精品解析：广东省湛江市廉江市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试卷 分值：120分 时间：120分钟 页数：共6页 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕对称中心旋转180度后与自身重合．据此即可判断． 【详解】解：选项A、B、D都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 选项C不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 2. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、代数式求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题关键．根据根与系数的关系可得，，将变形为，再前面括号中的用替换得，最后将，的值代入计算即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ． 故选：C． 3. 如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据等边三角形的性质、圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解∶是等边三角形， ， 是的平分线， ， ， 四边形内接于， ， ， 故选∶C． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理，解题关键是推出等腰三角形．旋转得，，根据等边对等角，得出等腰三角形，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：绕点A按逆时针方向旋转得到 ，， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 抛物线与y轴交点的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，找到函数的开口方向、对称轴、与轴交点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：中， ∵， ∴抛物线开口向上，故选项A说法错误，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线，故选项B说法错误，不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C说法正确，符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交点的坐标是，故选项D说法错误，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 9. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中平均增长率问题，根据题意，把增长率记作x，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，列出方程即可． 【详解】解：设增长率为x，方程可以列为， 故选D． 10. 如图所示，，，，．将折线绕点顺时针旋转得出新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点从原点出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为．当时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化，勾股定理，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，把点从运动到作为一个循环，寻找规律解决问题即可． 【详解】解：由勾股定理得：，， 点从运动到路程为， ， 把点从运动到作为一个循环， ， 把点向右平移个单位，可得时，点的坐标， ，，， 时，点的坐标为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】直接提取公因式求解即可． 【详解】解：， x（x-6）=0， 解得x1=0，x2=6， 故答案为：x1=0，x2=6． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键． 12. 将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点的坐标．此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线， ∴将点向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为， 故答案为：． 13. 若点与点关于原点对称，则的值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方等知识．熟练掌握关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方是解题的关键． 由题意知，，可求，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：9． 14. 如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形和旋转的性质，根据旋转的性质得出，，根据中点的定义可得，则．熟练掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得出，， ∵点C恰好成为的中点， ∴，则． 故答案为：． 15. 已知二次函数（a为常数），下列四个结论： ①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点； ②该二次函数图象经过定点； ③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上； ④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则． 其中正确的结论序号是_______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． 对于①，由得到，即可判断；对于②，化简得，可求定点；对于③，顶点为，若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解；对于④，得到，此时为该一元二次方程的两根，则，则，即可判断． 【详解】解：对于①，， 若，则， ∴ ∴该二次函数图象与x轴有两个交点， 故①正确； 对于②，， 即， 使得过定点，则与无关， 故， ∴， ∴过定点， 故②错误； 对于③，， ∴顶点为， 若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解， 故顶点始终不在y轴的正半轴上， 故③正确； 对于④，，该二次函数图象与直线交于点， 则得到， 此时为该一元二次方程的两根， 则， ∵， ∴， 故④错误， 故答案为：①③． 三、解答题 16. 如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）画出的外接圆圆心． （2）连结， ， 则的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了画三角形的外心，勾股定理与网格，求弧长； （1）作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求解； 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 17. