第18章 专题三勾股定理在几何计算中的应用-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（沪科版）

专题三勾股定理在几何计算中的应用（答案P16) 类型1建立方程模型结合勾股定理求线段的 类型3构造直角三角形结合勾股定理解决实 长度 际问题 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 4.应用意识如图所示，在一次夏令营活动中，小 CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于 明从营地点A出发，沿北偏西30°的方向走了 点E,若AC=2,AE=1,求BC的长. 500,3m到达点B,然后再沿南偏西60°方向 走了500m到达目的地点C,则点A与点C 之间的距离为( A.600m B.800m C.1000m D.1200m 5.新情境，如图所示，永定路一侧有A,B两个送 奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供 奶路线，现已测得AC=8km,BC=15km, AC⊥BC,∠1=30 类型2利用勾股定理的逆定理判断三角形的 (1)连接AB,求两个送奶站之间的距离. 形状 (2)有一人从点C处出发沿永定路边向右行 2.如果a,b,c是直角三角形的三边长，那么以2a, 走，速度为2.5km/h,多长时间后这个人距B 2b,2c为边长的三角形是( 送奶站最近？并求出最近距离。 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 3.已知△ABC的三边为a,b,c,且a十b=7, ab=12,c=5,试判定△ABC的形状. 永定路 一八件级卡伊数学 73 类型4利用勾股定理解决最短距离问题 目类型5勾股定理中的规律探究 6.如图所示，ABCD是矩形地面，长AB=14m, 8.推理能力如图①所示是第七届国际数学教育 宽AD=12m,中间竖有一堵砖墙高MN=1 大会（简称ICME一7）的会徽，会徽的主体图 m.一只蚂蚱从B点爬到D点，它必须翻过中 案是由如图②所示的一连串直角三角形演化而 间那堵墙，则它至少要走 m的路程. 成的.其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7Ag=1, 所以OA2=12+1严=√2，OA,=√1+2=5， OA4=√1+3=√4=2，…，把△OA1A2的面 7.空间观念一块长方体木块的各棱长如图所 积记为S,=2×1×1=,△0A,A,的面积 示，一只蜘蛛在木块的一个顶点A处，一只苍 蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处， 5=×，2×1=，△0A,A,的面积S,= 蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向 ×BX1=…如果把图②中的直角三 上爬 (I)如果D是棱的中点，蜘蛛沿“AD→DB”路 角形继续作下去，请解答下列问题： 线爬行，它从A点爬到B点所走的路程为 多少？ (2)你认为“AD→DB”是最短路线吗？如果你 ICME-7 ① 2 认为不是，请计算出最短的路程 (1)直接写出OA.= ,S。= (2)求出S十S十S号+…十S的值， 674 优学案课时通 9.摊理能力王老师在一次“探究性学习”课中， 的P点，然后压平得折痕EF与GH.若 设计了如下数表： PE=8cm,PG=6cm,EG=10cm,则长方 2 3 5 4 形纸片ABCD的面积为() D 0 22-1 32-1 42-1 52-1 b 6 8 10 22+1 32+1 42+1 52+1 B (1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系，并 A.105.6cm B.110.4cm 用含自然数n的代数式表示：a= ,b= C.115.2cm2 D.124.8cm2 C= 12.如图所示，在直角三角形ABD中，∠A= (2)猜想以a,b,c为边的三角形是否为直角三 90°，AB=2cm,AD=4cm,将此三角形折 角形？并证明你的猜想， 叠，使点B与点D重合，折痕为EO,则 △EOD的面积为 cm2. D 13.