新疆乌鲁木齐市第四十一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年新疆乌鲁木齐四十一中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间三点，，，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(    ) A. B. 7 C. D. 2.已知正方体中，，O分别为上底面和下底面ABCD的中心，则下列与和共面的向量是(    ) A. B. C. D. 3.已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.已知直线与圆O：相切，则的最大值为(    ) A. 1 B. C. D. 5.由直线上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为    A. B. C. D. 6.已知圆M：与圆N：恰有三条公切线，则(    ) A. 15 B. 17 C. 21 D. 23 7.已知焦点在y轴上的椭圆C：的焦距为2，则其离心率为(    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，，当的周长最小时，的面积为(    ) A. B. 1 C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.如图，在棱长为1的正四面体中，O为底面ABC的重心，G，F分别为线段PO，PC上的点不含端点，D，E分别为PA，PB延长线上的点，，，，DF交AC于M，EF交BC于N，则(    ) A. 若，则平面PAB B. C. 若且平面DEF过点O，则的最小值为4 D. 若G为正四面体的外接球球心且，平面DEF过点G，则点F到平面PDE的距离为 10.若一个以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(    ) A. 直线与圆相切 B. 圆关于直线对称 C. 对，直线与圆都相交 D. 为圆上任意一点，则的最大值为9 11.已知点，，动点与P，Q两点连线的斜率分别为，且为常数，下列结论正确的有(    ) A. 若，则动点一定在椭圆上 B. 若，则动点一定在双曲线上，且双曲线的焦点在y轴 C. 若，则的取值范围是 D. 若，O为坐标原点，且直线上存在点A使得，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，，，且，，共面，则______ 13.设，若三个不同的点、、都在直线l上，则m的值为______. 14.将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点F的坐标为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 如图，已知等腰梯形ABCD，，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形EFNM的位置，点P为线段NC上一点，且满足 证明：平面EFM； 设二面角的平面角为，在四边形AEFD翻折过程中，是否存在，使得MF与平面EBP所成角的正弦值为，若存在，请说明理由. 16.本小题12分 在三棱柱中，已知底面正三角形边长为2，三棱柱的高为 建立适当的直角坐标系，标出所有点的坐标； 设中点为点E，BC中点为点F，求出、； 求出 17.本小题12分 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆. 若圆E：是集合的包络圆. 求a，b满足的关系式； 若，求t的取值范围； 若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由. 18.本小题12分 已知的周长为定值，、、，的最大值为 求动点C的轨迹E的方程； 为E的左顶点，过点且不与坐标轴垂直的直线与E交于M、N两点，线段MN的中点为P，记直线OP的斜率为k，的外心为，求的最大值. 19.本小题12分 椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，、分别为其左、右焦点，过P作直线l与切于P，则直线、与l的夹角大小相等. 求证：l的方程为：； 如图2：在的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，P不与、的交点重合，l与交于A、B两点，过A、B分别作的切线交于 求证：ⅰ ⅱ 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：，，， ，， ， ， 设与的夹角为， 则， 又，， 即与的夹角为，即， 的面积 故选： 根据点的坐标，可计算与及的大小，根据三角形面积公式即可求得的面积． 本题考查三角形面积的求法，考查向量的模及夹角公式，属基础题． 2.【答案】A  【解析】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为2， 则，，，， ，，，， 所以，， 设和共面的平面的法向量为， 则有，令，则， 对于A，，则， 所以与和共面，故A正确； 对于B，，则， 所以不与和共面，故B错误； 对于C，，则， 所以不与和共面，故C错误； 对于D，，则， 所以不与和共面，故D错误． 故选： 根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得和共面的平面的法向量，再逐项计算对应向量与法向量的数量积即可判断得解． 本题考查空间向量共面定理的应用，属中档题． 3.【答案】D  【解析】解：由题意知：，， 所以， 所以在方向上的投影向量的坐标为： 故选： 求出，，再由投影向量的计算式求解即可． 