第2章 二元一次方程组课件 2024-2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

第2章 二元一次方程组 2.1 二元一次方程 1 知识过关 1.含有______未知数，且______________________都是一次 的方程叫作二元一次方程. 2.使二元一次方程__________________的一对未知数的值， 叫作二元一次方程的一个解. 3.把二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示 ______________的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程. 两个 含有未知数的项的次数 左右两边的值相等 另一个未知数 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 二元一次方程的概念 1. [2024·宁波海曙区期末] 下列方程中，属于二元一次方程 的是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. [2024·金华义乌市月考] 若方程 是关 于,的二元一次方程，则 的值为( ) D A. B. C. 0 D. 1 返回 夯实基础巩固练 4 知识点2 二元一次方程的解 3. 是下列哪个方程的一组解?( ) A A. B. C. D. 4. [2024·杭州第一实验中学期中] 已知 是方程 的一组解，则 的值为( ) B A. B. 1 C. D. 返回 夯实基础巩固练 5 5. 写出一个以 为解的二元一次方程是 ________________________.（写出一个即可） （答案不唯一） 返回 夯实基础巩固练 6 知识点3 由实际问题抽象出二元一次方程 6. [2024·杭州西湖区期末] 某款风味酸牛奶的营养成分中， 碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂 肪的含量共.设蛋白质、脂肪的含量分别为, ，则 可列方程为( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 7 7. 某游乐场门票的价格是成人票15元/张，儿童票5元/张.现 有名成人， 名儿童去游乐场游玩，买门票共花75元.据此可 列出关于， 的二元一次方程为( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 8 知识点4 用含一个字母的代数式表示另一个字母 8. [2024·杭州拱墅区期中] 已知，用含 的代数 式表示 的形式是( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 9 9. 对于方程，用含 的代数式表 示 的形式是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 10 易错题 忽视二元一次方程的隐含条件而引起错误 10.若是关于, 的二元一次方程，则 ___. 0 返回 夯实基础巩固练 11 整合方法提升练 11. 若是方程的解，则 的平方根 是( ) B A. 2 B. C. D. 12. 已知方程 是二元一次方程， 是被污 染的 的系数，则 的值( ) D A. 不可能是 B. 不可能是 C. 不可能是1 D. 不可能是2 返回 整合方法提升练 12 13. 下列方程中，与方程的公共解是 的是 ( ) C A. B. C. D. 14.[2024·宁波鄞州区期中] 若是方程 的 一组解，则 _______. 2 014 返回 整合方法提升练 13 15.当时，二元一次方程 和 （关于，的方程）有相同的解，求 的值. 【解】将代入 , 得,解得 . 将代入 , 得,解得 . 返回 整合方法提升练 14 16.已知关于, 的方程 . （1）当 为何值时，它是一元一次方程？ 【解】依题意,得且,或 且 ,解得 . 即当 时，它是一元一次方程. 整合方法提升练 15 （2）当 为何值时，它是二元一次方程？ 【解】依题意,得且, , 解得 . 即当 时，它是二元一次方程. 返回 整合方法提升练 16 培优探究拓展练 17. 某物流公司现有货物，计划租用 型车 辆，型车 辆将货物一次运完，且恰好每辆车都载满货物. 已知每辆型车载满货物一次可运货，每辆 型车载满货物 一次可运货 . 培优探究拓展练 17 （1）请你帮该物流公司设计租车方案； 【解】由题意可知,且, 均为自然数，所以 或或 所以共有三种租车方案. 方案一：租用型车1辆， 型车6辆； 方案二：租用型车5辆， 型车3辆； 方案三：租用 型车9辆. 培优探究拓展练 18 （2）若型车每辆每次需租金120元， 型车每辆每次需租金 140元.请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用. 【解】方案一的费用： （元）; 方案二的费用： （元）; 方案三的费用： （元）. 因为 , 所以租用型车1辆， 型车6辆最省钱，最少租车费用为960元. 返回 培优探究拓展练 19 $$第2章 二元一次方程组 2.3 解二元一次方程组 第2课时 加减消元法 1 知识过关 1加减消元法：对于二元一次方程组，当两个方程的同一个 未知数的系数是互为相反数或相同时，通过把两个方程的两 边相加或相减来消元，转化为一元一次方程来求解的方法. 