第02讲 常用三角公式（2大知识点+9种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第02讲 常用三角公式 课程标准 学习目标 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 3.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 4.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(难点、易错点) 知识点01和角与差角公式 ； 。 【即学即练1】（20-21高一下·上海·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02倍角公式 ；； 【即学即练2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 题型一：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦和正切 1.（21-22高一下·上海嘉定·期末）若，，则 ． 2.（22-23高一下·上海静安·期中）若，，则 . 3.（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 4.（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型二：用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 1.（20-21高一下·上海长宁·期中）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2.（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 3.（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 4.（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 题型三：用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知，有以下两个结论：①存在在第一象限，在第二象限；②存在在第一象限，在第四象限；则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①错②对 D．①对②错 2.（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 4.（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，且，求的值， 题型四：用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 1.（20-21高一下·上海普陀·期中）和是关于的方程的两根，则、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 3.（22-23高一下·上海·期中）已知，且，则 ． 4.（22-23高一下·上海长宁·期末）已知锐角、满足，，求的值． 题型五：二倍角的正弦、余弦和正切公式 1.（21-22高一下·上海闵行·期末）设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高一上·上海浦东新·期末）对于任意，下列等式不能恒成立的（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 4.（21-22高一下·上海虹口·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 题型六：辅助角公式 1.（21-22高一上·上海宝山·期末）设，则的一个可能值是（    ） A． B．1 C． D． 2.（21-22高一下·上海虹口·期中）若可化为，则角的一个值可以为 ． 3.（21-22高一下·上海闵行·期中）若可化为，则 . 4.（20-21高一下·上海徐汇·期中）若，则 . 题型七：三角恒等变换的化简问题 1.（20-21高一下·上海浦东新·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·上海·期中）函数的最大值是 ． 3.（21-22高一下·上海杨浦·期末）. (1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数在区间上的值域. 4.（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 题型八：无条件的恒等式证明 1.（24-25高一上·上海奉贤·期末）四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    2.（22-23高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 3.（20-21高一下·上海松江·期末）（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值． （2）证明恒等式：． 4.（20-21高一下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P． （1）如果，，求的值； （2）求证：线段能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型九：三角变换的应用 1.（20-21高一下·上海普陀·期末）在中，，若，，，且，，则（     ） A． B． C． D． 2.（22-23高一上·上海宝山·期末）已知. (1)求：的值； (2)求的值. 3.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最小值及取到最小值时的值. 4.（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）. (1)写出点的坐标； (2)若原点为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（    ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 3．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期末）把化成的形式： . 6．（23-24高一下·上海·期中）将化成（其中，）的形式为 . 7．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 8．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 10．（21-22高一上·上海浦东新·期末）在中，，，则 . 11．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知，均为锐角，，则＝ ． 12．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 13．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 14．（23-24高一上·海南海口·期末）已知，，则 ． 15．（20-21高一下·江苏淮安·阶段练习）第24届国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则 . 16．（20-21高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值 18．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 19．（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 20．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 21．