精品解析： 河南省南阳市宛城区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

2024年秋期期末质量评估检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前考生务必将自己的姓名，考号，学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题中只有一个答案是正确的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1415926 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是分数，属于有理数，故不符合题意； C、是整数，属于有理数，故不符合题意； D、3.1415926是小数，属于有理数，故不符合题意； 故选：A． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. 《孙子算经》 B. 《海岛算经》 C. 《周髀算经》 D. 《九章算术》 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数学历史文化，勾股定理；由周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”记载于《周髀算经》之中，即可求解． 【详解】解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论，被记载于《周髀算经》之中． 故选：C． 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方的运算法则计算可得解． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 的三边分别为a、b、c，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ） A ，， B. C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理逐项分析即可得解． 【详解】解：A、∵， ∴不能判定是直角三角形，故符合题意； B、∵， ∴，故能判定是直角三角形，故不符合题意； C、∵， ∴能判定是直角三角形，故不符合题意； D、∵， ∴能判定直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 5. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 6. 下列四个结论中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算每个选项两边的数的平方即可估算出的范围． 【详解】解：∵，，，∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，属于基本题型，掌握估算的方法是解题关键． 7. 为了解全班同学对新闻，体育，动画，娱乐，戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（　　） A. 喜爱动画节目的同学最多 B. 喜欢娱乐节目的同学占全班 C. 喜爱戏曲节目同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键．根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D． 【详解】解：全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，所以班主任采用的是全面调查，喜爱娱乐的同学占比，所以喜爱娱乐节目的同学最多，故A、B选项错误； 喜爱戏曲节目的同学有名，故C选项错误； “体育”对应扇形的圆心角为．故D选项正确． 故选：D． 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 9. 如图，中，，，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，根据等边对等角得出，，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由可判断，由全等三角形的性质得，由可判定，全等三角形的性质得，由可判定，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质，由等腰三角形的性质得，即可判断；第五个图由可判定，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 由作图痕迹得知是角平分线的标准作法，射线为的平分线； 由作图痕迹得知，是的垂直平分线， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，，， （）， ， ，， （）， ， （）， ， 射线为平分线； 由作图痕迹得知，， ，， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，作、的垂直平分线， ， （）， ， 射线为的平分线； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个逆命题为真命题的命题_____ 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 根据题意求解即可． 【详解】解：如命题：同位角相等，两直线平行； 逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题． 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 12. 算术平方根等于它本身的实数有________个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根等于它本身的实数有和即可得解． 【详解】解：算术平方根等于它本身的实数有和，共个， 故答案为：． 13. 某班学生每周参加体育锻炼时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时以下的学生有____________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，根据题意和直方图中的数据可以求得锻炼时间在小时及以上的学生人数，本题得以解决，解答本题的关键是明确题意． 【详解】解：锻炼时间在6小时以下的学生有名， 故答案为：． 14. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，已知里，里，里，则的面积是________平方里． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求解是解题的关键．过点A作于点D，设里，根据勾股定理列方程并求解， 即得答案． 【详解】过点A作于点D， 设里，则（里）， ， ， 解得（里）， （里）， （里）， 的面积是（平方里）． 故答案为：84． 15. 如图，长方体盒子的长，宽，高分别是、、．在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是________；此长方体盒子内能容下一根最大长度是________的木棒．（以上两空结果都可以保留根号） 【答案】 ①. ②. 26 【解析】 【分析】本题考查了长方体的平面展开图，勾股定理的应用； （1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． （2）利用长方体的性质，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）将长方体沿剪开，使与在同一平面内，得到如图所示的长方形， 连接， ∵长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是、、， 即， ∴， 故答案为：； （2）连接，， 在中，，由勾股定理得，， 在中，，， 由勾股定理得， ． 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16 解决下列问题： （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，因式分解，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据立方根定义和算术平方根定义进行求解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 【答案】（1），； （2）； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，概率的计算公式，解题关键是正确判断． （1）直接判断得图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； （2）用频率公式可得； （3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：图能更好地反映各组试验的总次数，图能更好地反映各组试验摸到红球的频数； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：实践组摸到黄球的频率； 【小问3详解】 解：实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则进行化简，再代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ，， 原式． 19. 已知关于a、b的四个代数式： ①；②；③；④． （1）当，时，以上可以求出值的代数式的序号是________； （2）在（1）条件下，任选一个代数式并求出它的值； （3）请你再写一个在（1）条件下能求出值的关于a、b的代数式． 【答案】（1）①②③④ （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）根据完全平方公式的变形，计算即可得解； （2）根据完全平方公式的变形，计算即可得解； （3）根据（1）的计算写出即可． 【小问1详解】 解：当，时， ， ， ， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 故当，时，以上可以求出值的代数式的序号是①②③④； 【小问2详解】 解：由（1）可得； 【小问3详解】 解：由题意可得：． 20. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）若D为内部一点，如图，吗？说明理由； （2）若D为边上一点，，，求的长． 【答案】（1），见解析； （2）25． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，，，从而得出，证明即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：． 