知识过关 2 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： ①将其中一个未知数的系数化成 ______（或____________）; ②通过________________消去这个未知数，得到一个一元一 次方程; ③解这个一元一次方程，得到一个 ____________； ④将求得的未知数的值代入______________________，求得 另一个未知数的值； ⑤写出方程组的解. 相同 互为相反数 相减（或相加） 未知数的值 原方程组中的任一方程 知识过关 3 夯实基础巩固练 知识点1 直接加减消元法解二元一次方程组 1. [2024·杭州余杭区月考] 已知方程组 则 得( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 2.解方程组： 【解】 ，得,解得 , 将代入①，得 , 则原方程组的解为 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 变形后用加减消元法解二元一次方程组 3. [2024·温州鹿城区校级期中] 解方程组 时， 将消去 ，得到的方程正确的是( ) D A. B. C. D. 4. 利用加减消元法解方程组 时，利用 消去，则, 的值分别可以是( ) A A. 2，3 B. 2，5 C. ，3 D. ， 返回 夯实基础巩固练 6 5.解方程组： 夯实基础巩固练 7 （1）[2024·浙江] 【解】 ，得,解得 , 把代入①，得,解得 , 所以原方程组的解是 夯实基础巩固练 （2） ,,得 ，得,解得 , 把代入①,得 , 所以原方程组的解是 夯实基础巩固练 9 （3） 夯实基础巩固练 10 【解】 ①,,得 ③,得,解得 . 将代入③,得 . 所以原方程组的解为 返回 夯实基础巩固练 知识点3 用加减消元法解二元一次方程组的应用 6. 如果，那么与 的值分别 为( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 12 7.若，对一切实数 都成 立，则___， ____. 8.已知,满足方程组则无论取何值,, 恒 有的关系式是__________. 3 返回 夯实基础巩固练 13 整合方法提升练 9. 在解关于,的方程组 时，可以用 消去未知数,也可以用消去未知数 ， 则 ( ) C A. 4 B. C. D. 返回 整合方法提升练 14 10. 对,定义一种新运算“ ”，规定： （其中,均为非零常数）.若 ， ，则 的值是( ) C A. 3 B. 5 C. 9 D. 11 11. 在解二元一次方程组时，若 可直 接消去未知数，则☆和 ( ) B A. 互为倒数 B. 大小相等 C. 都等于0 D. 互为相反数 返回 整合方法提升练 15 12.[2024·丽水校级模拟] 若二元一次方程组 的 解也是二元一次方程的解，求 的值. 【解】根据题意，得解得将 代入方程,得,解得 . 返回 整合方法提升练 16 培优探究拓展练 13.阅读材料：小丁同学在解方程组 时发现： 如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大， 也容易出错.如果把方程组中的 看作一个整体，把 看作一个整体，通过换元，也可以解决问题.以下是他 的解题过程：设, ,这时原方程组化为 培优探究拓展练 17 解得即 解得 请你参考小丁同学的解法，解方程组 培优探究拓展练 【解】设, , 则方程组可化为 整理，得解得 所以 解得 返回 培优探究拓展练 19 $$第2章 二元一次方程组 2.4 二元一次方程组的应用 第1课时 应用二元一次方程组解决 简单的实际问题 1 知识过关 一般地，用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：① 理解问题（审题，搞清已知和未知，分析__________ ）； ②制订计划(考虑如何根据等量关系______，列出_______)； ③执行计划（列出方程组并求解，得到答案）；④回 顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及________ _______）. 数量关系 设元 方程组 是否符合题意 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 和差倍分问题 1. 我国古典数学文献《增删算法统宗》中 有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详， 甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数 相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”.其大意为：甲、乙 两人一起放牧，两人心里暗中数羊.如果乙给甲9只羊，那么 夯实基础巩固练 3 甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相 同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有羊只，乙有羊 只， 根据题意列方程组为_ _________________. 