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的解析式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与几何图形的问题， 对于（1），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（2），先求出点C的坐标，可知，再根据面积相等得出点P的纵坐标，然后解方程得出答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴ ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设（，）， 在中， 当时，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若,是方程的两个根, 则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个的实数根, 可知方程的判别式，据此列不等式即可求解； （2） 根据根与系数的关系得出，代入中即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； 【小问2详解】 ∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 19. 中国的数字支付正在引领未来世界的支付方式变革．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为　 　； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，将各种支付方式调查人数组成一组数据，求这组数据的“中位数”是“　 　”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求两人选同种支付方式的概率． 【答案】（1）100人，72°；（2）见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据中位数的定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）用支付宝、现金及其他的人数和为：20+25+10=55（人）， 用支付宝、现金及其他的人数所占百分比为：1-15％-30％=55％， ∴本次活动调查的总人数为55÷55%＝100人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝72°， 故答案为：100，72°； （2）银行卡人数为：100×15%＝15（人）， 微信人数为：100×30％=30（人）， 补全图形如下： 将各种支付方式调查人数组成一组数据，从小到大排列为：10，15，20，25，30， 则中位数为20； （3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图得： ， ∵由树状图知，共有9种等可能的结果，其中两人选用同一种支付方式的有3种， ∴P（两人选用同种支付方式）＝． 【点睛】本题是对统计和概率知识的考查，熟练掌握树状图和表格法求概率及统计知识是解决本题的关键． 20. 冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销。綦江区某商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足函数关系： . （1）商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2250元，该如何给这种保暖内衣定价？ （2）请问这种保暖内衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润多少？ 【答案】（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元 （2）售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元 【解析】 【分析】（1）根据“每件的利润×销售量=总利润”，列出相应的方程，然后求解即可，注意售价的取值范围； （2）根据“每件的利润×销售量=总利润”，写出月利润关于售价x的函数关系式，再根据二次函数的增减性质和售价的取值范围，即可得到利润的最大值． 本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用——利润问题．解答本题的关键是熟练掌握总利润与每件利润和数量的关系，列出相应的方程，相应的函数解析式，利用二次函数的增减性质求最值． 【小问1详解】 由题意可得， ， 解得，（不符题意，舍去）， 答：商场每月想从这种商品销售中获利2250元，此时这种商品的定价为75元； 【小问2详解】 设利润为w元， 由题意可得：， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵物价部门规定每件售价不得高于80元， ∴， ∴当时，w取得最大值，此时， 答：售价定为80元时可获得月最大利润，最大利润是2400元． 21. 如图，在等腰三角形中，，点在线段的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线与相交于点． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）若为中点，，则的长为 ． 【答案】（1）补图见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）利用旋转画出，连接即可； （2）根据题意得，，，可推出再证明，即可得出结论； （3）由勾股定理可求出的长，再判定，最后根据点F为中点，即可求出的长． 【小问1详解】 解：依题意补全图形如下： ； 【小问2详解】 用等式表示线段与的数量关系是：， 证明： 在等腰三角形中，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴． 小问3详解】 ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点F为中点， ∴． 22. 消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） （1）求出水口在D点时抛物线的解析式: （2）若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ （3）若火源中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 【答案】（1） （2）水能够射进窗户 （3）正好能击中火苗，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，理清题目中的数量关系并结合实际分析是解题的关键． （1）由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点，设顶点式，代入点即可； （2）经过平移后抛物线的解析式为，当时，则，即可比较； （3）由题意可得，抛物线的解析式为，，此时着火点的横坐标为40，当时，，因此可以击中火苗． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线顶点坐标为，且过点， 设解析式为，代入得：， 解得：. ∴解析式为：； 【小问2详解】 解：经过平移后抛物线的解析式为， 即为： 当时，， ∵， ∴水能够射进窗户； 【小问3详解】 由题意可得，抛物线的解析式为， 此时着火点的横坐标为40，当时，， 因此，正好能击中火苗． 23. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径，半径的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）连接，由题意可知，可知为直径，再由勾股定理即可求解； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则，由题意可知，，四边形为矩形，可得，，在中，，列出关于的方程求解即可； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，，得，可知四边形为矩形，由题意可知，，，，，则，，则，设，则，再由勾股定理得方程，求解即可； （4）结合图形，可知要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置，当与、均相切时，直径等于的长度，求得半径的最小值为，假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点，令与相切于点，与交于边界点，如图，由题意可知，，结合勾股定理，求得半径的最大值为． 