第18章 特色素养专题(三)传统文化专题-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

特色素养专题(三) 传统文化专题(答案P17) 1.在《天工开物》这部古代科学技术著作中,描述 的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图② 了多种工具和机械的制作与应用,其中有一科 中的实线)是 _ 古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具如 图所示,这种工具的形状类似于一个直角三角 形,若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角 边长为5尺,斜边比较长的直角边多1尺,则 “矩尺”的较长的直角边的长为( ) ① ② C.72 A.52 B.48 D.76 5 5.我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周 ?尺 牌算经》记载,勾股定理的公式与证明是在商 A.12尺 B.13尺 C.24尺 D.26尺 代由商高发现的,故又称之为“商高定理”:三 2.勾股定理在《九章算术》中的表述是:“勾股术 国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定 日:勾股各自乘,并而开方除之,即弦”,即c 理给出了详细注释,并给出了另外一个证明, 下面四幅图中,不能证明勾股定理的是 十^{(a为勾,6为股,c为弦),若“勾”为 ) 3.“股”为4,则“弦”是( ) B.6 C.10 A.5 D./4 3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股 定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵 #7#.# 爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小 正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较 短的直角边长为么,较长的直角边长为乙,若小 正方形的面积是1,大正方形的面积为13,那 C 么(a十)*的值为( ) 6.如图所示,图①是北京国际数学家大会的会 标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”, 是由四个全等的直角三角形拼成,若图①中大 正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现 将这四个直角三角形拼成图②,则图②中大正 B.19 方形的面积为( A.13 ) C.25 D.169 4.(2024·阜阳界首期末)图①是我国古代著名 的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直 ① 角三角形围成的,在Rt△ABC中,若直角边 ② A.24 AC-6,BC一5,将四个直角三角形中边长为6 B.36 C.40 的直角边分别向外延长一倍,得到如图②所示 D.44 7.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一, 10.我国古代数学名著《九章算术》中 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制 有云:“今有木长二丈,围之三尺, 了“赵爽弦图”,流传至今,如图所示是由“赵夷 葛生其下,缠木七周,上与木齐,问 弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角 葛长几何?”大意为:有一根木头高 形和一个小正方形拼接而成,设每个直角三角 2丈,上、下底面的周长为3尺,葛藤生长在 形的两条直角边分别为a,(a>b),斜边为c 木头下的一个地方,绕木头7周,葛梢与木头 则下列结论:①a+b>c;②a{}十^{}→2ab; 上端刚好齐平(如图所示),则葛藤长 ③(a十b){②}-(a-b)②+4ab;④/②(a十b)< 尺.(注:1丈等于10尺,葛缠木以 2c.其中正确的是( ) 最短的路径向上长,误差忽略不计) 11.勾股定理最早出现在《周牌算经》:“勾广三, 股修四,经隅五”.观察下列勾股数;3,4,5;5. 12,13;7,24,25;...这类勾股数的特点是勾 为奇数,弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为 偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6 A.①② B.①②③ 8.10;8,15,17;...若此类勾股数的勾为2n C.①②④ D.①②③④ (n二3,n为正整数),则其弦是 8.《九章算术》是我国古代数学代表作,书中记 (结果用含的式子表示) 载:今有开门去阔一尺,不合二寸,问门广几 12.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九 何?