返回 夯实基础巩固练 2.某兴趣小组进行活动时，每个男生都头戴蓝色帽子，每个 女生都头戴红色帽子，帽子戴好后，每个男生都看见戴红色 帽子的人数比戴蓝色帽子的2倍少1，而每个女生都看见戴蓝 色帽子的人数是戴红色帽子的 .问：该兴趣小组男生、女生 分别有多少人? 夯实基础巩固练 5 【解】设该兴趣小组有男生人、女生 人， 由题意可得 解得 经检验,这个解满足方程组，且符合题意. 答：该兴趣小组有男生7人、女生11人. 返回 夯实基础巩固练 6 知识点2 配套问题 3.一服装厂计划用某种布料生产玩偶与玩偶 组合成一批盲 盒售卖，一个盲盒中装有1个玩偶和2个玩偶 ，已知每米布 料可做1个玩偶或3个玩偶 ，现计划用135米这种布料生产这 批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用 米 布料做玩偶，使得恰好配套，则需要____米布料做玩偶 81 返回 夯实基础巩固练 7 知识点3 行程问题 4.若一艘轮船沿江水顺流航行需用 ，它沿江水逆流 航行也需用，设这艘轮船在静水中的航速为 ， 江水的流速为 ，则根据题意可列方程组为 _ _______________. 返回 夯实基础巩固练 8 5. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平 路，如果保持上坡路每小时走，平路每小时走 ，下 坡路每小时走，那么从甲地到乙地需用 ，从乙地 到甲地需用 ，求从甲地到乙地全程是多少千米. 夯实基础巩固练 9 【解】设从甲地到乙地的上坡路长为,平路长为 , 根据题意得 解得 所以 . 答：从甲地到乙地全程是 . 返回 夯实基础巩固练 知识点4 几何图形问题 （第6题） 6. [2024·金华义乌市月考] 在长方形 中放入六个长、宽都相同的小 长方形，所标尺寸如图所示，则图 中阴影部分的面积之和为( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 11 7.如图所示，在长为、宽为 的长方形空地上，沿平 行于各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，则其 中一个小长方形花圃的周长是____ . 12 （第7题） 返回 夯实基础巩固练 12 整合方法提升练 8.如图①,在边长为 的大正方 形中剪去一个边长为 的小正 方形，再将图中的阴影部分剪 拼成一个长方形，如图②所示. 500 若这个拼成的长方形的长为30, 宽为20,则图②中Ⅰ部分的面积 是_____. 返回 整合方法提升练 13 9.客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长 ， 货车长 .如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车 尾离开共需 .如果客车从后面追货车，那么从客车车头追 上货车车尾到车尾离开货车车头共需 ，求两车的速度. 整合方法提升练 14 【解】.设客车的速度为 ,货车的速度 为 , 由题意得解得 答：客车的速度为,货车的速度为 . 返回 整合方法提升练 15 培优探究拓展练 10.育新中学组织20名团员分成两组分别去， 两地开展植 树活动，当去 地的人数不超过10人时，每人能植树6棵，当 去地的人数超过10人时，每人只能植树4棵.去 地的团员每 人植树5棵.（每名团员所植树的棵数均满足要求） 培优探究拓展练 16 （1）若这批团员中，去 地的人数超过10人，本次植树活动 共植树86棵，去， 两地的团员各有多少人？ 【解】设去地的团员有人，去地的团员有 人，由题意， 得解得 答：去地的团员有14人，去 地的团员有6人. 培优探究拓展练 17 （2）小明同学说“经统计，本次植树活动我们20名团员共植 树96棵”，你认为小明同学的统计有问题吗？请你通过计算说 明理由. 培优探究拓展练 18 【解】小明同学的统计有问题.理由:设去地的团员有人, 去 地的团员有人.当去 地的植树人数不超过10人时， 由题意，得解得 （不合题意，舍去）. 当去 地的植树人数超过10人时，由题意，得 解得 （不合题意，舍去）. 所以小明同学的统计有问题. 培优探究拓展练 19 （3）当去 地的团员到达目的地后，发现还有8名成人义工 也来植树，在 地原来团员每人能植树5棵，成人义工每人能 植树10棵，如果抽取一部分成人义工协助团员植树，那么团 员每人可以植树8棵，被抽取的成人义工每人只能植树5棵， 就团员和成人义工在 地植树的总数来看，有成人义工协助 比没有成人义工协助多了15棵，求去 地的团员有多少人. 培优探究拓展练 20 【解】设去地的团员有人，从成人义工中抽取 人协助团 员植树,则 ， 即，所以 . 因为,,且与 都是正整数， 所以或 答：去 地的团员有10人或15人. 返回 培优探究拓展练 21 $$第2章 二元一次方程组 2.2 二元一次方程组和它的解 1 知识过关 1.由两个__________组成，并且含有____________的方程组， 叫作二元一次方程组. 2.同时满足二元一次方程组中______方程的____，叫作这个 二元一次方程组的解. 