广东省汕头市澄海区2024-2025学年高二上学期期末质量监测数学试题

澄海区 2024~2025 学年度第一学期期末质量监测 高二级数学科试题参考答案 一、单项选择题答案(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分) 单选 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B A C D C 1．【答案】A 【解析】因为集合 { }2 2M x x= − < < ， { }1,0,1,2,3N = − ，所以M N = { }1,0,1− ．故选 A． 2．【答案】C 【解析】因为 3i 3 iz − = + ，则 3 i 3i 3 4iz = + + = + ，所以 2 23 4 5z = + = ．故选 C． 3.【答案】D 【解析】由题意，可设等轴双曲线方程为 2 2 1x y λ λ − = ( 0λ > )， 由焦点 ( 2,0)− 可知， 4λ λ+ = ，则 2λ = ， 于是实半轴为 2λ = ，于是实轴长是2 2 ．故选 D． 4．【答案】B 【解析】由 l α∥ 即可得 3 2 2 1 4 0m n t⋅ = × + × − =   ，解得 2t = ．故选 B． 5．【答案】A 【解析】当 1x ≥ 时， ln 1x < ，解得1 x e≤ < ， 当 1x < 时，e 1x < ，解得 0x < ，故 ( ) 1f x < 的解集为 ( ) [ ),0 1,e−∞  ．故选 A． 6．【答案】C 【解析】 2 2 2 1( 0) x y a a − = > 的渐近线为 1y x a = ± ，圆 2 2( 2) 1x y− + = 的圆心为 ( )2,0 ，半径为 1. 由对称性， 1y x a = 到 ( )2,0 距离为 1， 则 2 2 2 2 2 1 1 4 3 1 11 a a a a a = = ⇒ + = ⇒ = ++ ．故选 C． 7．【答案】D 【解析】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为 1， 因为点 E，F 分别是 BC ， AD 的中点，所以 1 1 2 2 AE AB AC= +    ， 第 1 页，共 9 页 所以 1 1 1 1 2 2 2 2 AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅             1 1 1 1 1 1 1 1 1cos 60 cos 60 2 2 2 2 2 2 2 2 4 AB AF AC AF= ⋅ ° + ⋅ ° = × × + × × =     ．故选 D． 8．【答案】C 【解析】设点𝑀𝑀(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1)、𝑁𝑁(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2)，线段MN 的中点为 ( )0 0,E x y ，则 1 2 0 1 2 0 2 2 x xx y yy + =  + =  ， 由题意，椭圆的离心率为 2 2 2 2 2 31 3 c a b be a a a − = = = − = ，可得 2 2 2 3 b a = ， 因为M 、 N 关于直线 1 0x y− − = 对称，且直线 1 0x y− − = 的斜率为1， 则 1 2 1 2 1MN y yk x x − = = − − ，将点M 、 N 的坐标代入椭圆方程可得 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b  + =   + = ， 上述两个等式作差可得 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 x x y y a b − − + = ， 可得 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 y y y y y y b x x x x x x a − + − = ⋅ = − − + − ，即 ( )0 0 2 21 2 3 y x ⋅ − = − ，即 0 0 2 3 y x = ， 即 0 02 3x y= ，① 又因为点 ( )0 0,E x y 在直线 1 0x y− − = 上，则 0 0 1 0x y− − = ，② 联立①②可得 0 0 3 2 x y =  = ，故线段MN 的中点为 ( )3,2E ．故选 C． 二、多项选择题答案(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分) 多选题 9 10 11 答案 BD ABC ABD 9．【答案】BD 【解析】A：因为 ( )2,1,0AB =  ，所以 4 1 5AB = + =  ，故 A 错误； 第 2 页，共 9 页 B：因为 ( ) ( )1,2,1 , 1, 1,1AC BD= − = − −   ，所以 1 2 1 0AC BD⋅ = − + =   ，所以 AC BD⊥   ，故 B 正确； C：因为 ，显然不平行，故 C 错误； D：因为 ( ) ( )2,1,0 , 1,0,1AB AD= =   ，所以 2 0AB AD⋅ = >   ， 由坐标可知 ,AB AD   不共线，所以 ,AB AD   锐角，故 D 正确．