广东省湛江市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试卷

高二数学 第 1 页，共 4 页 湛江市 2024-2025 学年度第一学期期末调研测试 高二数学 本试卷共 4 页，19小题，满分 150分。考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．已知抛物线𝐶: 𝑥2 = 16𝑦的焦点为 F，点𝑀(𝑥0, 𝑦0)为抛物线 C上一点，若|𝑀𝐹| = 2𝑦0，则𝑦0=（ ） A．4 B．4 2 C．8 D．8 2 2．圆𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0的圆心到直线𝑥 + 𝑦 + 1 = 0的距离为（ ） A．2 B． 2 2 C．1 D．√2 3．已知直线𝑎𝑥 − 4𝑦 − 1 = 0与直线 ( 1) 4 0ax a y+ + + = 平行，则𝑎 =（ ） A．−5 B．−5 或 0 C． 1 D．1或0 4．若?⃗? = (−1,2,1), ?⃗? = (1,2, −3)，则(?⃗? + ?⃗?) ⋅ (2?⃗? − ?⃗?) =（ ） A．-2 B．4 C．-21 D．26 5．已知圆𝑂: 𝑥2 + 𝑦2 = 1，直线 x-y+a=0 上存在点𝑃，过点𝑃作圆𝑂的两条切线，切点为𝐴，𝐵，使得 ∠𝐴𝑃𝐵 = 60°，则𝑎的取值范围（ ） A．[−2,2] B．[−∞, 2] C．[−2√2, 2√2] D．[−2√2, +∞] 6.在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D− 中，点 ,E F 分别在棱 1 1BB ,DD 上，且 1 1 1 1 , 4 3 BE BB DF DD= = .若 1EF xAB yAD z AA= + + ，则 x + y + z = （ ） A． 1 12 − B． 1 12 C． 25 12 D． 1 6 − 7．类比椭圆的方程 𝑥2 4 + 𝑦2 = 1我们可以得到一个新的曲线方程 C： 𝑥4 16 + 𝑦4 = 1，曲线𝐶上的点到原点𝑂的 距离平方最大值为( ) A．1 B．2√2 C．√15 D．√17 8.在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D− 中，若 1 1 1 3 B P B C= ,则平面 1A BP与平面 1 1A B P 夹角的余弦值（ ） A．√ 2 3 B．√ 3 4 C．√ 2 5 D．√ 3 6 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对的得部分分. 高二数学 第 2 页，共 4 页 9．在直四棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D− 中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝐴1 = 2，∠𝐵𝐴𝐷 = 2𝜋 3 ，𝐸，𝐹分别为𝐶1𝐷1，𝐴1𝐷1的中 点，则（ ） A． 1 1 2 AE AB AD AA= + + B． 1 1 2 BF AB AD AA= + + C．𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0 D． 5AB BF = − 10．已知直线𝑙: 𝑘𝑥 − 𝑦 + 1 + 2𝑘 = 0与圆𝑀: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 4，则（ ） A 直线𝑙的方程可转化为 ( )2 1k x y+ + = ，即直线𝑙过定点𝑃(−2,1)． B．若直线 l与圆M 有公共点，则实数 k 的取值范围为 3 3 , 3 3   −    C．若圆𝑀上恰有 3 个点到直线𝑙的距离为 1，则𝑘 = ± √15 15 D．若直线𝑙与圆𝑀相交于𝐴，𝐵两点，则𝑀𝐴 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ • 𝑀𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗的取值范围为[−4,4] 11．已知椭圆𝐶1: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的离心率为 1 2 ，双曲线𝐶2: 𝑥2 𝑚2 − 𝑦2 𝑛2 = 1(𝑚 > 0, 𝑛 > 0)的顶点与椭圆𝐶1 的焦点重合，一条渐近线与椭圆𝐶1的一个交点为𝐴 (√3, √3 2 )，则（ ） A．椭圆𝐶1的方程为 𝑥2 4 + 𝑦2 3 = 1 B．双曲线 2C 的离心率为√5 C．过椭圆𝐶1右顶点且垂直于𝑥轴的直线被双曲线 2C 截得的弦长为 3 D．椭圆𝐶1上到直线𝑂𝐴（𝑂为原点）距离最大的点有 2 个。 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12.∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅，函数 ( ) 2 2 1 , ( 1) ( 4) 3 4 5 5 f x y x y x y= − + − + + − 的最小值为 13．