一次方程 两个未知数 各个 解 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 二元一次方程组的概念 1. 下列方程组中是二元一次方程组的是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. 已知方程组是二元一次方程组，则 的值 为( ) A. 1或 B. 2或 C. D. 2 C 返回 夯实基础巩固练 知识点2 二元一次方程组的解 3. 下列选项是方程组 的解的为( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 5 4. [2024·宁波海曙区期末] 已知 是二元一次方程组 的解，则 的值是( ) A. 2 B. C. 3 D. B 返回 夯实基础巩固练 5. 已知,满足方程组则无论取何值，, 恒有 的关系式是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 7 6. 小亮求得方程组 的解为 由 于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数 和 ，则这 两个数分别为( ) D A. 4和 B. 和4 C. 和8 D. 8和 返回 夯实基础巩固练 8 7.若关于,的二元一次方程组的解为 则多 项式 可以是____________________（写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 夯实基础巩固练 9 知识点3 由实际问题抽象出二元一次方程组 8. [2024·台州椒江区校级模拟] 我国古代《算法统宗》里有这样一首 诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多六客，一房八 客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有6人 无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房. 若设该店有客 房间，房客人，则列出关于, 的二元一次方程组正确的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 10 9. [2024·湖州一模] “践行垃圾分类，助力双碳目标”主题班会 结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你 多收集7节废电池.”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电 池数量就是你的2倍.”如果他们说的都是真的，设米乐收集了 节废电池，琪琪收集了 节废电池，则根据题意可列方程组为 ( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 11 整合方法提升练 10. 已知方程组的解是 则方程组 的解是( ) C A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 12 11. [2024·杭州上城区校级月考] 已知和 都是 关于,的二元一次方程 的解，且 ，则 的值为( ) B A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 13 12.甲、乙两人同时解方程组 甲看错了 ,求 得的解为 乙看错了,求得的解为 请求出原 题中， 的值. 整合方法提升练 14 【解】因为甲看错了,求得的解为 所以把代入①，得,解得 ; 因为乙看错了,求得的解为 所以把代入②，得,解得 . 所以原题中的值为4，的值为 . 返回 整合方法提升练 15 培优探究拓展练 13. 我们知道方程组的解与方程组中的系数和 常数项有关系，因此，现代数学的高等代数学科将系数和常 数项排成一个表的形式.规定：关于, 的二元一次方程组 可以写成矩阵 的形式.例如： 可以写成矩阵 的形式. 培优探究拓展练 16 （1）将 写成矩阵的形式为_____________； 培优探究拓展练 17 （2）若矩阵所对应的关于, 的二元一次方程组 的解为求与 的值. 培优探究拓展练 18 【解】由题意知矩阵所对应的关于, 的二元一 次方程组为因为此方程组的解为 所以将代入方程组 中,得 由①得.由②得 . 所以, 的值分别是2和4. 返回 培优探究拓展练 $$第2章 二元一次方程组 2.3 解二元一次方程组 第1课时 代入消元法 1 知识过关 1.解方程组的基本思想是“______”. 消元 2.把二元一次方程组中的一个方程变形，将一个未知数用含 有另一个未知数的代数式表示，再代入另一个方程，实现消 元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程组的方 法称为____________，简称代入法. 代入消元法 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 直接代入解二元一次方程组 1. 用代入消元法解方程组 ，将①代入②可得 ( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. 