黄金卷04（河北专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（河北专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各式：①；②；③；④，计算结果为负数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 3．若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 5．河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积约为19万平方千米．将19万用科学记数法表示为，关于m的描述，下列说法正确的是（   ） A．m为负数 B． C．m等于19万的整数位数 D．当m增加1时，原数扩大为原来的10倍 6．如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 7．熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花．如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口离开的概率为（    ） A． B． C． D． 8．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 9．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 11．如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点A恰落在线段上的点H处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 12．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（   ） ①一元二次方程的根为； ②若点在该抛物线上，则； ③对于任意实数m，都有； ④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个 A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 二、填空题：（本大题共4题，每小题3分，共12分.） 13．计算的结果为 ． 14．如图所示，图是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图是一个边长为的正方形．记图，图中阴影部分的面积分别为，，则可化简为 ．    15．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~4的整数），函数的图象为曲线L．请写出一个符合条件的k值 ，使得曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点． 16．如图所示，已知，点P是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰三角形，连接，，则的面积的最大值是 ． 3、 解答题：（本大题共8题，共72分，第17题7分，第,18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题11分，第24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知整式，整式．如图，有一电脑程序，能处理整式的相关运算，若输入整式A，B后，屏幕上自动呈现整式C，但由于屏幕大小有限，只显示了整式C的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式C缺失的部分“”； (2)嘉淇发现：若k取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的k的最小值． 18．已知． (1)若，，，求的值； 下图是佳佳同学的计算过程： 第一步 第二步 第三步 佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的值； (2)若，，，当为何值时，的值是7． 19．为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了________名学生； (2)请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； (3)请直接写出本次调查获取的学生~周阅读的总时间数据的众数为________h，中位数为________h，平均数为________h； (4)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 20．2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点测得返回舱底部的仰角，降落伞底面圆点处的仰角．已知半径长14米，拉绳长50米，返回舱高度为2米．    (1)求长； (2)求返回舱底部离地面的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，） 21．如图1、图2是走廊上的一个半圆柜的俯视图，其中表示走廊且，是半圆的直径且长为是半圆的圆心，C，D是半圆上两点，且． (1)求的长； (2)将半圆柜绕点B顺时针旋转，当半圆O与相切于点E时，点A到的距离为，如图2，求之间的距离． 22．如图，k为正实数，直线l：交x轴于点A，交y轴于点B；直线a：交y轴于点C；直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)______，点E的横坐标为______； (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A坐标； (3)连接，两线段交于点F，当点F在图形L上时， ①求点F坐标； ②若过点C的直线图象L上段有交点，直接写出m取值范围． 23．弹力球是小朋友们比较喜欢的一种球，它在不断地弹起落下的过程中，轨迹为抛物线的一部分．如图是一个小朋友玩弹力球的轨迹图，小朋友从点开始抛球，设点到轴的距离为米，球沿抛物线运动，落到点后弹起，弹起后的运动轨迹为抛物线．    (1)求的值，以及抛物线最高点到轴的距离； (2)若抛物线与抛物线的形状相同，在轴上距离坐标原点米处（）有两个并排的棱长为米的正方体纸箱． 当弹力球恰好落到点处时，求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴为直线．已知抛物线的最高点低于抛物线的最高点，弹力球能否落在纸箱内？若能，直接写出的取值范围；若不能，说明理由． 24．如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒．    (1)线段的长为________； (2)线段的长为________（用含t的代数式表示）； (3)当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； (4)当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（河北专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列各式：①；②；③；④，计算结果为负数的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据相反数的定义，绝对值的性质，有理数的乘方，对各小题分别计算，再根据正数和负数的定义判断． 【详解】解：①，是正数； ②是负数； ③，是负数； ④，是负数； 综上所述，负数有3个． 故选：B． 2．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（） A．0.5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，理解数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由数轴知：手掌覆盖的数位于和0之间， 而， 故选：B． 3．若（，都为正整数，则m的最小值为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是是理解题意，明确幂的形式．根据所给的式子的特点，结合幂的运算的相应的法则进行分析即可． 【详解】 解：（，都为正整数， 则k是可以转为以2为底数的幂的形式的数， ∴的最小值为：， ， ∴， ∴的最小值为：4 故选：B 4．如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A放置到小正方体B的正上方，则它的三视图变化情况是（    ） A．主视图会发生改变 B．左视图会发生改变 C．俯视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图． 根据三视图的概念得到小正方体移动前后的各个视图，进而即可判断选项． 【详解】移动前的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： 移动后的主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 所以它的主视图会发生变化． 故选A 5．河北省物产丰富，土地辽阔，土地面积约为19万平方千米．将19万用科学记数法表示为，关于m的描述，下列说法正确的是（   ） A．m为负数 B． C．m等于19万的整数位数 D．当m增加1时，原数扩大为原来的10倍 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；把19万改写成科学记数法为，可判断出A，B选项，根据19万的整数位数可判断C选项，根据m增加1后的数为1900000，可判断D选项． 【详解】解：19万， ， 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、19万的整数位数为6，故本选项不符合题意； 、当m增加1时，科学记数法表示的数为，与原数19万相比，扩大为原数的10倍，故本选项符合题意； 故选：． 6．如图，已知线段和射线，且，在射线上找一点C，使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是（  ） A．过点D作与交于点C B．在下方作与交于点C，使 C．在上截取，使，连接 D．以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判定． 根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 7．熹嘉去“满阶芳草绿，一片杏花香”的杏花园赏花．如图，杏花园有两个入口、三个出口，则嘉嘉从入口进入，从出口离开的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得嘉嘉选择从入口A进入，从出口E离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案，熟练掌握画树状图的方法是解决此题的关键． 【详解】如图，画树状图得， 由树状图可知所有可能的结果有6种，其中选择从入口A进入，从出口E离开的只有1种结果， ∴选择从入口A进入，从出口E离开的概率为， 故选：D． 8．《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可． 【详解】解：由题知， 因为每3人乘一车，最终剩余2辆车， 所以总人数可表示为：， 因为每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘， 所以总人数可表示为：， 则可建立方程：． 故选：B． 9．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，这时点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得，即可判断；根据是的外角，可得，可判断；根据为旋转角，得出，可判断；根据，，可得，可判断，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，， ∵点旋转后的对应点恰好在直线上， ∴，故选项正确； ∵是的外角， ∴， ∴，故选项不正确； ∵为旋转角， ∴，故选项正确； ∵，， ∴，故选项正确； 故选：． 10．如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与y轴交于点D，首先根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求出，进而得到，，然后根据二次函数的对称性求出对称轴为直线，得到，然后将代入即可求出． 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 11．如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点A恰落在线段上的点H处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，则，可判断①正确，证明，可判断②正确，利用勾股定理及折叠性质计算出相应边长度，再利用面积公式即可得到③正确，利用边长关系即可得到④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴由折叠得，， ∴，故①正确； ∵，点F在上，点H在上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵根据折叠可知：，， ∴在中，， ∴，， 设， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 12．