（23-24高一上·上海·期末）平面直角坐标系 中，单位圆与 轴正半轴交于点 ，角 的终边与单位圆的交点 位于第二象限. (1)若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形 的面积； (2)角的终边绕点逆时针旋转 后恰与角的终边重合，若，求 的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 常用三角公式 课程标准 学习目标 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公式．体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点) 2．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点) 3.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明． 4.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(难点、易错点) 知识点01和角与差角公式 ； 。 【即学即练1】（20-21高一下·上海·期中）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简各选项，可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项， ，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项， ， D选项正确. 故选：D. 知识点02倍角公式 ；； 【即学即练2】（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 题型一：已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、正弦和正切 1.（21-22高一下·上海嘉定·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】由两角差的正切公式计算． 【详解】由已知． 故答案为：． 2.（22-23高一下·上海静安·期中）若，，则 . 【答案】 【分析】由平方和关系，两角和的余弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以. 所以. 故答案为：. 3.（22-23高一下·上海静安·期末）已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，， 由题意，以为终边的角为， 且， ， 且， 则点的横坐标为，纵坐标为. 即点的坐标为. 故答案为： 4.（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，再根据正切的和角公式求解即可； （2）根据诱导公式，结合齐次式求解即可. 【详解】（1）解：由知， 所以， （2）解：由知； 所以 题型二：用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 1.（20-21高一下·上海长宁·期中）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】，， ，， 即，所以，或， 两种情况都说明一定是钝角三角形. 故选：B 2.（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 3.（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为， ， 所以，， 所以. 故答案为： 4.（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 题型三：用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 1.（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知，有以下两个结论：①存在在第一象限，在第二象限；②存在在第一象限，在第四象限；则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①错②对 D．①对②错 【答案】C 【分析】结合两角和的正弦公式、特殊值来确定正确选项. 【详解】①，在第一象限，在第二象限， ， 所以，①错误. ②，当时，成立，②正确. 故选：C 2.（21-22高一下·吉林长春·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和两角和差余弦公式可化简已知原式为，由此可得结果. 【详解】原式. 故选：B. 3.（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用同角公式及和角的正弦公式计算即可. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 4.（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，且，求的值， 【答案】 【分析】先利用三角函数的平方关系求得与，再利用正弦函数的和差公式即可得解， 【详解】因为且，所以， 因为且，所以， 所以 题型四：用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 1.（20-21高一下·上海普陀·期中）和是关于的方程的两根，则、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用韦达定理将表示出来，再由两角差的正切公式对其进行化简，可得出结论． 【详解】因为和是关于的方程的两根， 所以， ， 所以， 即， 故选：D． 2.（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【详解】， 故答案为：-1 3.（22-23高一下·上海·期中）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由两角和的正切公式计算. 【详解】，且， 则. 故答案为： 4.（22-23高一下·上海长宁·期末）已知锐角、满足，，求的值． 【答案】 【分析】根据已知，利用和角的正切公式计算求解. 【详解】因为，， 所以， 又锐角、，所以， 所以. 题型五：二倍角的正弦、余弦和正切公式 1.（21-22高一下·上海闵行·期末）设，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公示化简，再由确定的范围来确定符号即可. 【详解】因为，， 由，得，所以， 由，得，所以. 故选：B 2.（21-22高一上·上海浦东新·期末）对于任意，下列等式不能恒成立的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角的正余弦公式可判断AB，由切化弦的方法可判断C，取特殊值可判断D. 【详解】由二倍角的正弦公式可知A正确； 由可得，由二倍角的余弦公式可知B正确； 当时，由可知C正确； 当取时，左边，右边=，故D不正确. 故选：D 3.（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 4.（21-22高一下·上海虹口·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)将题干中式子化简，并结合同角三角函数的基本关系即可得到结果； (2)利用二倍角公式将所求式子化简成，然后利用（1）的结论即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以， 所以，所以； （2） 题型六：辅助角公式 1.（21-22高一上·上海宝山·期末）设，则的一个可能值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数值域的求法确定正确答案. 【详解】因为，所以， 由于， 所以， 所以A选项符合，BCD选项不符合. 故选：A. 2.