第17章 一元二次方程（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第17章 一元二次方程（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为：． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A 、，最高次数为，故A选项不符合题意； B、是二元一次方程，故B选项不符合题意； C、是一元二次方程，故C选项符合题意； D、不是整式方程，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将方程化为一般式，根据可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，则， 故选：B． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程定义．根据题意利用一元二次方程一般形式即可得到本题答案． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴二次项系数：5， 一次项系数：， 常数项：， 故选：A． 4．如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D． 5．已知关于x的方程 的一个根是2．则m的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程 的一个根是2， ∴把代入得，解得， 故选：C． 6．学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 7．在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．熟练掌握一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，是解题的关键．将方程转化为一般形式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8．如果将方程配方成的形式，则的值为（   ） A． B．10 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，先移项，再添项配方得到，求出，，再代入求出答案即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， ， 所以，， ∴． 故选：A． 9．等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（     ） A．7 B．10 C．8 D．10或8 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系；解方程求出两根，由等腰三角形的定义得、、或、、，由三角形的三边关系，即可求解；理解等腰三角形的定义，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解： 解得：，， 三角形是等腰三角形， 、、或、、， ， 此种情况不存在； 三角形的三边为：、、， 三角形的周长为：， 故选：B． 10．对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 先根据新定义得到，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 12．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 13．已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ． 【答案】没有实数根 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，一元二次方程根的判别式，不等式的性质等知识， 由三角形三边关系可得出，，然后代入根的判别式且利用不等式的性质可得出， 进而即可得出答案． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，, ∴，, 关于的方程， ， ∴关于的方程无实数根， 故答案为：没有实数根． 14．已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是： （只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，当时，找出．①当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将代入中，得出，由此得出②不正确；③将代入中，得出，由此得出③正确；④结合①可知当时，方程有一个实数根，从而得出④不正确，结合上面所述即可得出结论． 【详解】解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．运用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用公式法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 16．已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项． （1）根据一般式的定义，先利用多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项，合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得原方程的一般式为， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为1． 17．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 18．已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 根据方程解的定义得到，再将进行化简代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴ ． 19．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 20．已知关于x的一元二次方程（）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，求代数式的值等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）计算出一元二次方程的判别式，根据判别式的符号即可证明； （2）把方程的根2代入一元二次方程中，得到，即有，再整体代入代数式中即可求得值． 【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程为（） 则， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个根， ∴， 即， ∴ ． 21．年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售．经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件． (1)求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1)该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率 (2)当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元． 22．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 23．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A．5 B． C．4 D． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 5．已知关于x的方程 的一个根是2．则m的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 6．学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在对一元二次方程计算时，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如果将方程配方成的形式，则的值为（   ） A． B．10 C．5 D．9 9．等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是（     ） A．7 B．10 C．8 D．10或8 10．对于任意个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 12．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 13．已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ． 14．已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是： （只填序号） 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．运用适当的方法解方程 (1)； (2)． 16．已知一元二次方程． (1)将方程化成一般形式； (2)写出二次项系数、一次项系数和常数项． 17．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 18．已知m是方程的根，求代数式的值． 19．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 20．已知关于x的一元二次方程（）． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 21．年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售．经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件． (1)求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达元？ 22．阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 23．阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) / 学科网（北京）股份有限公司 $$