第8章 整式乘法与因式分解（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第8章 整式乘法与因式分解（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 2．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，分别表示两个图形中阴影部分的面积即可得出答案． 【详解】解：第1个图中阴影部分的面积为：， 第2个图中阴影部分的面积为， 因此有， 故选：D． 3．若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解决问题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，再根据整式的值相等确定的值,最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： C． 4．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据合并同类项、负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、当时，，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 6．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息． 【详解】解：∵ ， 分别对应4个汉字：爱，我，数，学． 则呈现的密码信息可能是：我爱数学． 故选：A． 7．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，代数式求值等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键．将式子配方成，根据平方的非负性可得可得x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 8．若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 9．已知，，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法的逆用，逆用幂的乘方、同底数幂的乘法公式，将变形为，整体代入求解即可，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 10．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的变形计算是解题的关键． 根据完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵是个完全平方式， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：或 ． 12．如图，阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，多项式乘以单项式，根据题意可知，阴影部分面积可以分为四个长方形面积，根据长方形面积公式分别表示出四个长方形的面积，再求和即可得到答案． 【详解】解： ， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 13．用小数表示的结果是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示的数还原成原数，时，是几，小数点就向后移几位．时，是几，小数点就向前移几位．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数．若科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把的小数点向左移动位得到原数． 【详解】解： 故答案为：． 14．已知，，．求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握其运算法则，整式的化简，将式子变形得是解题的关键． 根据整式的混合运算，整式的化简等方法，将式子变形得即可求解． 【详解】解：已知，，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解； （2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．化简求值：当，时，代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，化简求值，先计算多项式的乘法，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 17．（1）已知整式和，请用“+”或“”将它们连接起来，并进行计算； ①列式：___________； ②计算． （2）计算：． 小雨的解答如下： 解：原式……第一步 ……………………第二步 …………………………第三步 小雨的解答过程从第___________步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）①或或；②或或；（2）第一步，见解析 【分析】本题考查了负整数指数幂、实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）分为或或分别计算即可． （2）先计算负整数指数幂、乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：（1）①列式：． ②解： ． 或①列式： ②解： ． 或①列式： ②解： ． （2）小雨的解答过程从第一步开始出错． 解：原式 ． 18．计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 19．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)；；；；； (2)另一个因式为，的值为 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键． （1）设另一个因式是，则，再建立方程组解题即可； （2）设另一个因式是，利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、p的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得：， 则 ． 解得：，． 另一个因式为，的值为20， 故答案为：；；；；；； （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得， ∴另一个因式是，的值为． 20．我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式，代数式求值，在理数的运算，熟练掌握完全平方式是解题的关键． （1）根据规定直接计算求值； （2）先利用新定义计算，之后配方成完全平方公式，即可得到答案； （3）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出． 【详解】（1）解：； （2）解：， 是完全平方式， ； （3）解： ， ， ， ， ． 21．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 22．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查分解因式的应用，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用十字相乘法因式分解得出，再将A还原即可； （2）设，则原式，再利用完全平方公式变形，将B还原即可； （3）先计算，同理（2）计算即可． 【详解】（1）解：设， 原式， ． （2）解：设， 原式 ， ； （3）证明：原式 设， 原式， ．     为正整数， 为正整数． 代数的值一定是某个整数的平方． 23．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． 【答案】任务一：，，，；任务二：，；任务三： 【分析】此题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． （1）直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； （2）画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】任务1： 任务2：由图可知： 任务3：由任务2可知：， 又∵， ∴，， 又∵m，p，q均为整数，， ∴或，或， 综上所述：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 整式乘法与因式分解（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列等式中，从左到右的变化是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 4．下列运算正确的是（      ） A． B． C． D． 5．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 6．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 7．若，则（　　） A． B．3 C．1 D．4 8．若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．已知，，那么（  ） A． B． C． D． 10．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．如果是个完全平方式，那么的值是 ． 12．如图，阴影部分的面积为 ． 13．用小数表示的结果是 ． 14．已知，，．求的值为 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。15．计算： (1)； (2)． 16．化简求值：当，时，代数式的值． 17．（1）已知整式和，请用“+”或“”将它们连接起来，并进行计算； ①列式：___________； ②计算． （2）计算：． 小雨的解答如下： 解：原式……第一步 ……………………第二步 …………………………第三步 小雨的解答过程从第___________步开始出错，请写出正确的解答过程． 18．计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 19．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ． 解得：， ∴另一个因式为，的值为， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为________，得：=________， 则 ． 解得：=________，=________． 另一个因式为________，的值为________． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 20．我们规定：．例如：． (1)求的值． (2)若是一个完全平方式，则______． (3)若，且，求的值． 21．若的积中不含与项． (1)求，的值； (2)求代数式的值． 22．【阅读材料】 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)证明：若为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 23．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到： 再利用单项式与多项式相乘的法则，得： 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： 【任务2】 由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释 【任务3】如果其中m，p，q均为整数，求m的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$