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（   ） ①一元二次方程的根为； ②若点在该抛物线上，则； ③对于任意实数m，都有； ④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个 A．①② B．①③ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与一次函数之间的关系，二次函数的性质等等，抛物线与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此可判断①；根据增减性即可判断②；根据对称轴处函数有最大值即可判断③；直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根，求出根的情况即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为， ∴一元二次方程的根为，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵抛物线对称轴为直线，且， ∴，故②错误； 当时，y有最大值，最大值为， ∴，即，故③正确； 根据题意可得直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根， ∵， ∴方程的根可以为或或， ∴对应的P的值有三个，故④错误； 故选：B． 二、填空题：（本大题共4题，每小题3分，共12分.） 13．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质，分母有理化．解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和分母有理化的方法． 14．如图所示，图是一个边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形，图是一个边长为的正方形．记图，图中阴影部分的面积分别为，，则可化简为 ．    【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的约分的应用，根据题意得到，是解题的关键． 15．如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~4的整数），函数的图象为曲线L．请写出一个符合条件的k值 ，使得曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点． 【答案】8或12（写出一个即可） 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意可得，，，，再分别求出反比例函数经过，，，时，k的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，，， 当函数经过时，则，解得， 同理可得当函数经过时，， 当函数经过时， ， 当函数经过时， ， ∴当或时，曲线L经过台阶凸出的角的一个或两个顶点． 故答案为：8或12（写出一个即可）． 16．如图所示，已知，点P是线段上的动点，以为边作正六边形，以为底作等腰三角形，连接，，则的面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正六边形的性质和二次函数的性质，根据正六边形的性质求得，，，正六边形的每一个内角为，进而求得，从而求得，设．则，根据等腰三角形的性质求得，根据三角形的面积就可得出从而得出的面积的最大值． 【详解】解：连接，作于M，如图， ∵六边形是正六边形， ∴，，，正六边形的每一个内角为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴就是的边的高， 设则， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴的面积的最大值为：． 故答案为：． 3、 解答题：（本大题共8题，共72分，第17题7分，第,18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题11分，第24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．已知整式，整式．如图，有一电脑程序，能处理整式的相关运算，若输入整式A，B后，屏幕上自动呈现整式C，但由于屏幕大小有限，只显示了整式C的一部分：． (1)求程序自动呈现的整式C缺失的部分“”； (2)嘉淇发现：若k取某个正整数时，整式的值大于5，求满足条件的k的最小值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及整式的加减运算，解不等式，正确掌握整式运算法则是解题的关键． （1）因为，所以把数代入得出，即可作答． （2）先整理，再结合“整式的值大于5”，进行列不等式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 即程序自动呈现的整式C缺失的部分“”为； （2）解：∵， ∵整式的值大于5， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k的最小值为1． 18．已知． (1)若，，，求的值； 下图是佳佳同学的计算过程： 第一步 第二步 第三步 佳佳的计算过程有错误吗？如果有指出是第几步错误，并求出正确的值； (2)若，，，当为何值时，的值是7． 【答案】(1)有错误，第一步错误， (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解一元一次方程． （1）根据零指数幂，负整数指数幂，开平方，按照计算法则计算即可得出答案． （2）根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：有错误，第一步错误， ，， ； （2）解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故当时，P的值是7． 19．为了解我校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查了________名学生； (2)请根据以上信息，直接在答题卡中补全扇形统计图和条形统计图； (3)请直接写出本次调查获取的学生~周阅读的总时间数据的众数为________h，中位数为________h，平均数为________h； (4)若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生一周阅读的时间小于6小时． 