理由如下：和都是等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可知：， ，， ， ． 21. 【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理．换句话说，“算两次”的思想就是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算得到的答案是B，那么等式成立． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请你用“算两次”的思想计算梯形的面积，化简后用含a、b、c的等式表示为________； （2）如图2，边长为的正方形，按图2分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于a、b、c的等式：________； 【运用】 （3）如图3，已知中，，，，，点D是上一动点．请你用“算两次”计算的面积，从而得到线段的最小值是________； （4）如图4，请你用3张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片和m张长为a，宽为b的长方形纸片，拼接出一个大长方形（无缝衔接）．请直接写出m的所有值，并画出你设计的大长方形的示意图（画出一种即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）图见解析，或7． 【解析】 【分析】本题考查梯形、多项式乘多项式、完全平方公式的应用，用两种方法表示图形的面积是解题的关键． （1）用两种方法表示图形的面积，即可得到等式，化简即可． （2）用两种方法表示图形的面积，即可得到等式，化简即可． （3）根据垂线段最短可知时，取得最小值，根据等积法求解的最小值即可． （4）根据题意设计的大长方形的示意图即可． 【详解】解：（1）∵图1的面积， 图1的面积， ∴， 整理得，； 故答案为：； （2）如图，图形如下： 则有： 即：， 故答案为：； （3）当时，取得最小值， 设的最小值为h， ∵， ∴的面积， 的面积， ∴， 解得， ∴的最小值为． （4）如图， 所以，或7 22. 【教材呈现】如图为华东师大版八年级上册数学教材第65页的部分内容： 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ （1）【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）； （2）【探究证明】如图2，在和中，，，．求证：． 小明的做法是，在BC上取一点G，使．通过证明，最终得到．其中，小明证明的依据是（ ） A． B． C． D． （3）【拓展应用】已知在中，，点D在的延长线上，点E在射线上，，连接交直线于点F． ①当点E在线段上时，如图3所示，求证：； ②过点E作交直线BC于点H，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）不一定； （2）B； （3）①见解析；②3或5． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． （1）直接根据图形判断即可； （2）在BC上取一点G，使，则，，利用补角的性质证明，从而根据可证； （3）①过点E作交BC于点M，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； ②分点E在线段上和点E在线段的延长线上两种情况求解即可； 【小问1详解】 解：通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等． 故答案为：不一定； 【小问2详解】 证明：在BC上取一点G，使， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选B． 【小问3详解】 ①证明：过点E作交于点M， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． ②如图，当点E在线段上时， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴； 如图，当点E在线段的延长线上时， 同①可证，， ∴， ∴． ∵，， ∴ 综上可知，线段的长为3或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋期期末质量评估检测 八年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前考生务必将自己的姓名，考号，学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡交回． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题中只有一个答案是正确的．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.1415926 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A 《孙子算经》 B. 《海岛算经》 C. 《周髀算经》 D. 《九章算术》 3. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 的三边分别为a、b、c，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ） A. ，， B. C. ，， D. ，， 5. 如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　） A B. C. D. 6. 下列四个结论中，正确的是( ) A. B. C. D. 7. 为了解全班同学对新闻，体育，动画，娱乐，戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（　　） A. 喜爱动画节目的同学最多 B. 喜欢娱乐节目的同学占全班 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 8. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 9. 如图，中，，，，则的度数为（ ）     A. B. C. D. 10. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请你写出一个逆命题为真命题的命题_____ 12. 算术平方根等于它本身的实数有________个． 13. 某班学生每周参加体育锻炼时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时以下的学生有____________名． 14. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．欲知为田几何？”问题大意：如图，在中，已知里，里，里，则的面积是________平方里． 15. 如图，长方体盒子的长，宽，高分别是、、．在的中点处有一滴蜜糖，一只小虫沿外表面从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是________；此长方体盒子内能容下一根最大长度是________的木棒．（以上两空结果都可以保留根号） 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16 解决下列问题： （1）计算：； （2）分解因式：． 17. 有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图： （1）__________图能更好地反映各组试验的总次数，__________图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）； （2）求实践组摸到黄球的频率； （3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？ 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 已知关于a、b的四个代数式： ①；②；③；④． （1）当，时，以上可以求出值的代数式的序号是________； （2）在（1）条件下，任选一个代数式并求出它的值； （3）请你再写一个在（1）条件下能求出值的关于a、b的代数式． 20. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）若D为内部一点，如图，吗？说明理由； （2）若D为边上一点，，，求的长． 21. 【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积，点的个数，三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”，“算两次”也称做富比尼原理．换句话说，“算两次”的思想就是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算得到的答案是B，那么等式成立． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为a、b、c直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．请你用“算两次”的思想计算梯形的面积，化简后用含a、b、c的等式表示为________； （2）如图2，边长为的正方形，按图2分割成几个小正方形与小长方形，请你用“算两次”直接写出一个关于a、b、c的等式：________； 【运用】 （3）如图3，已知中，，，，，点D是上一动点．请你用“算两次”计算的面积，从而得到线段的最小值是________； （4）如图4，请你用3张边长为a的正方形纸片，2张边长为b的正方形纸片和m张长为a，宽为b的长方形纸片，拼接出一个大长方形（无缝衔接）．请直接写出m的所有值，并画出你设计的大长方形的示意图（画出一种即可）． 22. 【教材呈现】如图为华东师大版八年级上册数学教材第65页的部分内容： 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ （1）【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）； （2）【探究证明】如图2，在和中，，，．求证：． 小明的做法是，在BC上取一点G，使．通过证明，最终得到．其中，小明证明的依据是（ ） A． B． C． D． （3）【拓展应用】已知在中，，点D在的延长线上，点E在射线上，，连接交直线于点F． ①当点E在线段上时，如图3所示，求证：； ②过点E作交直线BC于点H，若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$