题目大意;如图所示,推开双门AD和 章》里记载有这样一道题:“问有沙田一块,有 BC,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D 三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三 距离门槛AB都为1尺(1尺一10寸),则AB 里,欲知为田几何?”这道题讲的是;有一块三 的长为( ) 角形沙田,三条边长分别为5里,12里, 2 13里,问这块沙田面积有多大?题中“里”是 我国市制长度单位,1里三0.5千米,则该沙 田的面积为 A.50.5寸 B.52寸 平方千米. C.101寸 D.104寸 13.《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题:“今有 9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著 竹高九尺,末折抵地,去本三尺,问折者高几 作中给出了勾股数a,,c的计算公式:a 何?”意思是:现有竹子高9尺,折后竹尖抵地 与竹子底部的距离为3尺,问折处高几尺? 1 。(n十n),其中 2 即:如图所示,AB十AC一9尺,BC一3尺,则 AC一 mn>0,m,n是互质的奇数,下列四组勾股 尺. 数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的 是( ) A.3,4,5 B.5.12.13 1_ C.6.8,10 D.7.24.25 C B=(》+}+〉+…+()】 【例2】A解析：由题意可得，BC=√3十4=5， AB=5,AC=3+9=3√/10， =+++…+ .AB=BC.BD是∠ABC的平分线 =1+2+3+…+88 ÷BD LAC.AD=CD=AC=而， =979. 9.解：(1)n-12nn+1 D-/AB-AD--(1 2 【变式训练2】45 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 【例3】解：(1)CD=10,DE=7,.CE=10-7=3. 证明：，a=n一1，b=2n,c=n十1， ∴.a2+b2=(n2-1)2+4n2=n+2n2+1= 在Rt△CBE中，BE=√BC+CE=5. (n2+1)2=c2, (2)当∠BPE=90时，AP=10-3=7,则1=7÷ ∴.以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1=7.当∠BEP=90°时，BE+PE=BP2, 10.Ah.c2 即5+4+(7-)2=(10-4)，解得1= 3 13.解：(1)，四边形ABCD为长方形， ..CD=AB=6.AD=BC=8, 当1=7或号时，△BPE为直角三角形.。 ∠BAD=∠D=∠B=90°. 【变式训练3】解：分两种情况： 在Rt△ABC中，AC=√6+8=10. ①当△ABC是锐角或直角三角形，如图①所示， ,将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落 ,CD⊥AB,∴.∠CDA=90 在对角线AC上的点F处，.CF=CD=6,ED= ,CD=√3，AD=1,由勾股定理，得AC=2. EF,∠EFC=∠D=90°，∴.AF=10-6=4.设EF= AB=2AC,AB=4,.BD=4-1=3, x,则DE=x,AE=8-x. ∴.BC=√CD+BD=√J(3)+3=23. 在Rt△AEF中，x+=(8-x)2,解得x=3. ②当△ABC是钝角三角形，如图②所示， 即EF的长为3. 同理，得AC=2,AB=4, (2)四边形ABCE的面积=S△AW十S△E= ∴.BC=CD+BD=/(w3)2+52=2W7. 号×6×8+号×3×10=39， 综上所述，BC的长为23或2√7， 特色素养专题（三）传统文化专题 1.A2.A3.C4.D5.D6.D7.D8.C 9.C10.2911.m2+112.7.513.4 本章综合提升 【本章知识归纳】 【通模拟】 a2+b2=c2平方和平方 【思想方法归纳】 1.A2.B3.C4.C5.D6.607.29 【例1】B 8(0或2.0或-3.0) 【变式训练1】解：，AB=BD=5厘米，动点P从A 出发(A→B~D)到D,速度为2厘米/秒， 9.(1)45°(2)25 ∴.5秒时P点运动路程为2×5=10（厘米）， 10.解：设BD=x,则CD=14一x.由勾股定理，得 而AB十BD=10厘米，.此时P与D重合. AD*=AB*-BD*=152-x,AD=AC2-CD= ,AB=BC=CD=5厘米，动点Q从点D出发 132-(14-x),则15°-x2=13-(14-x)2,解得 (D→C→B→A)到A,速度为2.8厘米/秒， x=9,则AD=√15-9=12.所以△ABC的面 ∴.5秒时Q点运动路程为2.8×5=14（厘米）， 而DC十CB+BA=15厘米， 积=号BC·AD=号×14X12=81. ∴.Q在AB边上，且BQ=4厘米，如图所示. 11,解：计划修筑的这条公路不会穿过公园.