本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的投影向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 4.【答案】C  【解析】解：已知直线与圆O：相切， 圆O：的圆心为，半径为， 由题知，，整理得， 则， 当且仅当时等号成立， 所以，所以的最大值为 故选： 根据圆心到直线的距离等于半径的a，b，c的关系，消元后利用基本不等式求解可得． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系，求切线长的方法，属于中档题. 要使切线长最小，需直线上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直线的距离d， 切线长的最小值为 【解答】 解：要使切线长最小，需直线上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心到直线的距离d， ，故切线长的最小值为， 故选： 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查两圆的位置关系，圆的公切线，属于基础题． 根据已知条件，先判断出两圆的位置关系，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解． 【解答】 解：圆M：， 则圆心，半径， 圆N：，即， 则圆心，半径， 圆M：与圆N：恰有三条公切线， 则圆M和圆N外切， 故，即，解得 故选： 7.【答案】B  【解析】解：焦点在y轴上的椭圆C：的焦距为2，可得，解得， 所以 故选： 利用已知条件，转化求解离心率即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题． 8.【答案】A  【解析】解：如图所示： 过B垂直于C的准线，垂足为B，由抛物线的定义知， 所以的周长为，要使周长最小， 则必须使得A，P，B三点共线，即点P在过A垂直于的直线上图中点处， 易求点，所以，在边上的高为1， 故其面积为 故选： P点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得A，P，B三点共线，求出此时P点坐标，可求的面积． 本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：对于选项A，因为，即，所以， 从而平面ABC，又因为平面平面， 所以，从而平面PAB，故A正确； 对于选项B，连接CO并延长交AB于点H，连接PH， 则，因为O是重心，所以， 则，故B错误； 对于选项C，因为，且， 所以，又因为平面DEF过点O， 所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于选项D，延长PH交DE于Q，连接QG，并延长交PC于F， 设，在如图②所示的图形中， 由G为正四面体的外接球球心， 得 ， 因为Q，G，F三点共线，所以， 所以 ，即， 所以点F到平面PDE的距离为点C到平面PDE的距离的， 又因为正四面体的棱长为1，所以其高为， 即点C到平面PDE的距离为， 故点F到平面PDE得距离为，故D正确． 故选： 运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定 本题考查空间向量基本定理，考查点到平面距离的求法等知识，属中档题． 10.【答案】BCD  【解析】解：若一个以为圆心，4为半径的圆， 对于A选项，因圆心到直线的距离为2，小于半径4，即直线与圆相交，故A选项错误； 对于B选项，因圆心在直线上，故圆关于直线对称，即B选项正确； 对于C选项，对，直线即，则直线经过定点， 而该点在圆内，故，直线与圆都相交，即C选项正确； 对于D选项，依题意，在C：上， 而可理解为圆上的点与点的距离d， 由图知，故D选项正确． 故选： 对于A，由圆心到直线距离与圆的半径比较即可判断；对于B，由圆心在直线上易判断；对于C，由直线经过的定点在圆内，即可判断；对于D，利用所求式的几何意义，结合图形即可求得其最大值． 本题考查了直线与圆相交的性质，属于中档题． 11.【答案】BCD  【解析】解：根据，可得，所以 对于选项A，如果，那么点M在圆上，所以A选项错误； 对于选项B，如果，那么点M轨迹为焦点在y轴上的双曲线，所以选项B正确； 对于选项C，如果，那么，所以， 可设点， 所以，所以选项C正确； 对于选项D，当时，点M轨迹为， 当OA垂直于直线，且AM为圆切线时，此时最大， 此时需满足，所以， 根据点到直线距离，解得，所以选项D正确． 故选： 由可得，再由椭圆以及双曲线定义可判断A错误，B正确，利用椭圆的参数方程以及辅助角公式计算可得C正确，利用直线和圆的位置关系，由点到直线距离解不等式可得结果． 本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题． 12.【答案】1  【解析】解：向量，，共面， 存在实数m，n使得， ， 解得 故答案为： 向量，，共面，则存在实数m，n使得，即可得出． 本题考查共面向量的判定，考查运算求解能力，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：因为、、都在直线l上， 可得，， 可得， 当时，可得，这时A，C重合，不符合条件， 当时，则，解得 故答案为： 由三点共线，可得，分类讨论，可得参数m的值． 本题考查三点共线时参数的求法，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点， 则新双曲线的实轴长为2， 若的离心率最大， 则最大． 由双曲线定义可知，， 又， 所以或， 所以点F在以A为圆心，7为半径的圆上，或者点F在以A为圆心，3为半径的圆上， 故，或， 所以，此时点F在OA的延长线上， 设， 则， 解得，， 即 故答案为： 新双曲线的实轴长为2，若的离心率最大，即焦距最大，由双曲线的定义可求得的值，从而知道点A的轨迹，进而知道在何时取得最大值，即能求出点F坐标． 