已知 , ,a b c 是空间的一组基底，其中 2 3AB a b= − ， AC a c= − ， 2AD b c= + .若 A，B，C，D四点 共面，则 λ= 14.由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角. 已知 1F 、 2F 分别为双曲线C ： 2 2 1 4 5 x y − = 的左、右焦点，过C 右支上一点𝐴(𝑥0, 𝑦0)（ 0 2x  ） 作双曲线C的切线交 x轴于点M ，交 y 轴于点 N ，过点 1F 作 1F H AM⊥ ，垂足为H ，O为原点，求 |𝑂𝐻| = 高二数学 第 3 页，共 4 页 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分 13 分） 设𝑚 ∈ 𝑅，直线𝑙1: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑚 = 0，直线𝑙2: 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 (1)若直线 1l 与𝑙2的距离为 2√5 5 ，求 m的值。 (2)若直线 1l 与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为 4，求 m的值。 16．（本小题满分 15 分） 已知圆 C的方程𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑚 = 0. (1)求 m的取值范围。 (2)若圆 C与直线 l：𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0相交于M，N两点，且|𝑀𝑁| = 4√5 5 ，求 m 的值.。 17．（本小题满分 15 分） 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 2 2: 1 4 x C y+ = 的左、右焦点分别为 1 2, ,F F A为椭圆C 的右顶点， B 为椭 圆C 的上顶点， P 为椭圆C 上与椭圆顶点不重合的动点，直线PA与 y 轴交于点N ，直线PB与 x轴交 于点M 。 （1）求|𝐴𝑀| ⋅ |𝐵𝑁|的值。 （2）求△PAB 面积最大值。 高二数学 第 4 页，共 4 页 18．（本小题满分 17 分） 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D− 中，M 是棱BC的中点， N 是棱 1DD 上的动点（含端点）。 (1)若 N 是棱 1DD 的中点，求过 , ,A M N 的平面截正方体 1 1 1 1ABCD ABC D− 表面所得 的截面图形的周长。 (2)若CN 与平面 1AB C 所成的角为，求 sin𝜃的取值范围。 19. （本小题满分 17 分） 已知抛物线的方程 P: 2 4x y= ，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转90∘、180∘、 270∘后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，𝐴、𝐵分别 为曲线在第一象限和第四象限的交点。 (1)求|𝐴𝐵| 的长度。 （2）求直线𝑥 + 𝑦 = 𝑡被第一象限封闭图形截的弦长最大值。 （3）求证：阴影区域的面积不大于32。 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 A 0 B A c B 0 D 题号 9 10 11 答案 ACD ABC ACD 1.A【详解】由抛物线定义可得MF1=2y0=y%+4,即yo=4, 2.D【详解】圆x2+y2+2x-4y+3=0即(x+1)2+y-2)2=2, 所以圆心坐标为Q(-1,2),所以圆心到直线x+y+1=0的距离为=-+2+型=V2 3.B【详解】因为直线ax-4y-1=0与直线ar+(a+1)y+4=0平行， 所P)”解特a=-5孩a=0 4.A【详解】因为a=(-1,2,1),万=(1,2-3)，所以d+6=(0,4,-2),2d-6=(-3,2,5), 则(a+)·(2a-)=0×(-3)+4×2+(-2)×5=-2 5.C【详解】过点P作圆0的两条切线，切点为AB,使得∠APB=60°， 则LAP0=30°，在Rt△PA0中，P0=2,即点0到直线距离d≤2， 6,B【详解】因为EF=EB+BA+AD+DF=-BB-AB+AD+DD =-A不-丽+A而+AA=-AB+A而+AM又EF=xAB+yAD+zAA: 所以x=-1,y=1,2=立故x+y+z=吉 7。D【详解】设曲线上一点为wc小，后+y=1,设m。 M到原点的距离的平方为x2+y2-4cos0+sin0=V7sn(0+p),日∈[0，习 tanp=4,当sin(0+p)=1时，距离平方有最大值为v17. 