精品解析：河南省安阳市林州市2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级期末教学质量评估卷（A）数学 （考试范围：至下册85页 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应把答案直接涂写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 2．答题前，考生务必将答题卡上本人姓名、考场、考号等信息填写完整或把条形码粘贴在指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 当时，随的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图．点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点为轴上的一点．连接，．若的面积为2，则的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的4倍，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 8. 如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是( ) A. 20海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 9. 如图，△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB＝90°，斜边AC、BD交于点E，过B点E作EF⊥BC，垂足为F，若AB＝3，CD＝5，则EF的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是_____（填一个即可） 12. 如图，正比例函数的图像与反比例函数 的图像相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是 _________ ． 13. 如图，在矩形中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转时，点的对应点恰好落在上，则的长为_____． 14. 如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为_____． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在A'处，若的延长线恰好过点C，则的值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 已知反比例函数（常数，） （1）若点在这个函数的图像上，求的值； （2）若这个函数图像的每一支上，都随的增大而增大，求的取值范围； （3）若，试写出当时的取值范围. 18. 如图，在和中，，，．求证：． 19. 某中学数学兴趣小组在护城河东岸处和处分别测量了建筑物（如图①）顶端的仰角及的长度（如图②）． 成员 甲 2.9 乙 3.0 丙 3.1 小组成员测量数据如表：为了减小误差，请你先确定合理数据，再求建筑物高度．（精确到，， 20. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D （1）求证：平分； （2）若，，求及的长. 21. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)． （1）根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当＝5时，y＝45．求k的值． （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班?请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，扇形上的点在反比例函数的图象上，点在第四象限，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上． （1）的值为 ； （2）求的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 23. 【模型建立】 （1） 如图1， 和 都是等边三角形，点C 关于的对称点 F在边上．求证： 【模型应用】 （2） 如图2， 是直角三角形， ，垂足为D， 点C关于的对称点F在边上． 直接用等式写出线段的数量关系． 【模型迁移】 （3） 在（2）的条件下， 若 ，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期末教学质量评估卷（A）数学 （考试范围：至下册85页 满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应把答案直接涂写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 2．答题前，考生务必将答题卡上本人姓名、考场、考号等信息填写完整或把条形码粘贴在指定位置上． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的识别，形状完全相同的两个图形叫做相似图形，据此可得答案． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的两个图形相似， 故选：C． 2. 当时，随的增大而减小的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象的性质，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据函数图象经过的象限，增减性进行判定即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，经过第一、三象限，当时，随的增大而增大，不符合题意； B、是反比例函数，经过第一、三象限，在每个象限中，随的增大而减小，符合题意； C、是反比例函数，经过第二、四象限，在每个象限中，随的增大而增大，不符合题意； D、是二次函数，图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大，不符合题意； 故选：B ． 3. 如图．点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点为轴上的一点．连接，．若的面积为2，则的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、比例系数k的几何意义等知识点，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值成为解题的关键． 如图：连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为2，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图象的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为2， ∴的面积为2， ∵轴， ∴，解得， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴，即． 故选D． 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，根据一元二次方程根的判别式等于零，求出的值，进而即可得到答案． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点是线段上一点，以原点为位似中心把放大到原来的4倍，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心把放大到原来的4倍， 的坐标为或， 故选：B． 6. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、二次根式的性质等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． 由二次函数不经过第四象限，，或，再列表得到m、n的所有可能的值以及图象不经过第四象限的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：∵二次函数不经过第四象限， ∴，或顶点纵坐标，即：，或， 列表： n m 0 0 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5， ∴二次函数不经过第四象限的概率为． 故选：A． 7. 如图，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例，解此题的关键是利用线段间的比例关系结合已知条件求出的长．根据平行线分线段成比例解答本题即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是( ) A. 20海里 B. 40海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图，作AM⊥BC于M． 由题意得，∠DBC=20°，∠DBA=50°，BC=60×=40海里，∠NCA=10°， 则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°， ∵BD∥CN， ∴∠BCN=∠DBC=20°， ∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°， ∴∠ACB=∠ABC=30°， ∴AB=AC， ∵AM⊥BC于M， ∴CM=BC=20海里，在直角△ACM中， ∵∠AMC=90°，∠ACM=30°， ∴AC==（海里）．故选D． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 9. 如图，△ABC和△DCB中，∠ABC＝∠DCB＝90°，斜边AC、BD交于点E，过B点E作EF⊥BC，垂足为F，若AB＝3，CD＝5，则EF的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB，可得，，即可求解． 【详解】解：∵∠ABC＝∠DCB＝90°＝∠EFC， ∴AB∥EF∥CD， ∴△BEF∽△BDC，△CEF∽△CAB， ∴，， ∴， ∴EF＝． 故选：C． 【解答】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，并灵活应用是解题关键． 10. 