河北省衡水市阜城县2024-2025学年上学期九年级期末数学试卷

2024-2025学年河北省衡水市阜城县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.一元二次方程的根为(    ) A. B. C. ， D. ， 3.把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 4.如图，AB是的弦，，，则的直径等于(    ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.如图，D，E分别是的边AB，AC上的点，，，若的面积为6，则的面积等于(    ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 54 6.在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形所有顶点都是网格线交点，在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是(    ) A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 7.如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是(    ) A. B. C. D. 8.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到BC的距离(    ) A. B. C. D. 9.用一个圆心角为为常数，的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所作的圆锥的底面圆的周长为l，侧面积为S，当R在一定范围内变化时，l与S都随R的变化而变化，则l与R，S与R满足的函数关系分别是(    ) A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 10.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为    A. B. 9cm C. D. 11.如图，已知二次函数是常数的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④为任意实数；⑤其中正确的是(    ) A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 12.如图，在中，，，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接以下结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是______ 14.如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积是2，则k的值是______. 15.如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象.根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是______. 16.如图中，，，，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为______. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 解方程：； 计算： 18.本小题7分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、 向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的； 以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2：1； 若与是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标. 19.本小题8分 两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“3”“4”“5”；正方体N的六个面分别标有数字“0”“1”“2”“6”“7”“8”.掷小正方体后，观察朝上一面的数字. 掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少； 如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为01，可表示某月的01日：先后掷到“5”和“8”记为58，不能表示某月的日期.求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率. 20.本小题9分 如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于A、B两点. 求一次函数与反比例函数的表达式； 观察图象，当时，直接写出不等式的解集； 连接PO、QO，求三角形POQ的面积. 21.本小题9分 如图，AB为的直径，C为上一点，的切线BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE并延长，交AB的延长线于点 求证：CF是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积. 22.本小题9分 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为米.建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米. 求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC； 求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标； 若米，灌溉车行驶时喷出的水______填“能”或“不能”浇灌到整个绿化带. 23.本小题10分 在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上. 当时，求抛物线的对称轴； 若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； 当时，点，在抛物线上.若，请直接写出m的取值范围. 24.本小题12分 对于在平面直角坐标系xOy中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点. 如图1，若点T的坐标为， ①在点，，中，是的关联点的是______； ②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围； 已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选： 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2.【答案】C  【解析】解：原方程移项、因式分解可得， 解得：，， 故选： 根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是关键． 3.【答案】C  【解析】解：把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为： 故选： 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：作直径BD，连接CD， 由圆周角定理得，，， ， 故选： 作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答． 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：， ∽ ， ， ，                             故选： 利用判定∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出关系式即可求得结论． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定方法得出∽是解题的关键． 6.【答案】A  【解析】解： 连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点 故选： 连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点M为旋转中心． 本题主要考查了旋转的性质以及学生的理解能力和观察图形的能力．注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上． 7.【答案】D  【解析】解：从左边看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别是3、1、 故选： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键． 8.【答案】A  【解析】解：过点A作，垂足为D， 在中，，， ， 点A到BC的距离为， 故选： 过点A作，垂足为D，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：圆锥的底面圆的周长为l，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积S，即扇形的面积， 所以l是R的一次函数，S是R的二次函数， 故选： 根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出l与R，S与R的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，掌握弧长、扇形面积的计算方法，理解一次函数、二次函数的定义是正确解答的关键． 10.