8D【详解】建立如图所示的空间直角坐标系 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0).D(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D(0,2,2),当 BP=BC时，则P(2,号)故B丽=(0，)BA=(-20,2)设此时平面 A1BP的法向量为i=(a,b,c), 任8叫0a=1c=1-20 高二数学答案第1页，共6页 又A1P=(2号，-》，41可=(20,0)，设平面A1BP的法向量为5=(u”,w), 则：A2=0即2u+知-w=0,取v=1,则u=0,w=1,故5=011. 3 元·A1B1=0( 2u=0 故O,元=品=兽放平面A,BP与平面AB,P陕角的余弦值为鸡 2 9.ACD【详解】对于A,由E为CD的中点，则DE=D1C,在直四棱柱ABCD-AB,C,D中，易知 D,G=AB,DD=AA,所以A正=AD+DD+D1正=AB+AD+AA,故A正确： 对于B,由F为A1D,的中点，则A1F=A1D,在直四棱柱ABCD-4B,C,D中，易知AD=AD, B正=BA+AA+A1正=-A店+AD+AA,故B错误： 对于C,由题意可得AB与AD的夹角为，且c0s号=-是，则AB,A正=AB:(AB+AD+AA) =AB2+A正而+AE·AA=×2+2×2×(-)+0=0,故C正确： 对于D,AB·BF=AB·(-AB+AD+AA)=-AB2+AB,AD+AB.AA =-4+号×2×2×(-)+0=-5，故D正确。 10.ABC【详解】直线的方程可转化为k(x+2)+1=y,即直线过定点P(-2,1).A正确 因为直线l与圆M有公共点，所以圆心M(2,1)到直线1的距离d≤r=2, 2k-1+1+2因≤2， √k2+1 解得k∈【，习，B正确：由圆M的方程得其半径r=2,因为圆M上恰有3个点到直线的距离为1， 所以圆心M(2,1)到直线的距离为1， 2k-1+1+2州=1，解得k= ,C正确： Vk2+1 15 因为MA·MB=MA MB cos(MA,MB)=2x2xcos∠AMB=4cos∠AMB, 因为0<∠AMB≤π，所以-1≤cos∠AMB<1,所以MA·MB∈[-4,4)，D错误. 1.ACD【详解】由C,的离心率为可知后=则a2=4c2,即a2=4(a2-b2),即3a2=4b2①.又 C过点4(59所以号+品=1回.联立0@解得g二专所以椭圆C的方程为号+号=1，A选项 正确：由A项知椭圆C1的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，则由双曲线C的顶点与椭圆C1的焦点重合可知m= 1 高二数学答案第2页，共6页 又由双曲线二的一条渐近线过点A3,所以=”5，解得m=专 21m 即C2:x2-2=1,G:2-兰=1，故双曲线只的离心率为E=_ 中-5，B选项错误： 1 2 过椭圆C右顶点且垂直于x轴的直线为x=2,代入双曲线C2:x2-4y2=1中得y=士 故截得的弦长为 2 √，C选项正确： 5 1, 陆圆G1上到直线OA距离最大的点为B(x,以，椭圆C在点B处的切线与直线0A平行，而k=右？ 则设切线：y=x+t,与椭圆C1方程联立得x2+x+t2-3=0,令4=t2-4(t2-3)=0,得t=±2， 当t=2时，代入得r+2x+1=0,解得x=-1,y=多由对称性知，当t=-2时，x=1,y=- 3 3 所以椭圆C上到直线0A的距离最大的点有2个，分别为(-1，)和(1，-)，D选项正确： 12.兰【详解】√K-1)2+6-4乎表示的几何意义为平面内的点P(x,y)到定点4(1,4)的距离，Bx+41表 5 示的几何意义为平面内的点P(x,y)到定直线3x+4y-5=0的距离，所以f(x,y)表示的几何意义是动点 P(x,y)到定点A(1,4)和到定直线3x+4y-5=0的距离和，如图，过点4作直线3x+4y-5=0的垂线， 垂足为点B,当点P在线段AB时，f(x,y)最小，最小值为AB1=B+16-51=14 5 5 13.1=一【详解】由题意，设存在唯一的实数对c),使得A店=x4C+y4D, 即2a-36=xG-日+y(26+),则2i-35=xa+2y5+y-x,则x2,y=-多y-x=0, 解得入=一青 14.2【详解】由双曲线的光学性质可知，AM平分∠FAF2,延长FH与AF2的延长线交于点E, 则AH垂直平分FE,即AF|=|AE引，H为F1E的中点，又O是FF2中点， 所以OH=IFEl=0A-lAF2D=0AE-IAFD=a=2 15.【详解】(1)因为直线与l2平行且距离为25，所以m≠5， 5 所以2y5=- 522+1 3分 所以m=3或m=7..6分 (2)直线l1:2x+y-m=0, 令x=0,则y=m,幻y=0,则x=受 8分 高二数学答案第3页，共6页 因为直线{，与两坐标轴正半轴相交，所以m>0 由直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为×m×=4, 解得m=4或-4 10分 因为m>0,所以m=4 13分 16.【详解】(1)方程x2+y2-2x-4y+m=0可化为(x-1)2+0y-2)2=5-m,.3分 因为此方程表示圆，所以5-m>0,即m<5. 故m的取值范围是（一0,5）. 