (共 8 小题, 分,共 52 分) 17. (1) 解方程组: (2)解不等式组: . 18. 已知 ,求证: . 19. 如图,在正方形网格中,点 都在格点上. ( 1 )作 关于直线 对称的图形 ； (2)若网格中最小正方形的边长为 1,则 的面积为_____； (3)在直线 上取一点 ,求 的最小值为_____. 20. 已知 四个点. (1) 在图中描出 . 四个点,顺次连结 ; (2)直接写出线段 之间的数量和位置关系； (3)在 轴上是否存在点 ,使 ,若存在求出 点坐标, 若不存在, 请说明理由. 21. 如图, 在 上, 是 的中点. (1) 求证: ; (2) ,求 的度数. 22. 刺绣是我国民间传统手工艺,湘绣作为中国四大刺绣之一,闻名中外,某国际旅游公司计划购买 、 两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品. 已知购买 1 件 种湘绣作品与 2 件 种湘绣作品共需要 700 元, 购买 2 件 种湘绣作品与 3 件 种湘绣作品共需要 1200 元. (1)求 种湘绣作品和 种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买 种湘绣作品和 种湘绣作品共 200 件,总费用不超过 50000 元,那么最多能购买 种湘绣作品多少件? 23. 对 定义一种新运算 “ ” ,规定: . ( , 均为非零常数),等式右边的运算是通常的四则运算,例如: . ( 1 ) 已知 . ① 求 的值； ② 若关于 的不等式组 有且只有两个整数解,求字母 的取值范围; (2)若运算 “ ” 满足加法交换律,即对于我们所学过的任意数 ,结论 “ ” 都成立,试探究 应满足的关系. 24. 已知在 中, ,点 是边 上一点, . (1)如图 1,试说明 的理由; (2)如图 2,过点 作 ,垂足为点 , 与 相交于点 。如果 是等腰三角形, 求 的度数. (3)如图 3,把 以 为对称轴翻折至 ,若此时 ,求 的面积. 附加题 (4+3+3 分, 共 10 分) 1. 若直角三角形三边长为正整数, 且周长与面积数值相等, 则称此三角形为“完美直角三角形”, 求“完美直角三角形”的斜边长为_____ 2. 已知 ,则 的值为_____. 3. 求 的最小值为_____. 参考答案 1-5：DDBAB 6-10:CDACB 11:3＞5 12:12 13： 14:80° 15:3≤＜7 16: 17解析： （1）原方程组的解为 （2） 解不等式①得 , 解不等式②得 , 则不等式组的解集是 . 18解析： 证明: , ,即 , 在 和 , . 19解析：(1)如图, 即为所求. (2) 的面积为 (3) 连接 ,交直线 于点 ,连接 , 此时 ,为最小值. 由勾股定理得, , 的最小值为 . 故答案为: . 20解析： (1)画出图象如图所示: (2)由图象可得: ; . 设在 轴上存在点 ,使 , ,即 , 解得: . 在 轴上存在 , 使 . 21解析： (1)证明: 在 和 中, , , 是 的中点, . , , , , , , , 的度数是 . 22解析： (1)设 种湘绣作品的单价为 元, 种湘绣作品的单价为 元, 根据题意得: , 解得: . 答: 种湘绣作品的单价为 300 元, 种湘绣作品的单价为 200元; ( 2 )设购买 种湘绣作品 件,则购买 种湘绣作品 (200 - m)件, 根据题意得: , 解得: , 的最大值为 100 . 答: 最多能购买100件 种湘绣作品. 23解析： (1) , 解得: ; ② , , , , 即 , 解得: , 关于 的不等式组 ,有且只有两个整数 解, , 解得: , 即字母 的取值范围是 ; (2) , , , , , 为任意数, 不一定等于 0, , 即 所应满足的关系式是 . 24解析： , , 是 的一个外角, , , , . ; (2)① , , , 设 ,则 , , ; ② 是 的一个外角, , 分三种情况: 当 时, , , , , ; 当 时, , , , ; 当 时, , , 不存在 , 综上所述:如果 是等腰三角形, 的度数为 或 . 25 附加题： 1解析： （1）设三边长为 ,其中 是斜边, 则有 (2)代入(1)得 即 因为 所以 所以 为正整数) 所以 , 所以 ; , 所以,三边长为6,8,10或5,12,13. 26 2解析： 因为 ,所以 . 又因为 所以 ,即 ,所以 ,所以 . 3解析： 由题意得,代数式 的几何意义是:在x轴上找一点P,使得该点到点A(0,1)和点 B(8,-5) 的距离之和最小,作点A关于x轴的对称点A,连接AB与x轴的交点即为点P,此时 PA+PB 的值最小,且最小值为 的长, , ,∴代数式 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$