理由：过点 在△BPQ中，BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP= C作CE⊥AB,交AB于点E,如图所示. 5厘米， .BQ+PQ=BP2,∴.△BPQ为直角三角形， ∠BQP=90°，∴.∠AQP=180°-∠BQP=90°， ∴.△APQ为直角三角形. DP 设AE为xkm,则EB=(1.4-x)km. 在Rt△ACE中，AC2-AE=CE, 在Rt△CEB中，BC-BE=CE, 即1.3-x2=1.52-(1.4-x)2, 12 解得x=0.5,.CE=√1.32-0.5=1.2(km). 定理，得22十(16一2t)=(21-10), .1.2>1.1, ,计划修筑的这条公路不会穿过公园 解得1-20 12.解：过点A作AC⊥CB于点C,则在Rt△ABC中， AC=40+40=80(米)，BC=70-20+10= 第19章 四边形 60(米)，故终止点与原出发点的距离AB= 19.1多边形内角和 √60+80=100（米）. 1.③④ 2.414 答：终止点B与原出发点A的距离AB为100米 3.解：对角线的数量为6一3=3（条）：分成的三角形的 13.解：将长方体沿CF,FG,GH剪开，向右翻折，使面 数量为6一2=4（个）. FCHG和面ADCH在同一个平面内，连接AB,如 4.C5.C6.100°7.A8.B9.180°10.B 图①所示. 1L.B12.C13.C14.B15.A16.A17.84 由题意，得BD=BC+CD=5+10=15(cm), 18.证明：如图所示，设BE与AC,AD AD=CH=15 cm. 的交点分别是点F,G.:∠AFG是 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB= △FCE的一个外角， √/BD+AD'=15+15=15√2(cm). ∴.∠AFG=∠C+∠E, 将长方体沿DE,EF,FC剪开，向上翻折，使面 同理，∠AGF=∠B十∠D DEFC和面ADCH在同一个平面内，连接AB,如 ,在△AFG中，∠A+∠AFG+∠AGF=180°. 图②所示， ∴.∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180 由题意，得BH=BC+CH=5+15=20(cm), 19.解：(1)证明：如图①所示，延长AB交CD于点E. AH=10 cm. :'∠ABC=∠BEC+∠C,∠BEC=∠A十∠D. 在Rt△ABH中，根据勾股定理，得AB= ∴.∠ABC=∠A+∠C+∠D. √/BH+AH=√20+10=10/5(cm). (2)证明：如图②所示，延长AB交CD于点G,则 如图③所示，左面和上面展开在一个平面内，连 ∠ABC=∠BGC+∠C. 接AB. :∠BGC=180°-∠BGD,∠BGD=3×180°- 由题意，得AC=AD+CD=15+10=25(cm), (∠A+∠D+∠E+∠F),.∠ABC=∠A+ BC=5 cm. ∠C+∠D十∠E+∠F-360」 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB= (3)6 √/AC+BC=√J25+5=5√26(cm. 15√2<10W5<526, ∴.需要爬行的最短距离是15√2cm. 2 19.2平行四边形 第1课时平行四边形的边和角的性质 1.D2.A3.A4.12cm,16cm,12cm,l6cm 14.解：当点P在∠BAC的平分线上时，过点P作 5.C6.C7.C8.C9.1010.2或8 PD⊥AB,如图所示， 11.C12.C13.D14.50 15.(4,1)(答案不唯一) 16.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,∴.∠E=∠DCM. 在△AEM和△DCM中， I∠E=∠DCM, ,AP平分∠BAC,PC⊥AC,PD⊥AB, ∠AME=∠DMC. ∴.PD=PC. AM=DM. 当点P在BC上时，点P运动的长度为AB十 ∴.△AEM≌△DCM(AAS), BP=2t. .AE=CD,∴.AE=AB. 则BP=2-10,PC=BC-BP=6-(21-10)=6 (2),BM平分∠ABC,..∠ABM=∠CBM 21+10=16-21, ,四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. ∴.PD=16-2t, .∠CBM=∠AMB,∴.∠ABM=∠AMB, 在Rt△ACP和Rt△ADP中. .AB=AM,AB=AE...BE=2AM. AP=AP, .'AM=DM,..AD=2AM,.BC=2AM, PC=PD. ∴.BC=BE.△BCE是等腰三角形 ∴.Rt△ACP≌Rt△ADP(HI),.AD=AC. .BM平分∠ABC,.BM⊥CE. 在Rt△ABC中，AB=10,BC=6, 17.证明：延长DE与BC交于点F,如图所示 ..AC=AB*-BC2=8...AD=AC=8. ,四边形ABCD是平行四边形， 又，AB=10,.BD=2.在Rt△BDP中，由勾股 ED LAD,,,DF⊥BC, 18