第18章 勾股定理（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第18章 勾股定理（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的知识，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理．据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴A可以判定是直角三角形，不符合题意； ∵，， ∴， ∴B不能判定是直角三角形，符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴C可以判定是直角三角，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∴， ∴D可以判定是直角三角；不符合题意． 故选：B． 3．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∴． ∴这块可绿化的空地的面积为． 故选：C． 4．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 6．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 7．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A．30 B．15 C．20 D．27 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 作于点，根据勾股定理得出，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 8．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理计算是解题关键． 设，由折叠的性质可得：，从而在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴由折叠的性质可得：， ∵， ， 即，解得：， ． 即的长度为， 故选：C 9．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度． 【答案】5 【分析】本题考查了两坐标间的距离，由图得，，利用两坐标间的距离公式列式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，， ∴A，B两点的距离为， 故答案为：5． 12．如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为 【答案】30 【分析】根据正方形的面积公式，且结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：30． 14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上；      (1)在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； (2)的面积是 ． 【答案】(1)见解析，的周长最小值为 (2) 【分析】本题考查了割补法求图形面积，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键． （1）首先作出点A关于l的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求作的点，然后利用勾股定理求出和，进而求解即可； （2）用割补法即可求得． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    ∴， ∴ ∴的周长最小值为． （2）解：的面积． 16．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)9 (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理， （1）在中，直接利用勾股定理计算即可； （2）利用勾股定理先求出，再根据勾股定理的逆定理即可作答． 【详解】（1）∵， ∴在中，， ，即， 解之得：， ∴的长为9； （2）是直角三角形， 理由：在中，， ， 即， 解之得：， 在中，， ， ， ∴是直角三角形． 17．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】此题考查了勾股定理的证明和应用． （1）大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，据此列式计算即可得到结论； （2）由大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积列式求出，由题意知，即可求出的值． 【详解】（1）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． ， ， ． （2）由图形可知，大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积． 大正方形的面积是15，小正方形的面积是4， ， ， 由题意知， ． 18．劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 答：蔬菜区边的长为； （2）解：∵，，， ∴，而， ∴， ∴， 花卉区的面积为：． 答：花卉区的面积为． 19．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是由等腰三角形性质确定即可得证； （2）设，则，，在中，由勾股定理求出的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． 【点睛】本题主要考查折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及解方程等知识，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识． 20．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 21．如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理． （1）由勾股定理得，，根据，可得答案； （2）作线段的垂直平分线，交于点P，连接，由线段垂直平分线的性质可得，在中，由勾股定理得，，即可得，可知点P即为所求． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图2，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求，理由如下： ∵直线为线段段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 即点P符合题意． 22．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 23．【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； 【详解】解：（1）在中，， 答：长为； （2）， ， 在中，， ， 答：的长度为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18章 勾股定理（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下面各组数中，是勾股数的是（    ） A．2，3，4 B．，，8 C．1，1，2 D．3，4，5 2．若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D．，， 3．城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 6．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（   ） A．30 B．15 C．20 D．27 8．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 9．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 10．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．若以点A，B为圆心、1个单位长度为半径的两个圆的位置如图所示，则A，B两点的距离为 个单位长度． 12．如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中 ． 13．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为 14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上；      (1)在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； (2)的面积是 ． 16．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 17．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位， 体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．中，，若，，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：； (2)如果大正方形的面积是15，小正方形的面积是4，求的值． 18．劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 19．如图，将长方形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 20．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 21．如图，中，． (1)图1中，若，，则边上的高的长为______； (2)在图2中尺规作图：在线段上找一点P，使得，画出点P的位置并说明理由． 22．某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 23．【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． / 学科网（北京）股份有限公司 $$