第八章 实数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（湖北专用，人教版）

第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．在下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 3．设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．与 C．与 D．与 5．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 6．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（　　） A．4 B． C．6 D． 7．下列判断正确的是（　　） A．不带根号的数一定是有理数 B．若，则 C．比大且比小的实数有无数个 D．两个无理数的和一定是无理数 8．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 9．已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 10．已知，则（   ） A．0 B． C．1 D．2019 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 12．当x取 时，有意义． 13．设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 14．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 15．设，则的值为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．计算：（6分） (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（6分）把下列各数填入相应的大括号里：，，25，0，，0.101001000…， ，，0.38，． (1)负分数集合{ 　 　…}； (2)非正整数集合{ 　 　…}； (3)无理数集合{ 　 　…}． 18．（6分）请把实数，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 19．（8分）求下列各式中的值： (1)； (2)． 20．（8分）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 21．（8分）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 22．（10分）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 23．（11分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含的代数式表示第个等式：_____________（为正整数）； (3)直接写出当时，的值为______； (4)求的值． 24．（12分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．在下列实数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的识别，正确掌握无理数的概念是解答本题的关键．带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，不合题意； B、是分数，属于有理数，不合题意； C、，是整数，属于有理数，不合题意； D、是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 故选D． 2．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出正方形边长，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是31， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， 故选；B． 3．设，则对于实数的范围判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数大小的估算，能估算出的范围是解题的关键． 因为，所以，即，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选： B． 4．下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查实数的性质，根据算术平方根，立方根的定义，以及相反数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、和不是相反数，不符合题意； B、，两数互为相反数，符合题意； C、，两数相等，不符合题意； D、，两数相等，不符合题意； 故选B． 5．以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键． 根据选项依次输入计算判断即可． 【详解】解：A、输入的x为时，， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、当输入的无理数为：时，， ∴， ∴，为有理数，正确，不符合题意； C、当输入的x是1012时，输出， 当输入的x是时，， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意； 故选：C． 6．对于实数a，b，定义一种新运算“△”，规则：，则等式中的x值为（　　） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，定义新运算，先根据新运算法则得出，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得. 故选：C． 7．下列判断正确的是（　　） A．不带根号的数一定是有理数 B．若，则 C．比大且比小的实数有无数个 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了实数的分类以及运算，熟练掌握实数的分类是解题的关键． 根据实数的相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵是无理数，∴带根号的数一定是有理数，说法错误，故该选项不符合题意； B、∵当时，，∴若，则，说法错误，故该选项不符合题意； C、比大比小的实数有无数个，说法正确，故该选项符合题意； D、∵，是有理数，∴两个无理数的和一定是无理数，说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C ． 8．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 9．已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和3， ， ， ∴ 故选：D． 10．已知，则（   ） A．0 B． C．1 D．2019 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，理解非负数的性质并正确求解是解答的关键．根据算术平方根和平方式的非负性求出a、b，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若，且a、b是两个连续的整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求代数式的值；先确定a，b的值，再代入求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．当x取 时，有意义． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义，可得出的取值范围． 【详解】解：∵任何实数都有立方根， ∴可取任意实数， ∴可取任意实数． 故答案为：任意实数． 13．设的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查与无理数整数有关的计算，先利用夹逼法求出，原数减去得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点， ∴， ∴点表示的数是． 故答案为：． 15．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．计算：（6分） (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)6 (2)11 (3)0 (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，正确的计算是解题的关键： （1）利用加减运算法则进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先进行乘法运算，再进行加减运算即可； （4）先进行乘方，开方和除法运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 17．（6分）把下列各数填入相应的大括号里：，，25，0，，0.101001000…， ，，0.38，． (1)负分数集合{ 　 　…}； (2)非正整数集合{ 　 　…}； (3)无理数集合{ 　 　…}． 【答案】(1)，，； (2)0，； (3)，0.101001000…； 【分析】根据实数的分类，无理数的定义处理； 【详解】（1）负分数集合{ ，，…}； （2）非正整数集合{0，…}； （3）无理数集合{，0.101001000…，…}． 【点睛】本题考查实数的定义和分类，掌握实数的分类是解题的关键． 18．（6分）请把实数，，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】画图见解析， 【分析】本题考查了实数与数轴，先化简绝对值，然后将各数表示在数轴上，再根据数轴比较大小即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 画出数轴如图所示： ∴． 19．（8分）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 20．（8分）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 21．（8分）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 22．（10分）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上 每套服装的价格 70元 60元 50元 如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元． (1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？ (2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？ (3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元． 【答案】(1)1640元 (2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人 (3)元 【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用， （1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案； （2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可； （3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意：（元）， ∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元， ∴（元）， 答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元； （2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人， ∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人， ∴，解得：， 乙校区参演人数为：（人）， 答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人； （3）解：∵甲校区参演人数为60人， 又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%， ∴设服装厂每套服装成本元， ，即：， ∵丙学校购买的服装比甲校区少12套， ∴丙校区购买了：（套）， ∴（元）， 答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元． 23．（11分）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：____________； (2)用含的代数式表示第个等式：_____________（为正整数）； (3)直接写出当时，的值为______； (4)求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了整式的规律探究，代数式求值，根据平方根的定义解方程 （1）根据等式的规律即可求解； （2）根据，，，，……可推导一般性规律为：表示第n个等式，然后作答即可； （3）根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （4）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ， …… ∴可推导一般性规律为：表示第n个等式（n为正整数）， 故答案为：，； （3）解：∵，当时 ∴ ∴ ∴ 解得：（n为正整数，负值舍去）， 故答案为：． （4）解：由题意知， ； ∴的值为． 24．（12分）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边_____． (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． (3)若是的小数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)图见详解； (3)1； 【分析】本题考查平方根的定义及正方形边长与平方根的应用，根数小数部分规律题： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的三角形面积和也为8，每个三角形面积为2，即可得到边长为2即可得到答案； （3）根据得到与的小数部分代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$