（21-22高一下·上海虹口·期中）若可化为，则角的一个值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式即可化简得，进而可得,即可求解. 【详解】， 所以，则角的一个值可以为． 故答案为： 3.（21-22高一下·上海闵行·期中）若可化为，则 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】， 令，因为， 所以由，即 ， 故答案为： 4.（20-21高一下·上海徐汇·期中）若，则 . 【答案】 【分析】结合辅助角公式及诱导公式，找出已知角与所求角的关系进行化简即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 则， 故答案为：． 题型七：三角恒等变换的化简问题 1.（20-21高一下·上海浦东新·期中）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的范围可求，，，利用倍角公式即可化简． 【详解】解：，，， 所以，，， ， ． 故选：A． 2.（20-21高一下·上海·期中）函数的最大值是 ． 【答案】4 【分析】首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最大值． 【详解】解：函数， 当，即时，． 故答案为：4． 3.（21-22高一下·上海杨浦·期末）. (1)将函数化为的形式，并写出其最小正周期； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)，最小正周期 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，并求得最小正周期. （2）根据三角函数值域的求法，求得函数在区间上的值域. 【详解】（1） . 所以的最小正周期. （2）由于， 所以， 所以在区间上的值域为 4.（21-22高一下·上海闵行·期中）已知函数 ， 若存在实数 ， 使得对于定义域内的任意实数 ，均有 成立， 则称函数 为 “可平衡” 函数， 有序数对 称为函数 的 “平衡” 数对; (1)若 ， 求函数 的 “平衡” 数对; (2)若 ， 判断 是否为 “可平衡” 函数， 并说明理由; (3)若 ， 且 均为函数 的 “平衡” 数对， 求 的取值范围. 【答案】(1)； (2)是“可平衡” 函数，理由见解析； (3). 【分析】(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可； (2) 时,判断是否存在使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可； (3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可. 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数. （3）,所以, ,所以, 由于,所以,, , 由于,所以时,, , 所以, 即. 【点睛】关键点点睛：利用新定义，根据新定义列出满足的恒等关系，根据等式恒成立求出参数满足关系，即可解决问题. 题型八：无条件的恒等式证明 1.（24-25高一上·上海奉贤·期末）四个直角三角形可以多种拼接方式．如图就是一种拼接方式：其中直角三角形①和直角三角形③全等，直角三角形②和直角三角形④全等，其中直角三角形的斜边长为1个单位长度，根据图所提供的信息，请写出一个关于角和角组合在一起的一个数学公式 ．    【答案】 【分析】作出辅助线，表达出各边长，求出菱形的面积，，，两种方法表示矩形的面积，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意可知，四边形为矩形，四边形为菱形， 过点作⊥于点，故， 因为，所以， 故菱形的面积为， 在Rt中，，，， 故，，， 在Rt中，，，， 故，，， 又，， 故矩形的面积为 ， 又矩形的面积为 ， 故 ， 故.    故答案为： 2.（22-23高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 3.（20-21高一下·上海松江·期末）（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值． （2）证明恒等式：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据角终边上的点坐标求、，进而求即可； （2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切关系，即可证恒等式. 【详解】（1）当时，点到原点的距离为， 由三角比的定义得：，， ∴； （2）证明： 4.（20-21高一下·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于A、B两点，角的终边与单位圆交丁C点，过点A、B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N、P． （1）如果，，求的值； （2）求证：线段能构成一个三角形； （3）探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，. 【分析】（1）运用同角的平方关系和任意角的三角函数的定义，结合两角差的余弦公式，计算即可得到所求； （2）要证明，，能构成一个三角形，只需证明两边之和大于第三边即可； （3）设线段，，构成的三角形为△，利用余弦定理求出，从而求出，再利用正弦定理求出三角形的外接圆的半径，即可判断． 【详解】解：（1）由题意得，由于均为锐角， 所以，， ∴． （2）证明：， 而， 所以， ， 所以， 同理，所以线段能构成一个三角形． （3）三角形的外接圆的面积是定值，证明如下： 设（2）中的三角形为中，角，所对的边长为 由余弦定理可得， ， ∵，∴，∴， 设外接圆的半径为R，则由正弦定理可得，∴， ∴外接圆的面积． 题型九：三角变换的应用 1.（20-21高一下·上海普陀·期末）在中，，若，，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，运用二倍角公式，可得，再将条件，做恒等变换，可得，，再结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】， ，，即， 为三角形内角， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故选项正确，选项错误， ，故选项错误， 又， ，故选项错误． 故选：． 2.（22-23高一上·上海宝山·期末）已知. (1)求：的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式可得结果. （2）由差角公式、完全平方公式可得结果. 【详解】（1） ∴的值为. （2）∵ ∴ 又∵ ∴ 3.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最小值及取到最小值时的值. 【答案】(1) (2)时， 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简函数，从而求得函数的最小正周期. （2）根据三角函数最值的求法求得正确答案. 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期； （2） 当，即时， 4.（23-24高一下·上海·期末）平面直角坐标系内有一圆心位于原点的圆，半径为，已知点分别是角的终边与该圆的交点（始边均为轴正半轴）. (1)写出点的坐标； (2)若原点为的重心，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解； （2）先证明一个引理：若，则，回到原题，连结、、，结合重心的特征，及三角恒等变换即可得出结论. 【详解】（1）根据三角函数的定义可得； （2）先证明一个引理：若，则， 因为，所以， 所以， 所以， 回到原题，连结、、， 则 ， 由三角形的重心为原点得，即， 所以两式平方相加可得，所以，同理， 所以， 故三角形面积为定值． 【点睛】关键点点睛：证明一个引理：若，则，是解决本题的关键. 