第二章 相交线与平行线（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，北师大版2024）

第二章 相交线与平行线（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，那么它的余角是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义可知：的余角，据此计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故选：C． 2．如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短． 故选C． 3．下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键． 根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可． 【详解】解∶①对顶角相等，说法正确； ②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确； ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误； 故选∶B． 4．如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断， A. 与是对顶角，该结论错误，故选项不符合题意； B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意； D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 5．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，结合图形的面积公式进行判断即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， 由图可知：平行四边形的面积为：，三角形的面积为，梯形的面积为； 故三个图形的面积都相等； 故选D． 6．已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】B 【分析】本题考查了平行公理推论的应用，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故A正确，不符合题意； ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故B错误，符合题意，C正确，不符合题意； ∵如果一条直线垂直于另一条直线，则该直线垂直于这条直线的平行直线，故D正确，不符合题意； 故选： B． 7．如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，即可得到，进而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 8．如图，将一块含有角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据直尺的两条对边平行，内错角相等求出的度数，再根据邻补角，求出的度数即可． 【详解】解：∵直尺的两条对边平行，， ∴， ∴； 故选B． 9．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，，    ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 10．如图是小冉同学的作业，已知这个作图的顺序是排乱的，则正确的作图顺序为（　　） 已知∶． 求作∶，使． 作法：①以为圆心， 长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ②画一条射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点C，D； ④过点面射线，则． A．③②①④ B．③①②④ C．②①③④ D．②③①④ 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．根据作一个角等于已知角的作图方法解答即可． 【详解】解：作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点C，D； ②画一条射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心， 长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ④过点面射线，则． 综上分析可知，正确的作图顺序为③②①④，故A正确． 故选：A． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点A， ∴过外一点B的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点A、B、C在一条直线上， 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． 12．如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长． 【答案】/ 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点， ∴ ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 13．如图，为书面上一点，将书面折过去，使直角顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了翻折变换，角平分线的定义（平分所在的角）；掌握轴对称的性质是解题关键． 根据折叠的性质和角平分线的定义，进行角度计算即可． 【详解】解：由折叠性质可得， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝ .    【答案】45°/45度 【分析】根据垂直定义得∠BOE=∠90°,由角平分线定义得∠BOD=∠BOE=45°，由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD=45°． 【详解】因为，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB， 所以，∠BOE=∠90°, 因为，OD平分∠BOE， 所以，∠BOD=∠BOE=45°， 所以，∠AOC＝∠BOD=45° 故答案为45°． 【点睛】本题考核知识点：垂直定义、角平分线、对顶角. 解题关键点：理解垂直定义、角平分线、对顶角性质． 15．如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，根据平行线的性质求得度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶20． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求． 17．如图，已知为直线上一点，与互补，，分别是，的平分线，． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，同角的补角相等，根据图形理解各角的关系是解题的关键． （1）根据，，即可得到结论； （2）根据角平分线得到，再求得，即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵点在直线上， ∴， 又∵与互补， ∴， ∴． （2）解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，点是上的一点，，．试说明． 解：（已知）， ________， （两直线平行，同位角相等）， （________）， （_________）， （________）， （等量代换）， ______（平角的定义）， （等量代换）， 即． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，找邻补角等知识点，看懂题意并理清整个证明过程是解题的关键． 由平行线的性质可得，，，，进而可得，由平角的定义可得，利用等量代换即可得出结论，据此补全证明过程即可． 【详解】解：（已知）， ， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）， （平角的定义）， （等量代换）， 即． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图在中，，求的度数． 【答案】 【分析】此类题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟知平行线的性质．先求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行公理的推论可得，再根据平行线的性质可得，进而可得的度数，然后可求出的度数，再根据角平分线的性质可得，最后再利用平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行公理的推论，平行线的性质（两直线平行同旁内角互补），角平分线的性质，平行线的性质（两直线平行内错角相等）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 21．课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线间的距离，三角形的面积，掌握转化思想是解题的关键． （1）根据“等底等高”可得，从而，即可得证结论； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（等底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴， ∵， ∴由（1）可知， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴ ∴． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 23．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②当在延长线时，；当在之间时，． 【分析】本题考查了平行线的性质与判定， （1）过作，则，根据平行线的性质得出，，进而根据，即可求解； （2）①同（1）即可求解； ②当在延长线时，过作交于，结合图形可得．当在之间时，过作交于，同理可得． 【详解】（1）解：过作，则， ∴， ∴，， ∴． （2）①当点在（不与重合）两点之间运动时，设 过点作， ∴， ∴， ∴．   ②当在延长线时，． 过作交于， ∵， ∴ ∴， ∴    当在之间时，   过作交于， ∵ ∴ ∴, ∴ ∴ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，那么它的余角是（） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 5．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是（    ）．    A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大 C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等 6．已知在同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（　　） A．，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 7．如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，将一块含有角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图是小冉同学的作业，已知这个作图的顺序是排乱的，则正确的作图顺序为（　　） 已知∶． 求作∶，使． 作法：①以为圆心， 长为半径画弧，与已画的弧相交于点； ②画一条射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交， 于点C，D； ④过点面射线，则． A．③②①④ B．③①②④ C．②①③④ D．②③①④ 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    12．如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段 的长． 13．如图，为书面上一点，将书面折过去，使直角顶点A落在处，为折痕，若为的平分线，则的度数 ． 14．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD平分∠BOE，则∠AOC＝ .    15．如图，在中，平分，，交于点．若，则的度数为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 17．如图，已知为直线上一点，与互补，，分别是，的平分线，． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 18．如图，在中，点是上的一点，，．试说明． 解：（已知）， ________， （两直线平行，同位角相等）， （________）， （_________）， （________）， （等量代换）， ______（平角的定义）， （等量代换）， 即． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图在中，，求的度数． 20．如图，，，平分，，，求的度数． 21．课题学习：平行线间三角形的面积问题中“等底等高转化”的应用 阅读理解：如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为．    (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，求证：； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，求四边形的面积． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 23．综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点，分别为直线，上的一点，点为平行线间一点且，，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，点在射线上运动． ①当点在，（不与，重合）两点之间运动时，设，．则，，之间有何数量关系？请说明理由； ②若点不在线段上运动时（点与点，，三点都不重合），请你直接写出，，间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$