第19章 四边形（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第19章 四边形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角，利用它们的和为360度即可求解． 【详解】解：A. 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，，所以能拼成，不符合题意； B. 正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，，能拼成，不符合题意； C. 正方形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，，能拼成，不符合题意； D. 正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，不能拼成，符合题意； 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中， 将向左平移各单位得到， 此时； 将向右平移各单位得到； 此时； 将先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到， 此时； 综上所述， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移；解题的关键是通过平移得到平行四边形． 3．如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 4．如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定方法逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意； B.若，且，无法判定四边形是平行四边形，故选项B错误，不符合题意； C.若，且，则四边形是平行四边形，故选项C正确，符合题意； D.综上所述，选项D错误，不符合题意； 故选：C ． 5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则的长为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的性质熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据角平分线的定义得，平行四边形的性质得，可证，进而求解的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 6．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，即多边形的内角和． 设边数为，由多边形内角和公式可列方程，可求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意可得：， 解得， 这个多边形的边数为7． 故选：B． 7．如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和三角形的面积问题，熟练掌握矩形的性质，学会利用几何图形的等面积法转换图形面积是解题的关键．连接，由矩形和三角形面积的关系可得：，，从而得到，再把矩形面积切割成3个小图形的面积，利用等式的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是边上一点， ， 是边上一点， ， ， ， ， 即． 故选：C． 8．如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、正方形的判定、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，掌握菱形的判定与性质成为解题的关键． 先判定四边形是菱形可判定A选项；再根据菱形的性质可判定B选项；再根据三角形等腰三角形的性质、三角形的中位线可证明是平行四边形；最后根据有一个内角是直角的菱形是正方形可判定D选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，即A选项正确，不符合题意； ∴与互相垂直且平分，即B选项正确，不符合题意； 当时，由等腰三角形的性质得； ∵四边形是菱形， ∴，； ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴F点是的中点； 同理：得E点是的中点， ∴是的中位线， ∴，； ∵， ∴四边形是平行四边形；故选项C错误，符合题意； ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形，即选项D正确，不符合题意． 故选C． 9．如图，在边长为的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接平分交于点．若，则的长度为（　　）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明；设，将和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即， 解得． 故选：D． 10．如图，在中，点D、E、F分别是边上的中点，且，则（    ）.    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质、 ，进而得到，最后再根据三角形中线的性质即可解答. 【详解】解：∵D是的中点， ∴, ∵E是的中点， ∴, ∴, ∵F是的中点， ∴. 故选B. 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两份是解答本题的关键. 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，熟练掌握菱形的对角线互相垂直的性质是解题的关键． 根据菱形面积的计算公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解答即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直， ∴菱形的面积等于对角线乘积的一半， 则这个菱形的面积为， 故答案为：． 12．如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的的周长为 ． 【答案】/16厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到，求出，再结合即可解答． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴的的周长为， 故答案为：． 13．如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查等面积法求线段比值，涉及中线等分三角形面积、三角形面积公式等知识，由是边上的中线，得到，进而由三角形面积公式代值表示，最后结合即可得到，恒等变形即可得到答案，熟记中线等分三角形面积、三角形面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：在中，是边上的中线， ， ，， ， ， ，即与的长度之比是， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【答案】（或）（（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：， 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 添加条件为：， 理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 故答案为：（或）（答案不唯一）． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 16．请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【详解】（1）解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 17．小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对． (1)通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？ (2)若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数； (3)若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)多边形的边数为5或6． 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形内角和定理是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理计算求出n的值，n应为整数，据此判断即可； （2）这个外角的度数为α，根据题意列出，求解即可； （3）设这个多边形的边数为，没有加上去的内角的度数为，则这个内角所对应的外角为，根据题意列出，求得，再根据0°＜β＜180°且n为整数，即可求解． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得， ∵应为整数， ∴小明计算的结果不对； （2）解：设这个外角的度数为， 根据题意得，， 解得， 即这个外角的度数为； （3）解：设这个多边形的边数为n，没有加上去的内角的度数为β，则这个内角所对应的外角为180°﹣β， 根据题意得，， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或， 即该多边形的边数为或． 