第一章 整式的乘除（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，北师大版2024）

第一章 整式的乘除（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算的结果为（     ） A．6 B． C． D．9 2．已知，则“”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 3．数据显示，2024年国庆节假期，全国实现旅游收入元，将旅游收入数据元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．下列计算中正确的是（） A． B． C． D． 8．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 9．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 10．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．35 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．将化为原数是 ． 12．若，则的值为 ． 13．若关于x的二次三项式含有因式，则实数p的值是 ． 14．若，则的值为 ． 15．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 17．先化简，再求值：，其中． 18．计算 (1)如果的乘积中不含的一次项，求的值； (2)已知，，求的值． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 20．李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 21．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 23．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．计算的结果为（     ） A．6 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了负指数幂的计算，掌握负指数幂的计算方法是解题的关键．根据负指数幂的计算方法，直接计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知，则“”所表示的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．数据显示，2024年国庆节假期，全国实现旅游收入元，将旅游收入数据元用科学记数法表示为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选A． 4．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是（   ） A． B．16 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征即可得出答案． 【详解】解：二次三项式是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，然后代入即可解答． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故选：A． 6．边长分别为m和的两个正方形按如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，根据阴影部分的面积两个正方形的面积之和两个三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得： 图中阴影部分的面积为， 故选：D． 7．下列计算中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘方法则逐项判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； В．，原计算错误，不符合题意； C．原计算正确，符合题意； D．原计算错误，不符合题意； 故选：C． 8．计算的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘逆用，先把，然后根据积的乘方，同底数幂相乘逆用即可求解，掌握积的乘方，同底数幂相乘法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 9．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据可得． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：D． 10．杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角： 按照前面的规律，则的展开式中含有的项的系数为（   ） A．15 B．20 C．21 D．35 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式以及规律型中数字的变化，观察图形，得出的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，含有的项是左数第四项为：． 【详解】解：通过观察得：的系数从左到右分别为：1，7，21，35，35，21，7，1，且a的次数从7逐次减低，b的次数从0逐次增加，项的次数都是7， 所以含有的项是左数第四项为：， 故选：D． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．将化为原数是 ． 【答案】 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【详解】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为． 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查利用完全平方公式变形计算，根据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：13． 13．若关于x的二次三项式含有因式，则实数p的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则可得关于x的二次三项式还含有因式，据此即可求解 【详解】解：∵关于x的二次三项式含有因式，且， ∴关于x的二次三项式还含有因式， ∴， ∴实数p的值是， 故答案为： 14．若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，解题的关键是化同底，整体代入求值；把，化为以2为底，再根据同底数幂的乘法和整体代入求值求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：16． 15．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．计算： (1) (2)； (3)（m为正整数）． 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】此题考查了幂的乘方，同底数的乘法，积的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方和同底数的乘法，然后合并即可； （2）首先计算同底数幂的乘法，然后合并即可； （3）首先计算幂的乘方和积的乘方的逆运算，然后合并即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题中主要考查整式的化简求值，根据整式混合运算的顺序和法则化简原式后将x、y的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 18．计算 (1)如果的乘积中不含的一次项，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)3 (2)108 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是： （1）先计算，再根据其乘积不含x的一次项，即可得出关于m的等式，解出m即可； （2）逆用同底数幂乘法法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，某城市广场是一个长方形，长为，宽为．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积（用含，的式子表示）． (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元，求市民活动区域铺设地砖的费用． 【答案】(1)音乐喷泉池的占地面积为 (2)市民活动区域铺设地砖的费用为元 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式，再根据多项式乘多项式计算即可； （2）先根据题意列式求出市民活动区域的面积，再列式计算求出铺设地砖的费用即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为 ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为 ． 市民活动区域每平米铺设地砖的费用为80元， ． 答：市民活动区域铺设地砖的费用为元． 20．李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【详解】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 21．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； （2）解： ； （3）解：原式 ． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果 ，那么 ． 例如： ，． (1)根据上述规定，填空： ； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出了如下的证明： 设 ，则 ，即， ，即， ． 请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由． ． 【答案】(1)3；2；0 (2)见解析 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的乘法，理解同底数幂的乘法运算法则（底数不变，指数相加）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的乘法运算法则进行分析计算． 【详解】（1）解：， ； ， ； ∵， ∴． （2）解：设，， 则， ， ， ， ， 即． 等式成立． 23．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$