5分 (2)因为圆的方程可化为(x-1)2+0y-2)2=5-m, 所以圆心为C(1,2),半径r=√5-m, 6分 圆心C(1,2)到直线上x+2y-4=0的距离为d=+2x2-=5, √12+23 8分 由于MM=5,故与N作2S又r2=d+传Mw), 10分 所以5-m ..12分 解得m=4...15分 Z)设点P(mD,有T+2=1,又由A(2.0),B(0, 2分 直线的方程为=”2-2小，令=0，可得点的级坐标为 2n 2-m ,3分 直线BP的方程为y=”-x+1,令y=0,可得点M的横坐标为心 1-n ….4分 有4M-p 2n (m+2n-2) 2-mm-200n-1可 5分 m2+4r+4+4m-4m-8_4(2+m1-m-2p）-=4 m-m-21+2 m-m-21+2 7分 回由4(2.0)，B(01)得直线4B的斜率为分，方程为y=x+1 .8分 当过点P的切线与AB平行时，以AB为底，P距离AB最大时，即△PAB面积最大。 设与AB平行直线方程1为y=-x+t …9分 联立椭圆方程消去y得2x2-4tx+4t2-4-0。 11分 高二数学答案第4页，共6页 △=(-4)24×2×(4t2-4)=0 解得=土V2 经检验当仁-√2时两直线相距最远，距离最大。 …13分 直线1与直线AB相距最大d三 上2+1=22+四 1+(- 14分 △PAB面积最大ABd=×V5×2+V2+1 5 …15分 18【详解】(1)如图，四边形AMHN为过A,M,N的平面截正方体ABCD-AB,CD所得的截面图 形，因为平面A1ADD1/平面B,BCC1,且平面A1ADD1∩平面AMHN=AN,平面 B1BCC1n平面AMHW=MH, 根据面面平行的判断定理知，AN//MH, .2分 又因为M,N为中点，所以H为四等分点， 4分 则四边形AMHN的周长为：AM+MH+HN+AW=VG+兰+受+V店- 55+w7 2 .7分 (3)以A为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则A(0.0,0),B1(2,0,2),C(22,0).N(0,2,),1∈[0,2， 9分 则AB1=(2,0,2),AC=(2,2,0).CN=(-2,0,) 设平商4ac碳有=低x小爱。侣任十名8 令x=1,则y=z=-1,故元=(1，-1，-1)， 11分 则simg=leos(优，cN=周圆= -CN +2 3√2+4 h+ 女EA子一g 13分 当1=0时，sim9=5, 3 .14分 当1≠0时，sin0= 1++4 4Γ =6 3, 当且仅当1=2时等号成立，又sim0= +品> 缘上可知，sim9e停9。 ,17分 高二数学答案第5页，共6页 19()由以二比可解得，x=0或x=4,即4=4， 2分 代入可得yA=4,由图象的对称性，可得A(4,4、B(4,-4), 故|AB|=8。 …4分 (2)设直线=x+m与抛物线2=4红相切，联立二之+1可得y2-y+ 气y2=4x 4m1=0,由4=16-16m1=0可得m=1,且方程y2-4y+4m1=0即为y2 4y+4=0,解得y=2,x=1,此时，切点坐标为(1,2)，6分 设直线y=x+m2与抛物线产三4y相切，联立2艺2可得x2一4比-4m2=0, 由4=16+16m2=0可得m2=-1,此时方程x2-4x-4m2=0即为x2-4x+4=0, 解得x=2,y=1,此时，切点坐标为(2,1)，8分 两切点连线的斜率为号二-1，即切点的连线与直线x+y=t垂直，9分 故当M(1,2)、N(2,1)时，1MN1取最大值， 且其最大值为MN川=√/(1-2)2+(2-1P=√2 .11分 (3)根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值。如图，抛物线=x 在点A(4,4)处的切线方程为y=2x-4, 该切线交x轴于点E(2,0), 所以，半个花瓣的面积必小于Sa40E=×2×4=4,16分 故原图中的阴影部分面积必小于8S△40B=8×4=32.17分 高二数学答案第6页，共6页■ ■ 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 请在各置日的客题区域内作落，是出矩形边框限定区城的客案无效！ 清在各里日的答灌区域内作客，短出矩悉边框W定区域的答案无效 高二数学答题卡 15本小厘调分15分到 0.(本小题请分5分) 难考证号 班 0:1100100 你 名 考场 141【47L41141441141414】4 J29J1711171311t7 考 号 (7 18 18:1 1门能摩，节生有海定响有目比的州8准有适学璃写度两 2的修置，核章泰形内上销重餐红号州君明车人制月秀星 主透杆吧陕明国量块肆：非年是号用口号 他指车落7电作有，T体题艺生使是 贴条形码区城 以端想月同的行丰观：作早磷果止细自1两相尾等 4的传车海请，青准为是，程内地 填染样酬王薄销净：■ 恰2填峰：的口☒印缺专移记。口 选泽是1请用2B船笔填涂) 9tA1t1EC1tB的 9tJta1【C1co1 2【1t0110101 6 tAI INI CCI:IDO 10【a3t01【01t01 3J【w1TegB1 y[aJ【1re11 1【43a1【e1r01 4【JCm1tc1co1 R[A1Cd1D的 参选择围请使两①5要米的属色学凌益学蛇书写) 2.45分 135分》 45分 请在备赠日的答题区罐内作答。超出矩形边檀圈定区域的答案无效： 请在各赠日的答题区域肉作有。