18．如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 19．如图，四边形的对角线互相平分相交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据三角形的外角的性质求得，推出，于是得到四边形是矩形； （2）设，，则，根据三角形内角和定理得，即可得，再由矩形的性质可求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形的对角线互相平分 ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，是的外角， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． （2）解：设，，则， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 20．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）证明，推出，由，，推出，即可证明点为的中点； （2）延长到，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题． （3）取的中点，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当、、共线时，的值最小，则可求出答案． 【详解】（1）解：证明：如图1中，   四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点为的中点； （2）延长到，使得，连接，   ， ， 又，分别是，的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． （3）取的中点，连接，，   ， ， ， 、、共线时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 21．同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），通过探究回答以下问题： (1)如图1用两个面积为1的小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长为__________，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，点M表示的数为__________． (2)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题： 如图3，在的方格中，每个小正方形的边长为1． ①图3中正方形的面积为__________； ②如图4，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E．则点E所表示的数是__________． (3)请运用以上知识在网格中画一个面积为5的正方形，使正方形的顶点均在格点上．（备注：网格小正方形的边长为1个单位长度） 【答案】(1)， (2)①10；② (3)图见解析 【分析】本题考查了算术平方根的意义，勾股定理，实数和数轴，以及用数轴上的点表示实数，解题的关键是求出正方形的边长； （1）根据勾股定理求出大正方形的边长，然后根据点到原点的距离表示出点即可； （2）①用割补法求出正方形的面积，再根据算术平方根的定义即可求出边长；②表示的数比大，用加上长度即为表示的数； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：图1中大正方形的边长为， 图2中点表示的数为；， 故作案为：，； （2）①正方形的面积是； 故答案为：10； ②正方形边长为， ， 表示的数比大，即表示的数为， 故答案为：； （3）解：正方形的面积为5 正方形的边长为， 如图所示， 22．根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质，多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． （1）连接，利用三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形外角的性质表示出，再根据三角形外角和为即可解答； （3）根据三角形外角的性质表示出，再根据四边形外角和为即可解答； （4）连接，由三角形内角和定理得到，即可得到为五边形的内角和，利用多边形内角和公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴； （4）解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴ ， ． 23．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 四边形（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正六边形与正八边形 2．在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，为斜边上的中线，过点作，连接、，若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，下列判断正确的是（　　） A．若，且，则四边形是平行四边形 B．若，且，则四边形是平行四边形 C．若，且，则四边形是平行四边形 D．以上判断都对 5．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则的长为（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 6．一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，矩形中，点是边上任意一点，以为一边的矩形的边经过点，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，为边上一点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．则以下结论中错误的是（   ）    A．四边形是菱形 B．与互相垂直且平分 C．当时，四边形是菱形 D．若时，则四边形是正方形 9．如图，在边长为的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接平分交于点．若，则的长度为（　　）    A．2 B． C． D． 10．如图，在中，点D、E、F分别是边上的中点，且，则（    ）.    A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 12．如图，若平行四边形的周长为，，相交于点O且为，则的的周长为 ． 13．如图，在中，是边上的中线，，，点，分别是垂足．已知，则与的长度之比是 ． 14．如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 16．请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 17．小明在计算多边形的内角和时，得到的答案是600°，老师说小明计算的不对． (1)通过计算说明，为什么老师说小明计算的结果不对？ (2)若小明计算的是五边形，并且不小心多加了一个外角的度数，请计算这个外角的度数； (3)若小明在计算该多边形的内角和时，其中一个内角没有加上去，而是加上了这个内角所对应的外角，请直接写出该多边形的边数． 18．如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 19．如图，四边形的对角线互相平分相交于点O，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 20．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．    (1)若点E为的中点，求证：F点为的中点； (2)若点E为的中点，，，求的长； (3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________． 21．同学们通过学习教材中的探究，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度与小正方形的边长相同），通过探究回答以下问题： (1)如图1用两个面积为1的小正方形拼成一个大正方形，大正方形的边长为__________，将图1中的大正方形画在图2的数轴上，如图所示，点M表示的数为__________． (2)小易同学根据自己的学习经验，探究了如下问题： 如图3，在的方格中，每个小正方形的边长为1． ①图3中正方形的面积为__________； ②如图4，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E．则点E所表示的数是__________． (3)请运用以上知识在网格中画一个面积为5的正方形，使正方形的顶点均在格点上．（备注：网格小正方形的边长为1个单位长度） 22．根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 23．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$