【详解】解：（1）连接，由题意可知，，，， 则， ∴为直径， 由勾股定理可知：， ∴半径， 故答案为：； （2）连接圆心与切点，交于，连接，，则， 由题意可知，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 则，， 在中，，即， 解得：， 故答案为：； （3）如图，过点作于，延长交于，连接，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形，则，，， 由题意可知，，，， ∴，则， ∴，则， 设，则， 在中，， 在中，， 则，解得：， ∴； （4）如图，当圆的直径小于的长度时，此时没有任何读数，则无法测量并计算出圆的半径， 如图，当圆与和其中一边相交时，也相当于只测得一条弦的长度，也无法得到圆的半径， ∴若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），不一定可以通过测量并计算出该圆的半径， 要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点， 如图，当与、均相切时，直径等于的长度， 即：的半径的最小值为， 假设圆心在右侧，要的能测出圆的半径，至少要与相切，与有交点， 令与相切于点，与交于边界点，如图， 由题意可知，，类比（2）可知，，则， 由勾股定理可得：， ∴，整理得， ∴， 则的半径的最大值为； 综上，半径的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查垂径定理，圆的切线的性质，勾股定理等知识点，理解题意，明白要能够测出圆的半径，则圆与、都要有交点，找到临界位置是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量抽测 九年级数学试卷 分值：120分 时间：120分钟 页数：共6页 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 到2035年，我国的现代化建设将基本实现．2035四个数字中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 3. 如图，四边形内接于，连接，，已知是等边三角形，是的平分线，则（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 抛物线与y轴交点的坐标是 8. 如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C D. 10. 如图所示，，，，．将折线绕点顺时针旋转得出新的折线，再将新的折线绕点顺时针旋转……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点从原点出发，沿着折线以每秒1个单位的速度移动，设运动时间为．当时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 12. 将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点同时平移到，那么点的坐标为______． 13. 若点与点关于原点对称，则的值是________． 14. 如图，将绕着点逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点，如果，那么______． 15. 已知二次函数（a为常数），下列四个结论： ①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点； ②该二次函数图象经过定点； ③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上； ④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则． 其中正确的结论序号是_______． 三、解答题 16. 如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）画出的外接圆圆心． （2）连结， ， 则的长为 ． 17. 如图，二次函数图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的解析式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，线段交轴于点，，求点的坐标． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求取值范围； （2）若，满足，求的值． 19. 中国的数字支付正在引领未来世界的支付方式变革．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了　 　人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付扇形圆心角的度数为　 　； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，将各种支付方式调查人数组成一组数据，求这组数据的“中位数”是“　 　”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求两人选同种支付方式的概率． 20. 冬天来临，气候寒冷，市场上保暖产品热销。綦江区某商场提前谋划，从10月中旬开始销售一种每件进价为50元的保暖内衣，物价部门规定每件保暖内衣售价不得高于80元，商场销售部负责人通过对销售数据的分析，发现这种保暖内衣每月的销售量（件）与每件的售价（元）满足函数关系： . （1）商场每月想从这种保暖内衣销售中获利2250元，该如何给这种保暖内衣定价？ （2）请问这种保暖内衣售价定为多少元时可获得最大月利润？最大月利润是多少？ 21. 如图，在等腰三角形中，，点在线段的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线与相交于点． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明； （3）若为中点，，则的长为 ． 22. 消防汽车自从上世纪初问世以后，经过不断的发展完善，很快成了消防工作的主力军，也彻底改变了人类与火灾斗争的面貌，随着现代建筑水平的提高，高层建筑越来越多、越来越高，消防车也随之发生了变化，云梯消防车出现了，云梯消防车的水枪固定在云梯上，水枪可在云梯打开的过程中升高或平移，在一次消防演练中，模拟建筑物某楼层发生火灾，此时消防车停放在火灾楼正前方的点O处，O到的水平距离35 米，在不打开消防云梯的状态下，水枪出水口D距地面高度为4米，喷出水的路线近似为抛物线，水离出水口水平距离 20米时，水柱达到最大高度，此时离水平地面68米，如图1，以所在的直线为y轴，以所在的水平线为x轴建立直角坐标系，（注：若水枪出水口位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变） （1）求出水口在D点时抛物线的解析式: （2）若着火楼层的窗户的顶端C到地面B的高度为80米，窗户的底端E到地面B的高度为 76 米，打开云梯后，水枪的出水口到达点F，点F距离y轴10米，距离x轴19 米，如图2，问此时水能否射进着火窗户内？ （3）若火源的中心在距离窗口水平距离5米的地面上，调整水枪的位置，使水柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘C处射进窗户，问射进里的水能否正好击中地面火源的中心位置？请说明理由. 23. 图（1）是一把“U形”尺，图（2）是该尺内侧的示意图，已知边，边，，． 算一算 将该尺摆放在一些圆上，测量并计算圆的半径r． （1）如图（3），点A，B，C，D恰好都在圆上，则 ． （2）如图（4），该尺的边与圆相切于点P，且点P在该尺上的读数为，点D在圆上，则 ． （3）如图（5），该尺的边与圆有两个公共点P，Q，它们在该尺上的读数分别为，，边与圆也有两个公共点，其中一个公共点R在该尺上的读数为，求r的值． 想一想 （4）若将该尺摆放在一个圆上（尺子只摆放一次，圆的圆心未标注），一定可以通过测量并计算出该圆的半径r吗？如果可以，说明理由；如果不一定可以，请直接写出可计算出的r的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$