第七章 相交线与平行线（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（湖北专用，人教版）

第七章 相交线与平行线（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．下列图形中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 4．为了传承中华民族传统文化，邢江区某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（   ） 项目 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6分 B．5分 C．4分 D．3分 5．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，下列条件中，能证明的条件是（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 8．下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 9．下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 10．如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 12．命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 13．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 14．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 15．如图，直线相交于点，，平分，若，则 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．（6分）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 17．（6分）已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 18．（6分）如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 19．（8分）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 20．（8分）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 21．（8分）如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形． (1)用代数式表示剩余空地的面积； (2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽． 22．（10分）如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．（11分）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 24．（12分）综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．下列图形中与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的定义．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断． 【详解】解：A、D两个角的两边不互为反向延长线，故A、D不符合题意； B、两角没有公共顶点，故B不符合题意； C、两角是对顶角，故C符合题意； 故选：C． 2．下列选项中，过点画的垂线，三角板放法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．根据画垂线的方法进行判断即可． 【详解】解：∵三角板有一个角是直角， ∴三角板的一条直角边与直线重合， ∵过点P作直线的垂线， ∴三角板的另一条直角边过点P， ∴符合上述条件的图形只有选项C． 故选：C． 3．如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，继而得出，从而根据得解． 【详解】解：根据平移的性质可得：， 则 又，， ； 故选：C 4．为了传承中华民族传统文化，邢江区某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（   ） 项目 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6分 B．5分 C．4分 D．3分 【答案】D 【详解】由题可知，该测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案．由题表可知，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确，所以这6道题目的正确答案是： 1×，2√，3×，4√，5×，6×．所以丁做对了3道，得了3分． 5．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题，所举的反例要满足命题的条件，但是不能满足命题的结论，解决本题的关键是判断每一个例子是否满足命题的条件，并且不满足命题的结论． 【详解】解：A选项：当，时，，，，可以说明“若，则．”是假命题，故A选项符合题意； B选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故B选项不符合题意； C选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故C选项不符合题意； D选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故D选项不符合题意． 故选：A． 6．如图，下列条件中，能证明的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定逐个判断即可． 【详解】解：A．由可判定，不能证明，不符合题意； B．不能判定图中直线平行，不符合题意； C．由可判定，不能证明，不符合题意； D．由可判定，符合题意． 故选：D． 7．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 8．下列图形中，和不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是同位角的定义，掌握同位角的定义是解题的关键．利用同位角定义，即同位角是指两条直线与第三条直线相交，在第三条直线的同旁，两条直线同一侧的角．进行解答即可． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不合题意； B、和是同位角，故此选项不合题意； C、和不是同位角，故此选项符合题意； D、和是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 9．下列生活实例中，①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条；②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用；③测量运动员的跳远成绩；④小狗看到食物，会径直奔向食物．能用“两点之间线段最短”解释的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了线段的性质和直线的性质，正确应用线段的性质是解题关键．直接利用线段的性质进而分析得出答案． 【详解】解：①用两颗钉子就能在墙上固定一根木条，可用“两点确定一条直线”来解释； ②从地到地架设电线，沿着线段架设会节省材料费用可用“两点之间线段最短”来解释； ③测量运动员的跳远成绩，可用“垂线段最短”来解释； ④小狗看到食物，会径直奔向食物，可用“两点之间，线段最短”来解释； 其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有②④． 故选：D． 10．如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的补角为或． 故选B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如图，三角形 中，，已知，，，则点B到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键． 根据点到直线的距离可判断出表示点 B到直线的距离是线段长解题． 【详解】解：点B到直线的距离是， 故答案为：． 12．命题“两直线平行，同旁内角相等”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．利用平行线的性质对命题进行判断即可确定答案． 【详解】解：∵两直线平行，同旁内角互补， ∴命题“两直线平行，同旁内角相等”错误，是假命题， 故答案为：假． 13．如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 14．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 15．如图，直线相交于点，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、对顶角等知识，根据对顶角相等和的度数求出的度数是解答本题的关键．根据对顶角相等，可求出的度数，从而可知的度数，进而根据与的度数之和可求出的度数． 【详解】∵与为对顶角， 且， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．（6分）如图，已知在边长为1的方格纸中，点A，B，C，都在格点上． (1)将三角形经过平移后得到三角形，若点是点A的对应点，请在图中画出三角形． (2)将三角形先向上平移__________个单位，再向__________平移__________个单位得到三角形． 【答案】(1)见解析 (2)3，右，4 【分析】本题考查了作图—平移，平移的性质； （1）根据平移不改变图形的大小、形状和方向确定出点，的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）中所作图形判断平移方式即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由图可得：将三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形， 故答案为：3，右，4． 17．（6分）已知命题“对顶角相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？如果是真命题．请给予说明；如果是假命题，请举出反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予说明；如果是假命题，请举出反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)相等的角是对顶角，假命题，举例见解析 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握判断命题的方法是本题的关键．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而得出答案． 【详解】（1）解：此命题是真命题． 说明：如图，直线，相交于点． ， ． （2）“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题． 反例：如图，在中，，但与不是对顶角． 18．（6分）如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)同位角120度，内错角120度，同旁内角60度 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：． 理由：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 19．（8分）如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行． 20．（8分）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 21．（8分）如图，有一长方形空地，其长为a、宽为b，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为c，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形． (1)用代数式表示剩余空地的面积； (2)若a=2b、c=2，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽． 【答案】(1)ab-ac-bc+c； (2)长40，宽20 【分析】（1）利用平移可知，剩余空地面积为边长分别为（a-c）和（b-c）的长方形面积，代入表示即可； （2）防风带面积=小长方形面积+平行四边形面积-重叠平行四边形面积，进而值即可. 【详解】（1）解：由平移，可知 剩余空地面积为（a-c）×（b-c）=ab-ac-bc+c2 答：剩余空地面积为ab-ac-bc+c2. （2）解：防风带面积为：bc+ac-c2 ∵a=2b，c=2，且防风带的面积为116 ∴2b+2b×2-4=116 解得b=20 ∴a=2×20=40 答：原长方形空地的长为40，宽为20. 【点睛】此题考查了平移变换的运用，以及整式的化简求值，解题的关键是根据平移的性质求对应面积. 22．（10分）如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与定义是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 23．（11分）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的有关计算，利用邻补角互补求角度等知识点，认真审题并仔细观察图形，找到各个角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据邻补角互补求出，再利用角的和差关系求得，然后求出时间即可； （2）根据角平分线的定义求出，再利用角的和差关系求得，然后利用邻补角互补即可求出的度数； （3）用和分别表示出，然后列出关系式，整理后即可得解． 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 24．（12分）综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）过点P作，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可； （3）过点E作，根据平行线公理得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据解析（2），得出，最后得出结果即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ， ． ∵， ， ， ． （2）． 理由：如图2，过点P作， ∵， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图3，过点E作， ∵， ， ， 的平分线和的平分线交于点E． ， 由（2）得， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$