用代入法解方程组 下列方法中最简单的是 ( ) B A. 把①代入②，消去 B. 把①代入②，消去 C. 把②代入①，消去 D. 把②代入①，消去 3.方程组 的解是_ ________. 返回 夯实基础巩固练 4 4.解下列方程组： （1）[2024·杭州西湖区校级期中] 【解】将①代入②,得,解得 , 将代入①,得 , 故原方程组的解为 夯实基础巩固练 5 （2）[2024·绍兴期中] 【解】将①代入②,得,解得 , 把代入①,得 , 故原方程组的解是 返回 夯实基础巩固练 6 知识点2 变形后代入解二元一次方程组 5. 用代入法解方程组 时，下列变形中，最适 合代入化简的方法是( ) B A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 返回 夯实基础巩固练 7 6.用代入法解方程组 选择消去未知数___比较 方便. 返回 夯实基础巩固练 7.解方程组： 夯实基础巩固练 9 【解】 由①,得 ,③ 将③代入②,得,即 , 解得 , 将代入①,得,解得 , 故原方程组的解为 返回 夯实基础巩固练 知识点3 用代入消元法解方程组的应用 8.已知,都满足方程，则 ____, ___. 9.若与的值互为相反数，则 ____, ___. 10. 定义关于, 的新运算“*”： .若,,则 ___. 2 10 3 2 返回 夯实基础巩固练 11 整合方法提升练 11. 在解方程组 时，小明由于粗心把系数●抄 错了，得到的解是 小亮把常数★抄错了，得到的 解是 则原方程组的正确解是( ) C A. B. C. D. 整合方法提升练 12 【点拨】由题意知,把代入方程 ★,得★ .设●为,把 代入方程 ,得,解得 ,所以原方程 组是,，得，解得 , 整合方法提升练 13 把代入①，得，解得 ,故原方程组 的解是 故选C. 返回 整合方法提升练 12. [2024·宁波鄞州区期中] 已知关于, 的方程组 给出下列说法： ①当时，方程组的解也是 的解； ②若,则 ; ③无论取何值，, 的值不可能互为相反数； ④, 都为自然数的解有5对. 以上说法中正确的个数为( ) D A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 整合方法提升练 15 【点拨】将代入原方程组，得 解得 将和代入方程 的左右两 边，得左边,右边,左边 右边，所以 当时，方程组的解也是 的解，故①正确； 方程组由，得 ,若 整合方法提升练 16 ,则,解得 ,故②正确；因为 , ,所以两方程相加得 ,所以,所以无论取何值，, 的值不 可能互为相反数，故③正确；因为,所以, 都为自 然数的解有或或或或 共5 对，故④正确.故选D. 返回 整合方法提升练 13.若关于,的二元一次方程组 的解也是二 元一次方程的解，则 的值为__. 返回 整合方法提升练 18 14.已知关于,的方程组 和 有相同解，求 的值. 整合方法提升练 19 【解】因为两组方程组有相同解，所以原方程组可化为 （2） 解方程组（1）得 代入方程组（2）得解得 所以 . 返回 整合方法提升练 培优探究拓展练 15. 在解二元一次方程组时，我们常会采用 “整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方 程求解. 例如：解方程组 首先将②变形，得 ，即 ，③ 培优探究拓展练 21 其次把①代入③，得，即 ，最后把 代入①，得，所以原方程组的解为 请你解答下列问题： 培优探究拓展练 （1）尝试用“整体代入消元”的方法解方程组 培优探究拓展练 【解】将②变形，得 , 即 .③ 把①代入③,得,解得 , 把代入①,得 , 所以原方程组的解为 培优探究拓展练 （2）已知, 均为整数，且满足方程组 （Ⅰ）求 的值； 【解】由①,得 ,③ 把③代入②,易得,解得 . 培优探究拓展练 25 （Ⅱ）求出这个方程组的所有整数解. 【解】由（Ⅰ）,得 . 因为, 均为整数， 所以或或或或 或 由（Ⅰ）可求得 , 培优探究拓展练 26 所以和 符合题意， 故原方程组的所有整数解是和 返回 培优探究拓展练 $$第2章 二元一次方程组 2.4 二元一次方程组的应用 第2课时 应用二元一次方程组解决 复杂的实际问题 1 知识过关 可以用二元一次方程组来求一个关系式中字母系数的值， 将已知的值代入关系式可以得到关于系数的方程组，解方程 组即可.解决较复杂的实际问题，注意认真分析题意，找出数 量关系. 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 用二元一次方程组求关系式中字母系数的值 1. 科学家发现：一定质量的某种气体在体积 不变的情况下，压强与温度 的关系满足 ，且当温度为时，压强为 ；当温度 为时，压强为，则____， _____. 0.4 100 返回 夯实基础巩固练 3 2. 对于有理数，,定义新运算： ☆ ，其中,是常数.已知1☆， ☆ ，则4☆ ____. 返回 夯实基础巩固练 4 知识点2 比例问题 3. 小张以两种储蓄方式共存了5 000元，假设第一种储蓄方 式的年利率为，第二种储蓄方式的年利率为 ，一 年后得到利息156元（不计利息税），那么小张以第一种储 蓄方式存了( ) C A. 2 000元 B. 2 500元 C. 3 000元 D. 3 500元 返回 夯实基础巩固练 5 某食品厂要配制含蛋白质 的食品，需要 包含蛋白质分别为和 的两种配料各多少千克？