男出矩形边框雕定区适的答案无效！ 清在备塑日的答避区域内作答，阳出矩形动柜限定区城的答率无效] 离二数学第1瓦（共2页 请在各量日的客通区域内作答，姐出矩形达框限定区城的客需无效 请在各置日的客题区域内作落，超出矩形边框限定区城的客案无效！ 清在各里日的答灌区域内作客，短出矩悉边框W定区域的答案无效 7.4本小图满分15分 8.(本小题清分17分 9.〔本小题清分1T分) 米 请在青增日约答赠区国内作答，胡出矩形边框假定区的答案无效 情在各赠日的答题区域肉作有。男出矩形边框雕定区适的答案无效！ 清在高塑日的答避区域内作答，阳出矩形动柜限定区城的答率无效： 离二数学第2瓦（共2页1 湛江市2024-2025学年度第一学期期末调研测试 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线C上一点，若，则=（   ） A．4 B． C．8 D． 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．已知直线与直线平行，则（    ） A． B． C． D．或 4．若，则（    ） A．-2 B．4 C．-21 D．26 5．已知圆，直线x-y+a=0上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 6.在平行六面体中，点分别在棱上，且.若，则 （    ） A． B． C． D． 7．类比椭圆的方程我们可以得到一个新的曲线方程C：，曲线上的点到原点的 距离平方最大值为( ) A．1 B． C． D． 8.在棱长为2的正方体中，若,则平面与平面夹角的余弦值（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．在直四棱柱中，，，，分别为，的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知直线与圆，则（    ） A直线的方程可转化为，即直线过定点． B．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 C．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 D．若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 11．已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（    ） A．椭圆的方程为 B．双曲线的离心率为 C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为 D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.，函数的最小值为 13．已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ= 14.由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角. 已知、 分别为双曲线：的左、右焦点，过右支上一点（） 作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 = 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 设，直线，直线 (1)若直线与的距离为，求m的值。 (2)若直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求m的值。 16．（本小题满分15分） 已知圆C的方程. (1)求m的取值范围。 (2)若圆C与直线l：相交于M，N两点，且，求m 的值.。 17．（本小题满分15分） 在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，为椭圆上与椭圆顶点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点。 （1）求的值。 （2）求△PAB面积最大值。 18．（本小题满分17分） 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点， 是棱 上的动点（含端点）。 (1)若是棱的中点，求过的平面截正方体表面所得 的截面图形的周长。 (2)若与平面所成的角为，求sin的取值范围。 19. （本小题满分17分） 已知抛物线的方程P:，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、 后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别 为曲线在第一象限和第四象限的交点。 (1)求的长度。 （2）求直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值。 （3）求证：阴影区域的面积不大于。 高二数学 第2页，共4页 高二数学 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$