第9章 方式（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第9章 分式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式即可判断． 【详解】A. ，分母，分子与分母没有公因式，不能再约分，所以它是最简分式，故本选项符合题意； B. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； C. ，不是最简分式，故本选项不符合题意； D. ，不是最简分式，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．若分式的值为零，则x等于（    ） A． B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0得出即可 【详解】解：∵分式的值为零， ∴ 解得， 故选：A 3．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行计算． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 5．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式中的，的值都扩大为原来的3倍， ∴， ∴缩小为原来的， 故选：B． 6．下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项不成立，不符合题意； B、，原选项不成立，不符合题意； C、，原选项成立，符合题意； D、，原选项不成立，不符合题意； 故选C． 7．对于，则分式的值在（   ） A．与0之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值．当时，，即可判断． 【详解】解：当时，， ∴， ∴分式的值在0与1之间， 故选：B． 8．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 9．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况分别求解即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 当时，整式方程无解； 当时，， 分式方程无解， 是方程的增根， ， 解得：； 综上所述，k的值为2或． 故选：A． 10．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．当 时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：． 故答案为： ． 12．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】先化分式方程为整式方程，把分母为零的x值代入整式方程，计算即可． 本题考查的是含参数分式方程有增根的问题，掌握分式的增根的意义是解题的关键． 【详解】解：将方程去分母得到： ， 整理，得， ∵分式有增根， ∴ 解得， 当时，， 解得； 故答案为：1． 13．已知，其中为常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】19.5 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．由题意可得：，则可得：，然后组合式子即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ，，…，， ∵x为正数， ∴原式 ． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．化简： (1) ； (2)  ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）先对原式中各项进行因式分解，再将除法转化为乘法约分即可； （2）先将通分为，再展开式子化简即可 【详解】（1）解： （2）解： 16．先化简，再求值．，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，结合因式分解化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17．如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得，据此根据分式的除法计算法则计算出该等式右边的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是______； A．不等式的基本性质  B．等式的基本性质  C．分式的基本性质 (2)老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． 【答案】(1)B (2)一，，正确求解过程见解析 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握分式的性质，解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的性质判定即可； （2）根据材料提示的解分式方程的方法判定，再根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的基本性质， 故选：B； （2）解：根据去分母的方法可得，从第一步开始出错，正确的解法如下， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为． 19．某商店用20000元购进、两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买种品牌茶叶与购种品牌茶叶的费用相同、且种品牌茶叶单价是种品牌茶叶单价的2倍． (1)求、两种品牌的茶叶叶单价； (2)若计划用35000元的资金再次购进、两种品牌茶叶共200千克，且、两种品牌的单价不变，求、两种品牌茶叶各购进多少千克． 【答案】(1)A种品牌茶叶的单价为200元/千克，B种品牌茶叶的单价为100元/千克 (2)购进A种品牌茶叶150千克，则购进B种品牌茶叶50千克 【分析】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解题目数量关系，正确列方程是解题的关键． （1）设种品牌茶叶的单价为元／千克，则种品牌茶叶单价为元／千克，由此列分式方程求解即可； （2）设购进种品牌茶叶千克，则购进种品牌茶叶千克，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：设种品牌茶叶的单价为元／千克，则种品牌茶叶单价为元／千克，根据题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：种品牌茶叶的单价为200元／千克，种品牌茶叶的单价为100元／千克． （2）设购进种品牌茶叶千克，则购进种品牌茶叶千克， 依题意，得：， 解得：， ． 答：购进种品牌茶叶150千克，则购进种品牌茶叶50千克． 20．若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个隐含条件是解题的关键．将看作已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围． 【详解】解： 解得： 分式方程的解为非负数，且 解得且 故答案为：且 21．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米 (2)该公司原计划最多应安排10名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间，列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过36万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，48米； （2）解：设该公司原计划应安排名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为10， 则该公司原计划最多应安排10名工人施工． 22．【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 23．用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：_______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据完全平方公式进行计算即可求解； （）根据（）的方法进行计算即可求解； （）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 分式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为零，则x等于（    ） A． B．2 C．3 D．0 3．计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 5．如果把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的9倍 D．保持不变 6．下列式子从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．对于，则分式的值在（   ） A．与0之间 B．0与1之间 C．1与2之间 D．2与3之间 8．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 9．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 10．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．当 时，分式无意义． 12．若关于x的方程有增根，则a的值为 ． 13．已知，其中为常数，则 ． 14．对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。15．化简： (1) ； (2)  ． 16．先化简，再求值．，其中． 17．如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了， 化简：的结果为________． 若被污染的部分是一个关于的一次两项式，将其记为，且该题化简的结果为，求整式． 18．以下是小明同学解分式方程． 解：……第一步 解得……第二步 检验：当时，……第三步 所以，原分式方程的解为……第四步 (1)以上解题过程中，第一步变形的依据是______； A．不等式的基本性质  B．等式的基本性质  C．分式的基本性质 (2)老师批改后说答案错了，请问是从第_____步开始出现错误，请写出该方程的正确求解过程． 19．某商店用20000元购进、两种品品牌的茶叶共150千克，已知购买种品牌茶叶与购种品牌茶叶的费用相同、且种品牌茶叶单价是种品牌茶叶单价的2倍． (1)求、两种品牌的茶叶叶单价； (2)若计划用35000元的资金再次购进、两种品牌茶叶共200千克，且、两种品牌的单价不变，求、两种品牌茶叶各购进多少千克． 20．若关于的分式方程的解是非负数，求的取值范围． 21．某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为4800米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前20天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过36万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 22．【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 23．用数学的眼光观察： 等式：． 若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：_______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$