精品解析：安徽省亳州市涡阳县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

涡阳县2024—2025年度第一学期义务教育教学质量检测 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列2024年巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. 当时， B. 过山车距水平地面的最高高度为98米 C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 5. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 6. 如图，， ，， 则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 7. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C D. 8. 如图，在中，，，过点A作的垂线交于D，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 10. 如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. 或14 D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用（元）与人数（人）之间的函数关系式________． 12. 如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是__________． 13. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 14. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1）________； （2）当取最小值时，的周长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点Q的坐标是，轴； （2）点P在第一、三象限的角平分线上． 16. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点坐标：_____； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为______． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在中，是边上高，，平分交于点，，求的度数． 18. 如图，在和中，点D在边上，下面有四个条件：①，②，③，④． （1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知： ，求证： ； （2）请对你写出的命题进行证明． 五、（本题10分） 19. 如图，在中，，，点在边上，，点，在线段上，． （1）求证：； （2）若面积为，的面积为，求的面积． 六、（本题10分） 20. 在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． （1）如图，若，，则__________； （2）如图，若，，求的度数． 七、（本题12分） 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 八、（本题12分） 22. 一次函数恒过定点． （1）若一次函数还经过点，求的表达式； （2）若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求值． 九、（本题14分） 23. 【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涡阳县2024—2025年度第一学期义务教育教学质量检测 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为，，所以点在第四象限． 【详解】解：，， 点在第四象限． 故选：D． 【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中已知点坐标确定点的位置，比较简单．牢记四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2. 下列2024年巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可； 本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 【详解】A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. 当时， B. 过山车距水平地面的最高高度为98米 C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意； B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意； C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 5. 两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A. 的平分线上 B. 边的高上 C. 边的垂直平分线上 D. 边的中线上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．作射线，根据角平分线的判定定理得到平分，得到答案． 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选A． 6. 如图，， ，， 则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，本题应将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影面积，   故选：A ． 7. 一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经 经过第二、四象限，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、三象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第一、三象限，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，符合题意； 故选：D 8. 如图，在中，，，过点A作的垂线交于D，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意可知，，则，，则，计算求解，进而可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 故选：B． 9. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（ ） A 或 B. C. 或14 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当时，列方程解得，可得；情况二：当时，列方程解得，可得． 【详解】解：∵点运动的速度之比为， ∴设，则， ∵与全等， 可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， ∴， 解得：， ； 情况二：当时， ∵， ， 解得：， ； 综上所述，或， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用（元）与人数（人）之间的函数关系式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系，根据25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元，列出函数关系，即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 12. 如图，已知函数与函数的图象相交于，则不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解题的关键．利用函数图象写出直线不在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解∶结合图象得， 当时， 直线不在直线上方， ∴不等式的解集是， 故答案为∶ ． 13. 如图，分别是的垂直平分线，垂足分别为，且，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线性质，全等三角形判定和性质等．根据题意连接，利用垂直平分线性质得，再证明，继而得到后计算即可． 【详解】解：连接， ， ∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：． 14. 如图，中，，，，D是线段上一个动点，以为边在外作等边．若F是的中点，连接， （1）________； （2）当取最小值时，的周长为________． 【答案】 ①. 60 ②. 18 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． （1）利用等边三线合一性质即可解答； （2）利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，由（1）中结论可得恒成立，则当取最小值时有，可得出的长，设等边的边长为，则，利用勾股定理建立方程求出的值即可解答． 【详解】解：（1）等边，F是的中点， ，平分， ， ． 故答案为：60． （2）在中，， ， ， 由（1）得，恒成立， 又当取最小值， ，即， ， ， 等边，F是的中点， ，， 设等边的边长为，则， 在中，， ， 解得：， ， 周长为． 故答案为：18． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点Q的坐标是，轴； （2）点P在第一、三象限的角平分线上． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟知平行于y轴的直线上及第一、三象限角平分线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【小问1详解】 解：因为点，点Q坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为． 【小问2详解】 因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为． 16. 如图，的顶点，，．若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点C的对应点坐标是． （1）画出，并直接写出点的坐标：_____； （2）若内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，掌握“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”是解题关键． （1）根据平移的性质作图并写出坐标即可； （2）根据平移的坐标特征求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作，， 【小问2详解】 解：向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且内有一点经过以上平移后的对应点为， ， 故答案为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高与角平分线，三角形内角和与外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴的度数为 18. 如图，在和中，点D在边上，下面有四个条件：①，②，③，④． （1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知： ，求证： ； （2）请对你写出的命题进行证明． 【答案】（1）①②③，④ （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定，平行线的性质，选择三个作为题设，一个条件作为结论，并判断命题的真假即可求解； （2）根据三角形全等的判定对（1）中的命题进行证明． 【小问1详解】 解：根据题意可得由①，②，③作为题设，④作为结论可以组成一个真命题； 故答案为：①②③，④； 【小问2详解】 已知：，，， 求证：． 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了命题的结构，判断真假命题，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 五、（本题10分） 19. 如图，在中，，，点在边上，，点，在线段上，． （1）求证：； （2）若的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的面积求法，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，，三角形外角的性质，，推出，，利用证明，即可得出； （2）由（1）得，得出，由的面积为，的面积为，，得出，，进一步根据计算得出答案即可． 【小问1详解】 证明：∵，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵的面积为，， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴． 六、（本题10分） 20. 在中，，点在边上，连接，将沿翻折使得点落在边上得，连接． （1）如图，若，，则__________； （2）如图，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由折叠的性质得，即得，再根据角的和差关系即可求解； （）根据可得，根据折叠的性质可得，，根据可得，通 过三角形内角和定理、三角形外角的性质、等量代换可求出，依次求出即可． 【小问1详解】 解：∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等，掌握折叠的性质是解题的关键． 七、（本题12分） 21. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 【答案】（1）见解析 （2）一次， （3）下午 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数． 故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． 【小问3详解】 解：当时，得， 解得， 上午经过12.5小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 八、（本题12分） 22. 一次函数恒过定点． （1）若一次函数还经过点，求的表达式； （2）若有另一个一次函数， ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值6，求的值． 【答案】（1） （2）①见解析；②1或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）①把点代入可得，从而得到，即可求解；②先求出，然后分两种情况，结合一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入得： ， 解得：， ∴的表达式为； 【小问2详解】 解：①把点代入得： ，即， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②根据题意得：， ∵当时，函数有最大值6， 若，随的增大而增大， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 若，y随x的增大而减小， 此时当时，函数有最大值6， 即，解得：； 综上所述，a的值为1或． 九、（本题14分） 23. 【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【解析】 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$