【答案】C  【解析】解： 连接OA、OB、OE， 四边形ABCD是正方形， ，， 在和中 ， ， ， 四边形ABCD是正方形， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 小正方形EFCG的面积为， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：舍去，， ， 故选 连接OA、OB、OE，证，推出，设，则，由勾股定理求出，求出，在中由勾股定理求出a，即可求出答案． 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想． 11.【答案】D  【解析】解：由函数图象可知， ，，， 所以 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 所以时，函数值小于零， 则 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，， 即， 所以 故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又因为， 所以 故⑤正确． 故选： 根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可． 本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】解：，， ， 由题意得：CP平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ∽ ， ， ， 故A、B、D不符合题意，C符合题意； 故选： 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据题意可得：CP平分，从而可得，然后利用等量代换可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，最后根据∽可得，从而可得，再利用三角形的面积可得，从而进行计算即可解答． 本题考查了黄金分割，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，作图-基本作图，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 13.【答案】18  【解析】解：连接AB，OB，过点O作于点C，延长CO交于点D， ， ， 由题意可知，， 在中，， ， 即这个水容器所能装水的最大深度是 连接AB，OB，过点O作于点C，延长CO交于点D，利用勾股定理求出OC即可解答． 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意可知：， 反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 故答案为： 根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到，计算出来即可． 本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是 15.【答案】  【解析】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故答案为： 把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用． 16.【答案】  【解析】解：，，， ， 四边形APCQ是平行四边形， ，， 最短也就是PO最短， 过O作BC的垂线， ，， ∽， ， ， ， 则PQ的最小值为， 故答案为： 以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值． 本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做垂线得到相似三角形． 17.【答案】解：， 移项，得， 配方，得，即， 解得， 所以，； 原式   【解析】用配方法解答即可； 根据特殊角的三角函数值计算即可求解． 本题主要考查特殊角的三角函数值、实数的运算，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.【答案】解：如图所示，即为所求． 如图所示，即为所求． 如图所示，点Q即为所求，其坐标为  【解析】本题主要考查作图-平移变换、位似变换作图，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义与性质． 将三个顶点分别向左平移3个单位，向上平移1个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； 延长OA、OB到、，使，，与点O首尾顺次连接即可； 直线、、的交点即为所求． 19.【答案】解：掷一次正方体M时，出现奇数的概率； 列表如下： 共有36种等可能的结果，其中得到的两个数字能组成一月的一个日期的结果数为19种， 所以得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率  【解析】直接利用概率公式求解； 先列表展示所有36种等可能的结果，再找出得到的两个数字能组成一月的一个日期的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 20.【答案】解：把代入得：， 反比例函数的解析式为； 把代入得：，解得， 把，分别代入得： ，解得：， 一次函数的解析式为； 当时，不等式的解集或； 过点P作轴于点C，过点Q作轴于点D， 则，，， 答：三角形POQ的面积为  【解析】把代入，求出，得到反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式，求出，即，再将P、Q两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； 根据P、Q两点的坐标以及两函数的图象即可得出结论； 过点P作轴于点C，过点Q作轴于点D，利用即可求出三角形POQ的面积． 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解答时涉及待定系数法，由图象求不等式的解集，反比例函数比例系数k的几何意义，利用数形结合思想是解本题的关键． 21.【答案】证明：连接OC，BC， 为的直径， ， 为BD的中点， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 过O作于H， ， ， ， 图中阴影部分的面积的面积的面积-扇形COB的面积  【解析】连接OC，BC，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； 根据直角三角形的性质得到，求得，得到，过O作于H，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】解：如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设 又抛物线过点， ， ， 上边缘抛物线的函数解析式为 当时，， 解得，舍去， 喷出水的最大射程OC为 对称轴为直线， 点的对称点为 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， 点B的坐标为 米，米，米， 点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能．  【解析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． 由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； 由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； 根据米，米，米，可求得点F的坐标为，当时，，从而得出答案． 23.【答案】解：当时，，为抛物线上的对称点， ， 抛物线的对称轴为直线； 过，， ，， ， 对称轴为直线， ①当时， 时，y随x的增大而增大， ， 解得， ； ②当时， 时，y随x的增大而增大， ， 解得， ， 综上：a的取值范围是或； 点在抛物线上， ， 点，在抛物线上， 对称轴为直线， ①如图所示： ， 且， ； ②如图所示： ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或  【解析】当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴； 把，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出a的取值范围； 先画出函数图象，再根据确定m的取值范围． 本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答． 24.【答案】，  【解析】解：①由关联点的定义可知，当时，点P为的关联点， ，，， ，，， ， 点和点是的关联点； 故答案为：，； ②如图所示，点P在直线AB上，，且， 由直线分别交x轴，y轴于点A，B，得，， 当线段AB在第二象限时，则，，， ，， ∽， ，即，解得， 另外当时，线段AB在内部，此时线段AB上没有的关联点，则得， 当线段AB在第四象限时，同理可得； 综上所示，当得或，时，线段AB存在的关联点； 如图所示， 由上的每一个点都是的关联点，可知需在以T为圆心1和3为半径，所构成的圆环中， ①若点T在第二象限，可得，点T到OC距离大于1方能保证在圆环内， 得，解得， ②若点T在第一象限，可得，点T到线段CD的距离大于1方能保证在圆环内， 得，解得， 设直线CD解析式为，代入点，，得直线CD解析式为， ， ， ， 过点T作轴，交CD于点E，作，交CD于点F， ，， ∽， ，得，由， 得， 解得， 得， 综上所述，或 ①求出三点到圆心的距离，通过关联点定义判断； ②分类讨论，画出临界点，求出临界点是b的值，从而求出b的取值范围； 分类讨论，通过画图发现数量关系，通过解不等式求出m的取值范围． 本题考查新定义概念的判断，相似的性质和判断，待定系数法求函数解析式，难点在于分类讨论画图图象并通过图象得到不等式，从而解出取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$