本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的离心率，属中档题． 15.【答案】证明：取NF的靠近点F的三等分点Q，连接EQ，PQ， 因为，即点P是CN的靠近点C的三等分点， 所以，， 而，， 所以，，即四边形PBEQ是平行四边形， 所以， 又平面EFM，平面EFM， 所以平面 解：在等腰梯形ABCD中，因为E，F分别为AB，CD的中点， 所以，， 翻折后，，， 所以就是二面角的平面角，即， 又，CF、平面CFN，所以平面CFN， 以F为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，所以，， 设， 因为，所以， 解得，，即， 所以，，， 设平面EBP的法向量为，则， 取，则，，所以， 因为MF与平面EBP所成角的正弦值为， 所以，，解得舍负， 故存在，使得MF与平面EBP所成角的正弦值为，此时  【解析】取NF的靠近点F的三等分点Q，连接EQ，PQ，先证四边形PBEQ是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证； 由，知，且平面CFN，以F为原点建系，利用向量法求线面角可得关于的方程，解之即可． 本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面平行的判定定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于难题． 16.【答案】解：以BC的中点O为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，如下图，由题意知，， 则，，，，，； 设中点为点E，BC中点为点F，由题意知，，故； 由题意得：，所以  【解析】以BC的中点O为原点，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，再写出各点的坐标即可； 写出E，F的坐标，再根据向量的坐标表示即可得解； 根据向量的夹角运算求出结果． 本题考查的知识点：空间直角坐标系，向量的线性运算，向量的数量积运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：因为圆E：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2，整理得： 即，化简得， 即a，b满足的关系式为； 由及， 可得圆与直线有公共点， 所以，解得， 所以t的取值范围是； 设，由题意可知点C到直线的距离为与无关的定值， 即，为与无关的定值， 所以，，故，此时， 所以C的方程为， 设，则，即， 假设y轴上存在定点M，N，使得， 设，， 则， 所以， 解得或， 所以，或，  【解析】本题考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系的判断及求参，属于较难题． 根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； 转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； 根据新定义，可得出圆的方程，再设y轴上存在定点M，N，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标． 18.【答案】解：设，， 易知， 即，且， 此时， 解则， 由余弦定理得 ， 当且仅当时，等号成立， 因为余弦函数在上为减函数，且， 所以当C取最大值时，取最小值， 所以， 解得， 此时， 则曲线E是除去长轴端点的椭圆，且其长轴长为4，焦距为， 所以， 则动点C的轨迹E的方程为； 易知， 设直线MN的方程为，，、， 联立，消去x并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 所以， 即， 所以， 线段DM的中点为，， 所以线段DM的中垂线方程为， 同理得线段DN的中垂线方程为， 因为M，N两点均在直线MN上， 所以，， 联立， 解得， 所以， 要求的最大值， 需考虑， 此时， 当且仅当时，即当时，等号成立． 则的最大值为  【解析】设，，设，利用余弦定理结合基本不等式、余弦函数的单调性可知当时，角C取最大值，结合余弦定理求出a的值，分析可知，曲线E为椭圆，求出b的值，即可得出曲线E的方程； 根据题意，设直线MN的方程为，其中，设点、，将直线MN的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点Q的横坐标以及k，考虑即可，结合基本不等式可求得的最大值． 本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 19.【答案】证明：当切线斜率存在时， 设直线与相切于点， 联立，消去y并整理得， 此时， 整理得； 因为点在直线上， 所以， 即， 可得， 整理得， 因为点在椭圆上， 所以， 因为， 所以， 即， 解得 则切线方程为， 即； 经检验，切线斜率不存在时也符合上式， 故椭圆上在点处的切线方程为； ⅰ因为， 所以双曲线， 则双曲线的方程为， 设、， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 则； ⅱ联立， 解得， 因为， 所以， 此时，，， 所以， 由光学性质得到直线、与l的夹角大小相等， 所以， 因为， 所以∽ 故  【解析】利用联立方程组应用判别式计算得出椭圆上在点处的切线方程得证； ⅰ先联立方程组得出得出韦达定理，结合即可证明； ⅱ先联立方程求出，进而得出，最后结合光学性质得出，再根据相似证明结论即可． 本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$