一、单选题 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（    ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 【答案】A 【分析】根据二倍角公式以及余弦的和差角公式即可化简求解. 【详解】由于， ， 所以的值，则关于和的值唯一. 故选：A. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 【答案】B 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 3．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误. 【详解】在中，因为，所以， 所以， 因为，所以， 对于B，因为，所以，即， 将上式两边同时除以， 得 所以，B正确； 由可知，令，此时， 则，，； 令，此时， 则，，. 对于A，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，A错误； 对于C，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，C错误； 对于D，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，D错误. 故选：B 4．（23-24高一下·上海·期末）假设实数满足，，，则的取值（   ） A．是唯一确定的 B．不唯一，但有限多 C．有无穷多 D．不存在符合题意的 【答案】B 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【详解】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故选：B. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期末）把化成的形式： . 【答案】 【分析】根据辅助角公式先将原式提取2，再利用两角和角的正弦公式化简即可． 【详解】. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）将化成（其中，）的形式为 . 【答案】 【分析】逆用两角差的正弦公式即可得解. 【详解】 . 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 8．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知角a满足，则的值为 【答案】1或 【分析】利用倍角公式可得，分和两种情况，结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 若，符合题意，此时； 若，则，； 综上所述：或. 故答案为：1或. 9．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 10．（21-22高一上·上海浦东新·期末）在中，，，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、两角和的正弦公式求解. 【详解】中，， 是钝角，故为锐角 ， . 故答案为： 11．（21-22高一下·四川眉山·期末）已知，均为锐角，，则＝ ． 【答案】 【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值． 【详解】，都是锐角， ， 又，， 所以，， 则 ． 故答案为：. 12．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 【答案】 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解. 【详解】由题意，， ， 故答案为： 13．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 【答案】 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 14．（23-24高一上·海南海口·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可 【详解】由题意可知 ， 即， 由题意可知， 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：三角恒等变换化简求值问题需要注意已知角与未知角的关系，利用合理的配凑即可处理.本题已知及与的关系，所以构造，利用整体思想凑出未知式计算即可. 15．（20-21高一下·江苏淮安·阶段练习）第24届国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的.如图，会标是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，设直角三角形中较大的锐角为，则 . 【答案】 【分析】设直角三角形的边长为，，，．解出的值，再利用两角差的正切公式，即可得出． 【详解】设直角三角形的边长为，， 则，，解得，故四个小直角三角的三边分别为6、8、10． ，，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．易错点在于“设直角三角形中较大的锐角为”，常见的题目都是较小角． 16．（20-21高一下·上海徐汇·期中）如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角 来截. 【答案】或 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得的，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的边长为， 由题意可得，即，可得， 因为，则，所以，或，解得或. 故答案为：或. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·期末）已知 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由两角差的正切公式即可计算求解； （2）由倍角公式和两角和的余弦公式结合商数关系即可计算求解. 【详解】（1）； （2） . 18．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【详解】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 19．（24-25高一上·上海·期末）已知角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的终边过点求出角的三个三角函数值，代入求解即可； （2）由两角差的余弦公式和两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为角的终边过点，所以到原点的距离， 则，，， 所以； （2） . 20．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值； （2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值. 【详解】（1）已知，，且及都是锐角， 所以，， 所以 又，所以，故； （2）因为与是方程的两个根 所以 在中，， 所以. 21．（23-24高一上·上海·期末）平面直角坐标系 中，单位圆与 轴正半轴交于点 ，角 的终边与单位圆的交点 位于第二象限. (1)若弧的长为，写出的坐标，并计算扇形 的面积； (2)角的终边绕点逆时针旋转 后恰与角的终边重合，若，求 的值. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用弧长公式求出角，联立求坐标，再用扇形面积公式计算即可. （2）依据角的旋转关系结合两角正切的和差公式求解即可. 【详解】（1）的长为，，解得， 若点位于第二象限，且在单位圆上，设，扇形的面积为， 故有，，故， 结合扇形面积公式得， （2）易知角的终边绕点逆时针旋转后恰与角的终边重合， 故，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$