如图所示，在长方形ABCD中，AB=6, BC=8,将长方形ABCD沿CE折叠后，使点 D恰好落在对角线AC上的点F处， (1)求EF的长. (2)求四边形ABCE的面积. 类型6利用折叠的性质结合勾股定理进行 计算 10.如图所示，在长方形ABCD中，点E在边 AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点 A恰好落在边BC上的点F处，若AD=5, DC=3,则BF的长是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.如图所示，有一张长方形纸片ABCD,将 AD,BC折起，使A,B两点重合于CD边上 一八样级卡带数学 752XADXAB+ 2XBDXCD 专题三勾股定理在几何 计算中的应用 =2×32×3E+2×6×8 1.解：，∠ACB=90,CD⊥AB, ∴.∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， =9+24 ∴.∠BCD=∠A.CE平分∠ACD, =33. .∠ACE=∠DCE. 16.解：(1)证明：连接CE,如图所示 又，∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE= ,D是BC的中点，DE⊥BC, ∠BCD+∠DCE, ..CE=BE. ∠BEC=∠BCE,∴.BC=BE. BE2-EA=AC, 设BC=BE=x,则AB=1十x .CE2-EA=AC, AC2+BC2=AB2,∴.22十x2=(1+x)2, ∴.EA2+AC=CE, 解得x=1.5,即BC的长为1.5. .△ACE是直角三角 2.A 形，即∠A=90 3.解：a+b2=(a+b)2-2ab=7-2×12=25, (2)DE=3,BD=4. c2=25,∴.a2十b2=e2,.△ABC是直角三角形. ∴.BE=√DE十BD=5=CE, 4.C ..AC=EC-AE=25-AE. 5.解：(1)，AC=8km,BC=15km,AC⊥BC, ,BC=2BD=8, .AC+BC2=AB2, .在Rt△BAC中，由勾股定理，得BC2一BA2 ∴.AB=√AC+BC=8+15=17(km). 64-(5+AE)2=AC,.64-(5+AE)=25 ∴.两个送奶站之间的距离AB为17km. AE,解得AE-子 (2)如图所示，过B作永定路的垂线，垂足为D △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∠1= 17.解：(1)①在Rt△ABC中，AB=6.5米，BC 30°，.∠BCD=180°-90°-30°=60. 2.5米，.AC2=AB-BC2=6.5-2.5=36, 在Rt△BCD中，∠BCD=60°，∴.∠CBD=30°， .AC=6米.，AA1=1米， 1 ∴.AC=AC-AA1=5米 CD=2B0=2×15=.5km 在Rt△A,B,C中，A,B,=AB=6.5米， 7.5÷2.5=3(h),∴.3h后这个人距B送奶站最 BC=A,B-A,C=6.5-5_69 4 近，最近距离为15-7.5=15 2 (km). ÷B,C=6米. B,B=B,C-B=丽-2.5=6-5（米 2 2 答：点B将向外移动丽一5米. 2 》永定路 ②可能相等 6.20 :AC=6米，AA,=BB1 7.解：(1)从点A爬到点B所走的路程为AD十BD= ..A C=AC-AA=6-AA=6-BB. √+(6÷2)+√2+(6÷2)=(5+√/13)cm. BC BC BB =2.5+BB:,B:C= (2)不是，分三种情况讨论： ABi-AC, ①如图①所示，将下面和右面展到一个平面内，AB ∴.(2.5+BB1)=6.52-(6-BB1)2 √(4十6)十2=√104=2√25(cm):②如图②所示，将 解得BB1=3.5或0（舍去）， 前面与右面展到一个平面内，AB=(4+2)+6= 故竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B √72=6√2(cm):⑧③如图③所示，将前面与上面展到 向外移动的距离可能相等，移动距离为3.5米. (2)不可能相等. 一个平面内，AB=√/(6+2)+4=45(cm). 当AC=BC,AB=6.5米时， :6√2<4√5<2√26，.