若设需要含蛋白质 和的配料分别为 , ，则可列方程组为( ) A. B. C. D. B 返回 夯实基础巩固练 6 知识点3 其他问题 5. 如图所示的两架天平保持平衡，若1个A与 个C的质量相 等，则 的值为( ) B A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回 夯实基础巩固练 7 6.[2024·宁波北仑区校级月考] 某校准备组织师生共300人参 加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有 ，两种座位数不同的车型，若租用型车3辆， 型车3辆， 则空余15个座位；若租用型车5辆， 型车1辆，则有15人没 有座位. 夯实基础巩固练 8 （1）求， 两种车型各有多少个座位. 【解】设每辆型车有个座位，每辆型车有 个座位， 依题意，得 解得 答：每辆型车有45个座位，每辆 型车有60个座位. 夯实基础巩固练 9 （2）若最终租用了这两种车型的车，且座位恰好坐满，则 这两种车型的车各租用了多少辆？ 【接】设租用了型车辆，型车 辆， 依题意，得,所以 . 因为,均为正整数，所以 答：租用了型车4辆， 型车2辆. 返回 夯实基础巩固练 10 整合方法提升练 7. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中， 在桶中加入水后，一根铁棒露出水面的长度是它 的，另一根铁棒露出水面的长度是它的 .若两 根铁棒的长度差为 ，下列说法： ①两根铁棒的长度和为 ； ②其中一根铁棒的长度为 ； 整合方法提升练 11 ③两根铁棒的长度和为 ； ④其中一根铁棒露出水面的长度为 . 其中，正确的有( ) A. 0个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 B 返回 整合方法提升练 8. 放学后，小贤和小艺来到学校附近的文具店 里购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10 支，整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤要买3支笔芯，2 本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费 26元. 整合方法提升练 13 （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格; 【解】设笔记本的单价为元，单独购买一支笔芯的价格为 元， 依题意，得 解得 答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元. 整合方法提升练 14 （2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但 如果他们各自为要买的文具付款，只有小贤还剩2元钱.他们 要怎样做才能既买到各自的文具，又能都买到小工艺品，请 通过计算说明. 整合方法提升练 15 【解】小贤和小艺带的总钱数为 （元）. 两人合在一起购买文具所需费用为 （元）. 因为（元）,（元）,7元 元, 所以他们合在一起购买笔芯,既买到各自的文具，又能都买到 小工艺品. 返回 整合方法提升练 16 培优探究拓展练 9.某出租车公司有出租车100辆，平均每天每辆车消耗的汽油 费为80元.为了减少环境污染，市场推出一种改烧汽油为天然 气的装置，每辆车的改装价格为4 000元.公司第一次改装了 部分车辆后核算：已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装 车辆每天燃料费的 .公司第二次再改装同样多的车辆后，所 有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费 的 . 培优探究拓展练 17 （1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每 辆每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之多少？ 培优探究拓展练 18 【解】设公司第一次改装了 辆出租车，改装后的出租车平 均每辆每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分率为 ,根 据题意,得 解得，.所以 . 培优探究拓展练 19 答：公司共改装了40辆出租车，改装后的出租车平均每辆每 天的燃料费比改装前的燃料费下降了 . 培优探究拓展练 （2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从 节省的燃料费中收回成本？ 【解】设公司一次性将全部出租车改装， 天后就可以从 节省的燃料费中收回成本，根据题意,得 ，解得 . 答：若公司一次性将全部出租车改装，125天后就可以从节 省的燃料费中收回成本. 返回 培优探究拓展练 21 $$第2章 二元一次方程组 2.5 三元一次方程组及其解法 1 知识过关 1.含有____________，且含有未知数的项的次数都是______ 的方程叫作三元一次方程. 2.由三个__________组成，并且含有____________的方程组 叫作三元一次方程组. 3.同时满足__________________________的解叫作三元一次 方程组的解. 三个未知数 一次 一次方程 三个未知数 三元一次方程组中各个方程 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 三元一次方程（组）及其解的相关概念 1. 下列方程中，不属于三元一次方程的是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. 下列方程组中，属于三元一次方程组的是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 3.方程组 的解是_ ________. 返回 夯实基础巩固练 知识点2 三元一次方程组的解法 4. 解三元一次方程组如果消掉未知数 , 则应对方程组变形为( ) C A. , B. ， C. ， D. ， 返回 夯实基础巩固练 6 5.[2024·台州椒江区校级月考] 若 则代数式 ___. 5 返回 夯实基础巩固练 7 6.解方程组： （1） 夯实基础巩固练 8 【解】 ，得 .④ ,得 . 把代入④,得,解得 . 把代入②,得,解得 . 夯实基础巩固练 9 故原方程组的解为 夯实基础巩固练 （2） 夯实基础巩固练 11 【解】 ,得 .④ ,得 .⑤ ,得 . 把代入④,得,解得 . 夯实基础巩固练 12 把,代入①,得,解得 . 故原方程组的解为 返回 夯实基础巩固练 知识点3 三元一次方程组的应用 7. [2024·温州校级期中] 有铅笔、作业本、签字笔三种学习 用品.已知购买铅笔3支、作业本7本、签字笔1支共需20.5元； 购买铅笔4支、作业本8本、签字笔2支共需25元，则购买铅 笔1支、作业本1本、签字笔1支共需( ) D A. 2.5元 B. 3元 C. 3.5元 D. 4.5元 返回 夯实基础巩固练 14 8.若甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙 数的等于丙数的 ，则甲数为____，乙数为____，丙数为 ____. 10 15 10 返回 夯实基础巩固练 15 9. 已知代数式，当 时，它 的值是8；当时，它的值是2；当 时，它的值是4. 夯实基础巩固练 16 （1）求，， 的值； 【解】根据题意，得 把②代入①，得 .④ 把②代入③，得 .⑤ 夯实基础巩固练 17 联立④⑤，得解得 所以，， . 夯实基础巩固练 （2）当 时，求代数式的值. 【解】由（1）知,, ， 所以代数式为 . 当时，原式 . 返回 夯实基础巩固练 19 易错题 忽略系数不能为零 10.如果是关于,, 的一个 三元一次方程，那么____, ___. 0 返回 夯实基础巩固练 20 整合方法提升练 11. 已知 ,则 等于 ( ) C A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 返回 整合方法提升练 21 12. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规 则为：明文,,，对应密文,, ， 如果接收方收到密文9，13，23，则解密得到的明文为( ) B A. 8，2，7 B. 7，8，2 C. 8，7，2 D. 7，2，8 13.已知甲、乙、丙三种商品，购买甲5件、乙6件、丙3件， 共需315元;购买甲3件、乙4件、丙1件，共需205元，则购买 甲、乙、丙三种商品各一件共需____元. 55 返回 整合方法提升练 22 14.有一道吃仙果的趣味题： 三种仙果红紫白，八戒共吃十一对； 白果占紫三分一，紫果正是红二倍； 三种仙果各多少？看谁算得快又对. （1）小明分析：如果设吃了红果个，紫果 个，那么吃了 白果 个.根据题意，可列二元一次方程组为 _ ______________________; 【解】 整合方法提升练 23 （2）小敏分析：如果设吃了红果个，紫果个，白果 个， 根据题意，可列三元一次方程组为_ _______________; 整合方法提升练 24 （3）请你选一种分析思路求解本题. 【解】(选一种分析思路即可)选小明的分析思路：设吃了红 果 个，紫果个，则吃了白果 个. 根据题意，得 解得 答：吃了红果6个，紫果12个，白果4个. 选小敏的分析思路:设吃了红果个，紫果个，白果 个. 整合方法提升练 25 根据题意得 解得 答：吃了红果6个，紫果12个，白果4个. 返回 整合方法提升练 培优探究拓展练 15. 在精准扶贫过程中，某驻村服务队结合 当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母和黄连增 加经济收入.经过一段时间，该村种植的川香、贝母和黄连的 面积之比为 .根据中药材市场对三种药材的需求量，将 该村余下的土地全部用于种植这三种中药材，且经测算需将 余下土地面积的 种植黄连，使黄连种植总面积达到这三种 培优探究拓展练 27 中药材总面积的 .为使川香种植总面积与贝母种植总面积之 比达到 ，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种 中药材的总面积之比是______. 返回 培优探究拓展练 $$