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)6，6，6 (4)300 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）由阅读时间为的人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得a的值． （2）总人数乘以阅读时间为的人数对应的百分比可得答案． （3）依据众数、中位数和方差的定义求解即可． （4）总人数乘以样本中一周阅读的时间小于人数所占比例即可 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：50； （2）解：， 对应人数为（名）， 补全图形如下： （3）解：学生一周阅读的总时间数据中出现次数最多，所以众数为； 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为、，所以这组数据的中位数为； 这组数据的平均数为， 故答案为：6，6，6； （4）解：估计该校一周阅读的时间小于的人数为（名） 20．2024年4月30日17时46分，神舟十七号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点测得返回舱底部的仰角，降落伞底面圆点处的仰角．已知半径长14米，拉绳长50米，返回舱高度为2米．    (1)求长； (2)求返回舱底部离地面的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)返回舱底部离地面的高度约为1614米 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可得解； （2）由题意可知，四边形为矩形，则，设米，则米，米，再解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米）， 米； （2）解：由题意可知，四边形为矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米，米， 在中， ． 解得， 米， 答：返回舱底部离地面的高度约为1614米． 21．如图1、图2是走廊上的一个半圆柜的俯视图，其中表示走廊且，是半圆的直径且长为是半圆的圆心，C，D是半圆上两点，且． (1)求的长； (2)将半圆柜绕点B顺时针旋转，当半圆O与相切于点E时，点A到的距离为，如图2，求之间的距离． 【答案】(1) (2)之间的距离为 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，弧长公式计算，切线的性质，三角形中位线定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）连接，证明是等边三角形，得，进而求出结论； （2）过点A作于点F，连接，延长交于点G，证明，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵直径， ， 又， ， 是等边三角形， ， （2）解：过点A作于点F，连接，延长交于点G， 由题意，， ∵半圆O与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ∵点O为的中点， 点G为的中点， ， ， 即之间的距离为． 22．如图，k为正实数，直线l：交x轴于点A，交y轴于点B；直线a：交y轴于点C；直线a与直线l的交点记为点D，反比例函数的图象L交直线a于点E． (1)______，点E的横坐标为______； (2)若，求反比例函数的解析式，并求点A坐标； (3)连接，两线段交于点F，当点F在图形L上时， ①求点F坐标； ②若过点C的直线图象L上段有交点，直接写出m取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)①；②． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数的综合、一次函数的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定、、，再确定，再运用正切的定义即可解答；联立反比例函数解析式与直线a：即可确定点E的坐标； （2）由、、可得，再根据可得，进而确定反比例函数解析和点A的坐标； （3）①先求出直线的解析式为：；直线的解析式为，然后联立求得，再代入反比例函数解析式即可解答；②由可得过点C的直线为、，再求出直线过F时m的值，再根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵直线l：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵直线a：交y轴于点C， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵， ∴． （3）解：①∵、 ，， ∴设直线直线的解析式为：， 由题意可得：，解得： ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∵点F在图形L上， ∴，解得：， ∴． ②∵， ∴过点C的直线为，， 当直线为过点时，有，解得：， 当时，直线与图象L上段有交点，但当时，直线与图象L上段没有交点， ∴过点C的直线图象L上段有交点的m的取值范围为：． 23．弹力球是小朋友们比较喜欢的一种球，它在不断地弹起落下的过程中，轨迹为抛物线的一部分．如图是一个小朋友玩弹力球的轨迹图，小朋友从点开始抛球，设点到轴的距离为米，球沿抛物线运动，落到点后弹起，弹起后的运动轨迹为抛物线．    (1)求的值，以及抛物线最高点到轴的距离； (2)若抛物线与抛物线的形状相同，在轴上距离坐标原点米处（）有两个并排的棱长为米的正方体纸箱． 当弹力球恰好落到点处时，求抛物线的解析式； 设抛物线的对称轴为直线．已知抛物线的最高点低于抛物线的最高点，弹力球能否落在纸箱内？若能，直接写出的取值范围；若不能，说明理由． 【答案】(1)，抛物线最高点到轴的距离为米； (2)；不能，见解析． 【分析】（）当时，即可求出；然后把函数解析式配成顶点式即可求解； （）设抛物线的解析式为，求出，，然后代入即可求解； 当抛物线恰好过点时，设，把，代入求解析式，然后比较即可； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线得 当时， ∴点到轴的距离为米，即； 由， ∴顶点坐标为， ∴抛物线最高点到轴的距离为米； （2）解：由题意可设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 由，解得，（舍）， ∴， 把，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 不能，理由， 由题意易知，当抛物线恰好过点时，设， 把，代入， 得，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴当抛物线恰好过点时最高点的纵坐标为， 由（）知，抛物线l1的最高点的纵坐标为， 又∵抛物线的最高点低于抛物线的最高点， ∴结合图象可得弹力球不能落在纸箱内． 24．如图，在中，，，，Q为的中点．动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为边构造正方形，且边与点B始终在边同侧．设点P的运动时间为t秒．    (1)线段的长为________； (2)线段的长为________（用含t的代数式表示）； (3)当正方形的顶点M落在的边上时，求t的值； (4)当正方形的边的中点落在线段上时，求t的值和正方形的面积． 【答案】(1)3 (2) (3)t的值为2或 (4)， 【分析】（1）运用勾股定理进行列式计算，即可作答． （2）结合运动方向和运动速度列式作答即可． （3）依题意，进行分类讨论，当①当点M落在上时，且结合图形，由正方形的性质得出，证明，列式计算，得出；②当点M落在上时，过点Q作于点K，由正方形的性质证明，，然后证明，得出，然后得，则，进行即可作答． （4）依题意，当点的中点F落在边上，作图，结合正方形的性质，证明，列式，结合（3）②可知，，则，计算出，则，再结合勾股定理，即可得出进行作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动， ∴， ∴； （3）解：依题意，①当点M落在上时，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点M落在上时，如图2， 过点Q作于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 在和中． ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴当正方形的顶点M落在的边上，t的值为2或 （4）解：当点的中点F落在边上时，如图3， 过点Q作于点E， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（3）②可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中， ， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（河北专用） 黄金卷 一、选择题：（本大题共12题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A D D D B B A 题号 11 12 答案 A B 二、填空题：（本大题共4题，每小题3分，共12分.） 13． 14． 15．8或12（写出一个即可） 16． 3、 解答题：（本大题共8题，共72分，第17题7分，第,18-20每题8分，第21-22每题9分，第23题11分，第24题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17． 【详解】（1）解：依题意， 即程序自动呈现的整式C缺失的部分“”为； （2）解：∵， ∵整式的值大于5， ∴， 解得， ∵k为正整数， ∴k的最小值为1． 18． 【详解】（1）解：有错误，第一步错误， ，， ； （2）解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故当时，P的值是7． 19． 【详解】（1）解：本次调查的总人数为（名）， 故答案为：50； （2）解：， 对应人数为（名）， 补全图形如下： （3）解：学生一周阅读的总时间数据中出现次数最多，所以众数为； 中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为、，所以这组数据的中位数为； 这组数据的平均数为， 故答案为：6，6，6； （4）解：估计该校一周阅读的时间小于的人数为（名） 20． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米）， 米； （2）解：由题意可知，四边形为矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米，米， 在中， ． 解得， 米， 答：返回舱底部离地面的高度约为1614米． 21． 【详解】（1）解：连接， ∵直径， ， 又， ， 是等边三角形， ， （2）解：过点A作于点F，连接，延长交于点G， 由题意，， ∵半圆O与相切于点E， ， ， ， ， ， ， ∵点O为的中点， 点G为的中点， ， ， 即之间的距离为． 22． 【详解】（1）解：∵直线l：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵直线a：交y轴于点C， ∴， 联立，解得：， ∴， ∴， ∴， 联立，解得：， ∴． 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴反比例函数的解析式为； ∵， ∴． （3）解：①∵、 ，， ∴设直线直线的解析式为：， 由题意可得：，解得： ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∵点F在图形L上， ∴，解得：， ∴． ②∵， ∴过点C的直线为，， 当直线为过点时，有，解得：， 当时，直线与图象L上段有交点，但当时，直线与图象L上段没有交点， ∴过点C的直线图象L上段有交点的m的取值范围为：． 23． 【详解】（1）解：抛物线得 当时， ∴点到轴的距离为米，即； 由， ∴顶点坐标为， ∴抛物线最高点到轴的距离为米； （2）解：由题意可设抛物线的解析式为， 根据题意得：， 由，解得，（舍）， ∴， 把，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； 不能，理由， 由题意易知，当抛物线恰好过点时，设， 把，代入， 得，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴当抛物线恰好过点时最高点的纵坐标为， 由（）知，抛物线l1的最高点的纵坐标为， 又∵抛物线的最高点低于抛物线的最高点， ∴结合图象可得弹力球不能落在纸箱内． 24． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵动点P从点A出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点C运动， ∴， ∴； （3）解：依题意，①当点M落在上时，如图1， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得； ②当点M落在上时，如图2， 过点Q作于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 在和中． ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴当正方形的顶点M落在的边上，t的值为2或 （4）解：当点的中点F落在边上时，如图3， 过点Q作于点E， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（3）②可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中， ， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$