第十八章 平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第18章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列性质中矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质与矩形的性质此题难度不大，注意熟练掌握菱形与矩形的性质定理．根据菱形的性质与矩形的性质，可求得答案． 【详解】两组对边分别相等：是矩形和菱形共同的性质； 两组对角分别相等：是矩形和菱形共同的性质； 两条对角线互相垂直：是菱形的性质，矩形不一定有； 两条对角线相等：是矩形的性质，菱形不一定有． 故选：D． 2．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上中线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，根据直角三角形斜边上中线的性质可直接求解． 【详解】解：由题意得，点是的中点，， ， 即，两点间的距离为， 故选：C． 3．若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，注意平行四边形的邻角互补，比较简单． 根据平行四边形的性质，可设较小的角为x，较大的角是，列式子即可得出结果． 【详解】解：设较小的角为x，较大的是， 则， 解得：． 故选：B． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误； B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确； C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误； D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误； 故选：B． 6．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 7．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质．先根据正方形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，，所以，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数，进而可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D 8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，得，根据菱形的性质得，在，得，继而得到，根据勾股定理得，即可得解． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∵在菱形中，，， ∴，，， 在，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即轴， ∴点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质等知识．掌握点坐标确定的方法是解题的关键． 9．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ， ， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形， ， 点在边上， ，， 四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得，， 的最小值是13 故选：B． 10．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】过点A作于，过点作于，交的延长线于，先证四边形为矩形，再证，进而得矩形为正方形，然后证和均为等腰直角三角形，进而可得，最后再由勾股定理求出即可． 【详解】如图，过点A作于，过点作于，交的延长线于，则， ， ∵， ， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 矩形是正方形， ，， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， 在中， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰直角三角形的判定和性质，矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形三角形是解决问题的关键． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 12．如图，在中，M、N分别是的中点，且，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及三角形内角和定理．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；三角形内角和是． 由三角形内角和定理可得度数，得出是的中位线，可知，从而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵M，N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 14．有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 【答案】1 【分析】由矩形的性质可知，，由折叠可知，故，，可得，可知．本题考查了折叠的性质．折叠前后对应角相等，对应线段相等，关键是推出特殊三角形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴由折叠的性质可知：第二幅图中，，， ∴，， 则第三幅图中，， ． 故答案为：1． 15．如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、折叠的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，注意分类讨论．分两种情况：当点落在图①的位置时，当点落在图②的位置时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】∵点P在射线上运动，故分两种情况； 当点落在图①的位置时， 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 当点落在图②的位置时 为线段的垂直平分线， ， 为正方形， ， ， ． 故答案为：或． 16．如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为 【答案】 【分析】连接，设交轴于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：连接，设交轴于点，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先根据平行四边形对边相等且平行得到，再由线段中点的定义得到，则，据此可证明四边形是平行四边，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边， ∴． 18．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其均为中心对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2． (2)在图②中，四边形面积为3． (3)在图③中，四边形面积为4． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，解题关键是恰当利用网格，正确画出图形； （1）以为边画正方形即可，此时正方形的面积是四个小三角形的面积和为2； （2）以为边画平行四边形形即可，此时平行四边形的面积是两个面积为1.5的三角形的和； （3）以为边画矩形即可，此时矩形的面积为8个小三角形的面积和为4； 【详解】（1）解：如图，正方形就是所求四边形； （2）解：如图，平行四边形就是所求四边形； （3）解：如图，矩形就是所求四边形； 19．（8分）已知：如图，在中，，为中线． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； (2)试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查基本作图，菱形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据要求作图即可； （2）先证出是平行四边形，再根据即可求得结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）四边形是菱形． 证明：∵在中，为中线， ∴． 又∵平分， ∴，． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 20．（8分）如图，在正方形内有一点满足，.连接、. （1）求证：； （2）求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）15° 【分析】（1）根据PB=PC得∠PBC=∠PCB，从而可得∠ABP=∠DCP，再利用SAS证明即可； （2）由（1）得△PAD为等边三角形，可求得∠PAB=30°，∠PAC=∠PAD-∠CAD，因此可得结果． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD， ∵BP=PC， ∴∠PBC=∠PCB， ∴∠ABP=∠DCP， 又∵AB=CD，BP=CP， 在△APB和△DPC中， ， ∴△APB≌△DPC（SAS）； （2）由（1）得AP=DP=AB=AD， ∴△PAD为等边三角形， ∴∠PAD=60°，∠PAB=30°， 在正方形ABCD中，∠BAC=∠DAC=45°， ∴∠PAC=∠PAD-∠CAD=60°-45°=15°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，正方形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法是解答的关键． 21．（8分）如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据分别平分，可得，从而得到，即可求证； （2）先判定四边形是平行四边形，然后根据分别平分，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵点在边的中点， ∴， 由（1）得：， ∴四边形是平行四边形， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定，等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 22．（10分）《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”） 其文如下： 问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解： (1)已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长． (2)应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？ 【答案】(1)正方形边长为； (2)该正方形花圃的边长为． 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定与性质、菱形性质，解题关键是正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答． （1）连接，设正方形的边长为，即，根据面积计算的不同方式即可求得正方形边长； （2）设菱形两条对角线交于点，其长度分别为，，根据题意得到、的值，判定四边形为正方形，且为直角的“所容正方形”后结合（1）中得到的结论即可得到正方形花圃的边长． 【详解】（1）解：连接，如图，设正方形的边长为，则， 四边形是正方形， ，，， 在中，，，， ， 即， ， ． 故“所容正方形”的边长为． （2）解：如图，设菱形的两条对角线交于点，且其长度分别为，， 则，，， 根据题意可得：，整理得， 若正方形为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得，，则四边形也为正方形，且这个正方形为直角三角形的“所容正方形”， 则由（1）的结论可得：正方形的边长， 正方形的边长为， 即在这个菱形场地上按要求修建的正方形花圃的边长为． 23．（10分）如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【分析】（）根据正方形的性质，利用“”证明即可； （）由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得，从而得出结论； （）由三角形中位线定理可求，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （3）解：如图，连接， ，，， ， ， ∵， ， 点是的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用这些性质是解此题的关键． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何拼制“花朵” 素材1 如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成．已知半圆①的直径是2，，．    素材2 如图2，矩形内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”的形状． 问题解决 任务1 探究板块大小 根据素材1，求和的长． 任务2 拟定摆放方法 在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号． 任务3 确定花朵大小 求矩形的周长． 【答案】任务1：， 任务2：见解析 任务3： 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰梯形，平行四边形的判定与性质，圆的有关性质，本题是操作型题目，熟练掌握矩形与等腰直角三角形的性质是解题的关键． 任务1：过点K作的垂线，交于点M，交于点L 利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质解答即可； 任务2：利用花朵的特征与现代智力七巧板的特征分割解答即可； 任务3：利用任务1的线段长度求出矩形的边长，的长度，再利用矩形的周长公式解答即可． 【详解】解：任务1．∵半圆①的直径是2， ∴，． ∴． 过点K作的垂线，交于点M，交于点L，如图所示．    ∵， ∴， ∴， ∴． 任务2．答案不唯一，分割出一种方法即可．    任务3．根据花朵的轴对称性以及由任务1的解答可知 ，， ∴矩形的周长为． 25．（14分）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列性质中矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 2．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后， 不一定是正方形的选项为（　　） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 7．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 10．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰直角三角形，顶点恰好落在边上，若，则的长是（   ） A． B． C．2 D．1 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 12．如图，在中，M、N分别是的中点，且，则 ．    13．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 14．有一张矩形纸片，，，将纸片折叠，使边落在边上，折痕为，再将以为折痕向右折叠，与交于点F（如下图），则的长为 ． 15．如图，正方形中，点为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时， ． 16．如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 18．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其均为中心对称图形且点、均在格点上． (1)在图①中，四边形面积为2． (2)在图②中，四边形面积为3． (3)在图③中，四边形面积为4． 19．（8分）已知：如图，在中，，为中线． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点E，在射线上截取，连接，； (2)试判断（1）中所得四边形的形状，并说明理由． 20．（8分）如图，在正方形内有一点满足，.连接、. （1）求证：； （2）求的度数. 21．（8分）如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点．    (1)求证： (2)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形请说明理由． 22．（10分）《九章算术》勾股章[一五]问“勾股容方”描述了关于图形之间关系的问题：如图，知道一个直角三角形较短直角边（“勾”）与较长直角边（“股”）的长度，那么，以该三角形的直角顶点为一个顶点、另外三个顶点分别在该三角形三边上的正方形的边长就可以求得．（我们不妨称这个正方形为该直角三角形的“所容正方形”） 其文如下： 问题：一个直角三角形两直角边的长分别为和，它的“所容正方形”的边长是多少？ 答案：． 解： (1)已知：如图，在中，，若，，求“所容正方形”的边长． (2)应用（1）中的结论解决问题：如图，中山公园有一块菱形场地，其面积为，两条对角线长度之和为．现要在这个菱形场地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为多少？ 23．（10分）如图，已知正方形，，点M在边上，射线交于点E，交射线于点F，过点C作，交于点P． (1)求证：． (2)判断的形状，并说明理由． (3)作的中点N，连接，若，求的长． 24．（12分）根据以下素材，探索完成任务． 如何拼制“花朵” 素材1 如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成．已知半圆①的直径是2，，．    素材2 如图2，矩形内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”的形状． 问题解决 任务1 探究板块大小 根据素材1，求和的长． 任务2 拟定摆放方法 在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号． 任务3 确定花朵大小 求矩形的周长． 25．（14分）（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$