蜘蛛从A点爬到B点所走 在Rt△ABC中，AC2+BC=AB, 的最短路程为6√2cm. AC+BC=6.5,解得AC=BC=13,2 4 在Rt△A1B,C中，B1C+AC=A,B, (82+B,)广+(82-M,)=， 解得2M,-班+BB+M, .AA>BB:, 故顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离。 8.解：(1)√m 2 (2)S1+S2+S+…+S8s 16 =(》+}+〉+…+()】 【例2】A解析：由题意可得，BC=√3十4=5， AB=5,AC=3+9=3√/10， =+++…+ .AB=BC.BD是∠ABC的平分线 4 =1+2+3+…+88 ÷BD LAC.AD=CD=AC=而， =979. 9.解：(1)n-12nn+1 BDAB-AD-5-(可= 2 (2)猜想：以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 【变式训练2】45 【例3】解：(1)，CD=10,DE=7,∴.CE=10-7=3. 证明：，‘a=n2一1，b=2n,c=n十1， .a2+b2=(n2-1)2+4n2=n+2n2+1= 在Rt△CBE中，BE=√BC+CE=5. (n2+1)2=c2. (2)当∠BPE=90时，AP=10-3=7,则1=7÷ .以a,b,c为边的三角形是直角三角形. 1=7.当∠BEP=90时，BE十PE=BP, 10.A1.c2号 即5+4+(7-)=(10-4)，解得1= 3 13.解：(1)，四边形ABCD为长方形， ..CD=AB=6.AD=BC=8, 当1=7或受时，△BPE为直角三角形， ∠BAD=∠D=∠B=90°. 【变式训练3】解：分两种情况： 在Rt△ABC中，AC=√6+8=10. ①当△ABC是锐角或直角三角形，如图①所示， ,将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落 ,CD⊥AB,∴.∠CDA=90 在对角线AC上的点F处，∴CF=CD=6,ED= ,CD=√3，AD=1,由勾股定理，得AC=2. EF,∠EFC=∠D=90°，∴.AF=10-6=4.设EF= AB=2AC,AB=4,.BD=4-1=3, x,则DE=x,AE=8-x. ∴.BC=√CD+BD=√J(3)+32=23. 在Rt△AEF中，x+4=(8-x),解得x=3. ②当△ABC是钝角三角形，如图②所示， 即EF的长为3. 同理，得AC=2,AB=4, (2)四边形ABCE的面积=S△AW十S△EM= ∴.BC=√CD+BD=(3)2+5=2√7. 2×6×8+号×3×10=30， 综上所述，BC的长为23或2√7， 特色素养专题（三）传统文化专题 1.A2.A3.C4.D5.D6.D7.D8.C 9.C10.2911.m2+112.7.513.4 本章综合提升 B ② 【本章知识归纳】 【通模拟】 a2+b2=c2平方和平方 L.A2.B3.C4.C5.D6.607.29 【思想方法归纳】 【例1】B 8(0或2.0或-3.0) 【变式训练1】解：，AB=BD=5厘米，动点P从A 出发(A→B~D)到D,速度为2厘米/秒， 9.(1)45°(2)25 ∴.5秒时P点运动路程为2×5=10（厘米）， 10.解：设BD=x,则CD=14一x.由勾股定理，得 而AB十BD=10厘米，∴.此时P与D重合. AD*=AB2-BD*=152-,AD=AC-CD= ,AB=BC=CD=5厘米，动点Q从点D出发 132-(14-x)2,则152-x2=13-(14-x)2,解得 (DC→B→A)到A,速度为2.8厘米/秒， x=9,则AD=√15-9=12，所以△ABC的面 ∴.5秒时Q点运动路程为2.8×5=14（厘米）， 而DC十CB+BA=15厘米， 积=5C·AD=号×14X12=84 ∴.Q在AB边上，且BQ=4厘米，如图所示. 11,解：计划修筑的这条公路不会穿过公园.理由：过点 在△BPQ中，：BQ=4厘米，PQ=3厘米，BP= C作CE⊥AB,交AB于点E,如图所示. 5厘米， .BQ+PQ=BP2,∴.△BPQ为直角三角形， ∠BQP=90°，∴.∠AQP=180°-∠BQP=90°， ∴.△APQ为直角三角形 D 设AE为xkm,则EB=(1.4-x)km. 在Rt△ACE中，AC2-AE=CE, 在Rt△CEB中，BC2-BE=CE, 即1.3-x2=1.52-(1.4-x)2, 12