第十六章 二次根式单元培优卷-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

第十六章 二次根式单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第16章 二次根式，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 3．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 5．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 6．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．下列计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 9．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简： ． 12．比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 13．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为 ． 14．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 15．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 16．当时， ；若，则 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．先化简，再求值：，其中． 18．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 19．计算： (1)； (2)． 20．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 22．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 23．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 25．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第16章 二次根式，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据完全平方公式对D选项进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意； 故选：． 2．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 3．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 4．下列二次根式，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 5．估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算．先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：A． 7．下列计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B. ，故该选项不符合题意； C. 不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D. ，故该选项符合题意； 故选： D． 8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 9．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值和二次根式的性质，由数轴可得，即得，，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可求解，由数轴得到，是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式， 故选：． 10．计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简： ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式化简．根据题意直接计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故答案为：3． 12．比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13．一个长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查二次根式的除法的应用，根据题意，用长方形的面积除以长即可得到宽． 【详解】解：一个长方形的面积为，长为， 则该长方形的宽为， 故答案为． 14．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，不等式的解法，解题的关键是熟练掌握以上知识．根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 15．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．当时， ；若，则 ． 【答案】 1或2 【分析】此题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质进行化简和求值即可． 【详解】解：当时，， 若，则或， 解得，1或2， 故答案为：，1或2 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分是解题的关键．先因式分解，后变除法为乘法，约分化简，后代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18．已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）利用混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 20．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次根式的加减，乘法运算，分式的求值，完全平方公式等知识，将所求式子进行合理的变形，再将已知代入求解是解题的关键． （1）首先分母有理化，再计算出，然后将利用完全平方公式变形代数求解即可； （2）首先计算出，，然后将变形为，再代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ． （2），， ， ， ∴ ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 22．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 23．有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2. 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. ∴， ∴， ∴的最小值为． 25．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$