故选 BD． 10．【答案】ABC 【解析】圆 2 21 : ( 1) 4O x y+ − = 的圆心为 ( )1 0,1O ，半径为 2r = ， A 选项， ( ) ( )2 21 2 0 0 1 5 2AO = − + − = > ，得出点 A 在圆外，A 正确； B 选项，直线 ( )2 4 2 2 0x my x my+ − = − + = ，过定点 ( )2,0A ，B 正确； C 选项，当弦垂直于 1BO 时，弦长最短， ( ) ( )2 21 1 0 0 1 2BO = − + − = ， 最短弦长为 ( )22 2 22 2 2 2 2 2r d− = − = ，C 正确； 对于 D，点A 在圆外，过 A 点作圆的切线有 2 条，还有一条直线 2x = 过点A ，且与圆 1O 相切，D 错误． 故选 ABC． 11．【答案】ABD 【解析】A：在正方体中， 1 1AB BCC B⊥平面 ，从而 AB BM⊥ ，故 AM  在 AB  方向上的投影向量为 AB  ， 而 2AB =  ，故 A 正确； 法二：建立如图所示的空间直角坐标系D xyz− ， 可得： ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,0,0 , 2,2,0 , 0,2,0D A B C ， ( ) ( )1 10,0, 2 , 2,0, 2D A ， ( )1 2, 2, 2B ， ( )1 0, 2, 2C ， ( )0,2,1M . ( )2,2,1AM = −  ， ( )0,2,0AB =  ， 由公式 AM  在 AB  方向上的投影向量为 2 4 4 AM AB AB AB AB AB ⋅ ⋅ = ⋅ =       ， 而 2AB =  ，故 A 正确； B：分别取 1 1 1 1,C D B C 的中点为 ,E F ，连接 , ,EF MF ME ， 可得 1//MF A D ， 1//ME A B， 又有MF ME M= ，可得平面 //MEF 平面 1BDA ， )0,2,2(),0,1,2( −== CDAB 为 第 3 页，共 9 页 故满足 / /MP 平面 1BDA 的点 P 的轨迹长度为 2EF = ，故 B 正确； C：设 ( ), , 2P x y ， ( )2, 2,2BP x y → = − − ， ( )2, , 2AP x y → = − ， ( ), 2,1MP x y → = − ， 由 BP AM⊥ ，可得 ( )2 1 0AM BP y x → → ⋅ = − + = ， 分别取 1 1 1 1,A D A B 的中点为 ,G H ，点 P 满足 ( )2 1 0y x− + = 方程， 说明点 P 在平面 1111 DCBA 内的轨迹为一条线段GH ， 则满足BP AM⊥ 的点 P 的轨迹长度为 2GH = ，故 C 错误； D： 1AB C△ 为正三角形，设点 B 到平面 1AB C 的距离为d ，点 1B 平面 ABC 的距离为2 ， 由等体积法，可得： 1 1B AB C B ABCV V− −= ， 可得： ( )2 31 1 3 1 12 2 23 2 2 3 2d× × × = × × ，即 2 3 3 d = ， 故以点 B 为球心， 2 为半径的球面与面 1AB C 的交线长为 ( )2 2 2 62 2 π π3d× − = ，故 D 正确． 故选 ABD． 三、填空题答案(本大题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分；其中第 14 题第一空 2 分，第二空 3 分) 12．【答案】 1 13 【解析】 [ ] 1 1 1 tan( ) tan 13 4 12tan tan ( ) 1 1 131 tan( ) tan 131 3 4 12 α β αβ α β α α β α −+ − = + − = = = = + + + ⋅ ，故答案为 1 13 ． 13．【答案】 ( ) ( )2 21 1 9x y+ + + = （或 ( ) ( )2 21 5 9x y+ + − = ，答出一个即可） 【解析】根据圆与直线 1 2 3: 4, : 2, : 2l x l x l y= − = = 相切可知圆心在直线 1x = − 上，半径为 3， 再由圆与直线 3 : 2l y = 相切可得圆心为 ( )1, 1− − 或 ( )1,5− ， 题序 12 13 14 答案 1 13 ( ) ( )2 21 1 9x y+ + + = （或 ( ) ( )2 21 5 9x y+ + − = ， 答出一个即可） (1,0)； 3 3或 第 4 页，共 9 页 则圆的标准方程为 ( ) ( )2 21 1 9x y+ + + = （或 ( ) ( )2 21 5 9x y+ + − = ． 故答案为： ( ) ( )2 21 1 9x y+ + + = （或 ( ) ( )2 21 5 9x y+ + − = . 14．【答案】(1,0)； 3 3或 【解析】抛物线C 的焦点为 F(1,0) ． 设 0 0( , )P x y ，则 2 0 04y x= ，圆M 的圆心 (4,0)M ，半径为 r ， 由 ,PA PB切圆M 于点 ,A B，得 , ,PM AB PA AM PB BM⊥ ⊥ ⊥ ， 则 2 22 PAMPAMBS S PA AM r PM r∆= = ⋅ = −四边形 当且仅当 0 2x = 时，等号成立， 可知四边形 PAMB 面积的最小值为 ， 整理可得 ，解得 ，且 0r > ，所以 3 3r r= =或 ， 故答案为：(1,0)； 3 3或 ． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：（1）由题意联立 2 1 0 3 4 6 0 x y x y + + =  + − = ，解得 2 3 x y = −  = ，即直线 l过点 ( 2,3)− ，……2 分 直线3 1 0x y+ − = 的斜率为 3− ， 又直线 l与直线3 1 0x y+ − = 平行，所以直线 l的斜率为 3− ，……………………4 分 由直线的点斜式方程可得直线 l的方程为 3 3( 2)y x− = − + ，即3 3 0x y+ + = ……6 分 （2）由直线 2 : 2 1 0l x y+ + = ，可得 2 2k = − ，所以直线 l的斜率 1 2 k = ，……7 分 由（1）知直线 l过点 ( 2,3)− ，所以直线 l的方程为 13 ( 2) 2 y x− = + ，…………8 分 令 0y = ，可得 8x = − ，所以直线与 x 的交点 ( 8,0)A − ，…………………………9 分 令 0x = ，可得 4y = ，所以直线与 y 的交点 (0,4)B ，……………………………10 分 所以 | | 64 16 4 5AB = + = ，………………………………………………………11 分 又 | | 8,| | 4OA OB= = ， 所以直线 l与坐标轴围成的三角形周长为 | | | | | | 8 4 4 5 12 4 5OA OB AB+ + = + + = + ．……13 分 2 0 2 0 22 0 2 0 164)4( rxxrryxr −+−=−+−= 222 0 1212)2( rrrxr −≥−+−= 3312 2 =− rr 02712 24 =+− rr 93 22 == rr 或 第 5 页，共 9 页 16．解：（1）由每组小矩形的面积之和为 1， 得 0.05 0.1 0.2 10 0.25 0.1 1a+ + + + + = ，解得 0.030a = ，……………………………………………………2 分 成绩在[40,80)内的频率为0.05 0.1 0.2 0.3 0.65+ + + = ，…………………………………………………3 分 在 [40,90) 内的频率为0.05 0.1 0.2 0.3 0.25 0.9+ + + + = ，…………………………………………………4 分 显然第 75 百分位数 (80,90)m∈ ，由0.65 ( 80) 0.025 0.75m+ − × = ，…………………………………5 分 解得 84m = ，所以第 75 百分位数为 84.…………………………………………………………………6 分 （2）由 70 80 75 2 + = ，得样本成绩的众数为 75，………………………………………………………8 分 由 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1 74× + × + × + × + × + × = . 得样本成绩的平均数为 74.………………………………………………………………………………11 分 （3）由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100 0.1 10× = ， 成绩在[60,70)的市民人数为100 0.2 20× = ， 所以 54 10 66 20 62 30 z × + ×= = ，……………………………………………………………………13 分 总方差为 { }2 2 21 10 7 (54 62) 20 4 (66 62) 3710 20s    = × + − + × + − =   + ．…………………………15 分 17．（1）证明：由平面PAD ⊥平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD= ， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，则CD AD⊥ ，CD ⊂平面 ABCD，可知CD ⊥面 PAD ，…………2 分 AM ⊂平面PAD ， CD AM∴ ⊥ ，…………………………………………………………………………3 分 为正三角形，M 为中点，可得 AM PD⊥ ，…………………………………………………4 分 , ,PD CD D PD CD= ⊂ 平面 PCD， AM∴ ⊥平面 PCD，………………………………………………6 分 （2）解：取 AD 的中点为 O，连接PO，侧面 PAD 是正三角形， 则 PO AD⊥ ，平面PAD ⊥平面 ABCD，平面PAD平面 ABCD AD= ， PO ⊂平面PAD ，可知 ⊥PO 面 ABCD，………………………………………………………………7 分 设 BC 中点为 N，连接 ON， 以 O 为坐标原点，以 , ,OA ON OP所在直线为 , ,x y z轴，建立如图空间直角坐标系．…………8 分 则 ( 1, 0, 0)D − ， (0,0, 3)P ， ( 1, 2, 0)C − ， 1 3( ,0, ) 2 2 M − ， (0, 2, 0)DC =  ， (1, 0, 3)DP =  ， 3 3( , 2, ) 2 2 BM = − −  ，……………10 分 设平面PAB的法向量为 ( , , )n x y z=  ，则 2 0 3 0 n DC y n DP x z  ⋅ = =  ⋅ = + =     ， PAD∆ 第 6 页，共 9 页 取 1z = − ，则 ( 3, 0, 1)n = −  ，………………………………………12 分 设 BM 与平面PAB所成角为θ ，则 ( ) 22 2 2 3 21sin cos , 73 32 2 2 2 n BM n BM n BM θ ⋅ = 〈 〉 = = =   − + − + −              ， 故 BM 与平面PCD所成角的正弦值为 21 7 ． …………………………15 分 18．解：（1）因为 3cos cos tan 3 b C c B a C+ = ， 所以 3sin cos cos cos sin tan 3 B C C B A C+ = ，……………………………………………2 分 所以 ( ) 3sin sin tan 3 B C A C+ = ………………………………………………………4 分 因为 ( )sin sinB C A+ = ，所以 3sin sin tan 3 A A C= ，……………………………5 分 因为 ( )0,πA∈ ，所以sin 0A ≠ ， 所以 tan 3,C = ………………………………………………………6 分 因为 ( )0,πC∈ ，所以 π 3 C = ；………………………………………………………7 分 （2）因为 1 sin 4 3 2 ab C = ，即 3 =4 3 4 ab ，所以 16ab = ，………………………8 分 又 4b a= ，所以 2a = ， 8b = ，………………………………………………………10 分 所以 2 2 2 12 cos 4 64 2 2 8 52 2 c a b ab C= + − = + − × × × = ， 所以 2 13c = ，………………………………………………………11 分 由正弦定理 sin sin a c A C = ，可得 2 2 13 sin 3 2 A = ，所以 39sin 26 A = ，…………………………12 分 因为 a c< ，所以 A C< ， 所以 2 7 13cos 1 sin 26 A A= − = ，…………………………………………………13 分 所以 39 7 13 7 3sin 2 2sin cos 2 26 26 26 A A A= = × × = ，……………………………14 分 2 2 39 23cos 2 1 2sin 1 2 26 26 A A   = − = − × =     ，………………………………………15 分 所以 ．…………17 分 26 1 2 3 26 37 2 1 26 23sin2sincos2cos)2cos( =×−×=−=+ CACACA 第 7 页，共 9 页 19．（1）解：由题意知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b − = > > 过点 (2,3) ，一条渐近线方程为 3 0x y− = ， 则 2 2 4 9 1 3 a b b a  − =   =  ，…………………………………………………2 分 解得 1 3 a b =  = ，…………………………………………………4 分 故双曲线C 的标准方程为 2 2 1 3 yx − = ；…………………………………5 分 （2）解：点 P 为双曲线左支上一点，设 ， ( )( ),0 0A t t > ， 则 ( ) ( )2 22 2 2 20 0 0 0 0 03 3 4 2 3PA x t y x t x x tx t= − + = − + − = − + − 2 2 0 34 3 4 4 tx t = − + −    ，……………………………………………7 分 因为 ， ，…………………………………………………8 分 PA 最小值为 ，……………………………10 分 （3）证明：当过点 ( )2,0F 的直线斜率不存在时，方程为 2x = ， 此时不妨取 ,则 1 1 1 1 2 | | | | 3 3 3MF NF + = + = ；……………………………11 分 当当过点 ( )2,0F 的直线斜率存在时， 设直线方程为 ( ) ( )1 1 2 2( 2), , , ,y k x M x y N x y= − ， 不妨令 1 22,1 2x x> < < ， 联立 22 ( 2) 1 3 y k x yx = −   − = ，得 ( )2 2 2 23 4 4 3 0k x k x k− + − − = ，………………12 分 由于直线过双曲线的右焦点，必有 0∆ > ， 直线与双曲线C 的右支交于M ， N 两点，需满足 3k > 或 3k < − ， 则 2 2 1 2 1 22 2 4 4 3, 3 3 k kx x x x k k − − − + = = − − ，…………………………………13 分 1),,( 000 −≤xyxP 10 −≤x 04 > t 13 4 3) 4 1(4 22 +=−+−− ttt )3,2(),3,2( −NM 第 8 页，共 9 页 则 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2MF NF k x k x + = + + − + − ( )( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 21 1 x x x x x xk k   − = + = ⋅ − − − −+ +  ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 2 41 x x x x x xk − = ⋅ + − −+ …………………………………14 分 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 41 2 41 x x x x x x x xk + − = ⋅ + − −+ 22 2 2 2 2 22 2 2 4 4 34 3 31 4 4 31 2 4 3 3 k k k k k kk k k  − − − − ⋅ − − = ⋅  − − −+ − − − −  ( )( ) ( ) 4 2 2 22 2 2 16 4 4 3 3 31 91 3 k k k k k k + + − − = ⋅ −+ − ( ) 2 2 2 2 2 2 6 1 31 1 6 1 2 9 9 31 1 3 k k k k k k + − − + = ⋅ = ⋅ = −+ + − ，…………………………………16 分 综合以上可知 1 1 | | | |MF NF + 为定值．…………………………………17 分 第 9 页，共 9 页 2024－2025学年度第一学期期末质量监测 高二级数学科试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2．答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上． 4．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A．3 B． C．5 D． 3．等轴双曲线C的中心在原点，且一个焦点为，则它的实轴长为（ ） A． B． 2 C． 4 D． 4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若， 则（ ） A． 1 B． 2 C．3 D．4 5．已知，则的解集为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是（ ） A．1 B． C． D． 7．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是，的中点，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 8．已知椭圆上存在两点、关于直线对称．若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知空间中四点，，，，则（ ） A． B． C． D．为锐角 10．已知圆，点，下列说法正确的是（ ） A．点A在圆外 B．点是直线上的定点 C．已知点，则过点B作圆的最短弦长为 D．过点A作圆:的切线，则的方程为 11．如图，已知正方体棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点，则（ ） A．在方向上的投影向量的长度为2 B．满足平面的点P的轨迹长度为 C．满足的点P的轨迹长度为 D．以点B为球心，为半径的球面与面的交线长为 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分（其中第14题第一空2分，第二空3分）．把答案填在答题卡相应横线上． 12．若，，则________. 13．写出一个与直线都相切的圆的标准方程__________________． 14．已知抛物线，则的焦点坐标为________；若过上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若四边形PAMB面积的最小值是，则____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分． 15．（本小题满分13分）直线经过两直线和的交点． （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长． 16．（本小题满分15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； （2）求样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 17．（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点． （1）求证：平面PCD； （2）求BM与平面所成角的正弦值． 18．（本小题满分17分）的内角A，B，C的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 19．（本小题满分17分）已知双曲线过点，一条渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； （3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值． 高二数学试卷（第 2 页 共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$