如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出与之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出与之间函数关系式，再判断与之间函数类型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是_____（填一个即可） 【答案】∠C=∠BAD（答案不唯一） 【解析】 【详解】∵∠B=∠B（公共角）， ∴可添加：∠C=∠BAD． 此时可利用两角证明△ABC与△DBA相似． 故答案可为：∠C=∠BAD．（答案不唯一） 12. 如图，正比例函数的图像与反比例函数 的图像相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是 _________ ． 【答案】x＜-2或0＜x＜2 【解析】 【分析】根据双曲线的对称性得到点A的横坐标为-2，根据图像即可求出当时，x的取值范围为x＜-2或0＜x＜2． 【详解】解：由双曲线的对称性得点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， ∴当时，x＜-2或0＜x＜2． 故答案为：x＜-2或0＜x＜2 【点睛】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点A的横坐标是解题关键． 13. 如图，在矩形中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转时，点的对应点恰好落在上，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的垂线分别交于点，可得是等腰直角三角形，则，根据旋转的性质，得，设，则，利用勾股定理得，解得：，则，从而得出答案． 【详解】解：过点作的垂线分别交于点，如图所示： 则， ∵四边形是矩形， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据旋转的性质得， 在中，由勾股定理可得，则， ∴， ∴， 设， ， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得， ∴，即， 解得：， 根据旋转的性质得，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形中求线段长，涉及矩形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 14. 如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决． 【详解】解：∵△DCE与△ABC相似，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2， ∴∠A=∠DCE； ∴ 或 ， 所以或， 解得CE=3或 故答案为：3或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答． 15. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点A落在A'处，若的延长线恰好过点C，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键． 先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在中，， 设，则， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，一元二次方程的解法，熟练掌握特殊角三角函数值，一元二次方程的解法是解题关键．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）分别得出各角的三角函数值，根据实数的运算法则即可得答案． 【小问1详解】 解：因式分解得， 解得：； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 17. 已知反比例函数（常数，） （1）若点在这个函数的图像上，求的值； （2）若这个函数图像的每一支上，都随的增大而增大，求的取值范围； （3）若，试写出当时的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数即可求解； （2）根据这个函数图像的每一支上，都随的增大而增大，求出k即可； （3）当，求出x的范围即可； 【详解】（1）把点代入函数，得2= 得k=4; （2）∵这个函数图像的每一支上，都随的增大而增大，求出k即可； ∴k-2＜0 ∴ （3）当， ∵ ∴-3≤≤-2 ∴ 【点睛】本题考查的是的反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 18. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由得，由得，即可证明，进而得到，据此即可求证，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 19. 某中学数学兴趣小组在护城河东岸处和处分别测量了建筑物（如图①）顶端的仰角及的长度（如图②）． 成员 甲 2.9 乙 3.0 丙 3.1 小组成员测量数据如表：为了减小误差，请你先确定合理数据，再求建筑物高度．（精确到，， 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键．根据题意，为了减小误差取各自的平均数：米，设米，在中，，在中，，由此即可求解． 【详解】解：为了减小误差取各自的平均数：米，设米， 在中，米， ， 在中，米， ， ， 解得， 答：建筑物高约米． 20. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D （1）求证：平分； （2）若，，求及的长. 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）10， 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理和解直角三角形． （1）连接，根据切线的性质得，然后证明，从而得到结论； （2）连接，利用正切的定义可求出，再利用勾股定理计算出，接着根据圆周角定理得到，则利用正切的定义求出，然后利用勾股定理计算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克／百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k＞0)刻画(如图所示)． （1）根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少? ②当＝5时，y＝45．求k的值． （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班?请说明理由． 【答案】（1）①200；②225； （2）不能，理由： 把代入反比例函数得. ∴喝完酒经过11.25时（即11：15时）为早上7：15. ∴第二天早上7：15以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班. 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的最值求解即可. ②根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（5，45）代入即可求得k的值． （2）求出时（即酒精含量等于20毫克／百毫升）对应的x值（所需时间），推出结论． 【详解】（1）①当时，， ∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克／百毫升. ②∵当时，，且（5，45）在反比例函数(k＞0)图象上， ∴把（5，45）代入得，解得. （2）略 22. 如图，在平面直角坐标系中，扇形上的点在反比例函数的图象上，点在第四象限，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点在反比例函数的图象上． （1）的值为 ； （2）求的度数； （3）请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算方法，几何图形面积与反比例函数系数的关系是解题的关键． （1）把点代入反比例函数解析式，运用待定系数法即可求解； （2）如图, 分别过点作轴于点， 轴于点，可证，可得，根据即可求解； （3）根据扇形面积的计算，几何图形面积与反比例函数系数的关系即可求解． 【小问1详解】 解：已知扇形上的点在反比例函数的图象上， ∴，则， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图, 分别过点作轴于点， 轴于点， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴，且， ∴，， 由（1）可知反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上，且是菱形，如图所示，连接交轴于点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的面积和为：． 23. 【模型建立】 （1） 如图1， 和 都是等边三角形，点C 关于的对称点 F在边上．求证： 【模型应用】 （2） 如图2， 是直角三角形， ，垂足为D， 点C关于的对称点F在边上． 直接用等式写出线段的数量关系． 【模型迁移】 （3） 在（2）的条件下， 若 ，则 【答案】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据和都是等边三角形推出判定和全等，然后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）过点B作于E，根据等腰直角三角形的性质推出判定，然后根据等腰直角三角形的性质和对称性即可推出线段的数量关系； （3）过点A作于G，推出是等腰直角三角形，求出的长后即可求出的值． 【详解】解：（1）略 （2）． 理由如下： 如图1，过点B作于E， ∵点C与点F关于对称， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即：． （3）如图2，过点A作于G， 又∵， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，深入理解题意是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $