精品解析：河北省盐山中学等校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

12月考高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，由斜率求倾斜角即可. 【详解】根据题意有：斜率 故选：B. 2. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程满足条件来求解即可. 【详解】因为是一个圆的方程， 所以，由得: ， 解得， 故选：C. 3. 如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法的三角形法则和平行四边形法则计算即可. 【详解】因为是边的中点，则，. 故选：B 4. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【详解】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 5. 已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用点到线的距离公式，即可计算得出结果. 【详解】由题意得，， 利用点到线的距离公式得 故选：C 6. 已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点为，则可得即为“将军饮马”的最短总路程，求出的坐标，即可求出． 【详解】如图，点关于直线的对称点为，则即为“将军饮马 ”的最短总路程， 设， 则，解得， 则 故“将军饮马”的最短总路程为 故选：A 8. 若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题设易得直线为恒过点的直线，曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），进而结合图象求解即可. 【详解】由，得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），如图， 直线为恒过点的直线， 结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时； 当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时， 综上所述，所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列向量组也可以作为空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共面定理即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,设，，不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，故， 故不存在使得， 故，，能作为空间的一个基底，A正确， 对于B，设，，不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，故， 故存在使得， 故，，不能作为空间的一个基底，B错误， 对于C,设，，不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，故不存在使得， 故，，能作为空间的一个基底，C正确， 对于D,设，，不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故，，能作为空间的一个基底，D正确， 故选：ACD 10. 若圆上有3个不同的点到直线的距离等于1，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】圆心到直线的距离，进而由题得，解方程即可得答案. 【详解】解：因为圆心到直线的距离， 圆上有3个不同的点到直线的距离等于1， 所以，解得. 故选：AD 11. 如图，已知正方体中，E，F，M，N分别是CD，，，BC的中点，则下列说法正确的有（ ） A. E，F，M，N四点共面 B. BD与EF所成的角为 C. 在线段BD上存在点P，使平面EFM D. 在线段上任取点Q，三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 根据四点共面的向量表示直接判断选项A； 利用向量法求BD与EF所成的角，判断选项B； 假设在线段BD上存在点P，符合题意.设，列方程组，由方程组无解，判断选项C； 用向量法判断出，利用线面平行的判定定理证明出平面EFM，即可判断选项D． 【详解】以D为原点，以DA，DC，所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，，，，，， ，，，设， 则，所以， 解得故，即E，F，M，N四点共面，选项A正确； 因为．，所以， 所以BD与EF所成的角为，选项B正确； 假设在线段BD上存在点P，符合题意.设，则， 若平面EFM，则，． 因为，，所以， 此方程组无解，所以在线段BD上不存在点P，使平面EFM，选项C错误； 因为，所以， 又平面EFM，平面EFM，所以平面EFM， 故上的所有点到平面EFM的距离均相等，即在线段上任取点Q， 三棱锥的体积不变，选项D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______ 【答案】 【解析】 【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可. 【详解】由题意知：直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为. 故答案为：. 13. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为： ， ，令得： 又 点B到平面的距离为：. 故答案为：. 14. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】确定圆心为，半径，将四边形的面积转化为，计算点到直线的距离得到答案. 【详解】，即，圆心为，半径， ，即最小时，面积最小. ，故四边形面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为. （1）试判断的形状： （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 ，， ， ，又，， 为直角三角形 【小问2详解】 因为， 所以边上高线所在直线的斜率为, 直线的方程是，即 16. 在底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为2a，点M是A1B1的中点． （1）证明：MC1⊥AB1． （2）求直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值． 【答案】（1）以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，0，， ，，，，，，，，，，，， ，0，，，，， ，． （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明． （2）求出侧面的法向量，利用向量法能求出直线与侧面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，，，0，，，，， 设侧面的法向量，，， 则，取，得，，， 设直线与侧面所成角为， 则直线与侧面所成角的正弦值为： ． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 17. 已知圆，直线与圆相切于点，圆的圆心在直线上，圆过坐标原点，且截直线所得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求圆的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）根据，可得直线的斜率，利用点斜式，可得结果. （2）假设圆心，可得圆的方程，然后根据弦长，结合勾股定理，可得结果. 【详解】（1）∵点在圆上， 且直线的斜率， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为， 即． （2）由已知可设， ∵圆过原点，∴． 圆， 圆心到直线的距离，又弦长为， ∴，解得或， 当时， 圆的方程为； 当时， 圆的方程为． ∴圆的方程为 或． 【点睛】本题考查直线与圆的几何关系，同时考查圆中弦长公式的应用，属基础题. 18. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE折起成，F为线段VD的中点． （1）求证：平面VAE； （2）当平面平面AECD时，求平面ACF和平面CDF夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：取VA的中点G，连接FG，EG， ∵F为线段VD的中点，则，， 又∵E为BC的中点，则在矩形ABCD中，，， ∴，， ∴四边形ECFG为平行四边形，∴， 又∵平面VAE，平面VAE，∴平面VAE．     （2）． 【解析】 【分析】（1）取VA的中点G，连接FG，EG，结合中点易证四边形ECFG为平行四边形，可得，进而结合线面平行的判定定理证明即可； （2）取AE，AD的中点O，H，连接OV，OH，HE，由平面平面AECD可得平面AECD，再得到，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别取AE，AD的中点O，H，连接OV，OH，HE． 由题意可知，∴， 又∵平面平面AECD，平面平面，且平面， ∴平面AECD，又平面AECD，∴，且． 由题意可知，∴，， 如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，，，， ∴，，， 设平面ACF的一个法向量为， 则，取，得， 设平面CDF的一个法向量为， 则，取，得， ∴． ∴平面ACF和平面CDF夹角的余弦值为． 19. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线. ①求曲线的方程，并说明曲线的形状； ②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）①，曲线是为圆心，为半径的圆. ②不存在，理由如下： 设且，， ∴要使为定值，即为定值即可，则， ∴， 又，则， ∴， ∴，可得，又异于原点， ∴不存在，使上任意一点有为定值. 【解析】 【分析】（1）令且，结合题设得圆为，联立直线结合韦达定理及弦长公式列方程求参数m，进而写出圆的方程； （2）①设，，应用坐标表示，，再根据列方程组分别用表示、用表示，最后由点在圆上代入化简即可确定的方程，并说明曲线的形状即可.②设且，，不妨假设为定值，根据两点距离公式、在上化简并整理可得，则多项式方程中的系数及常数项均为0求参数，即可判断存在性. 【小问1详解】 令且，易知圆的半径为， ∴圆的方程为，联立，整理可得， 若与圆交点横坐标分别为、，则，， ∴，解得，又，即， ∴圆的方程为. 【小问2详解】 ①设，，则，， 而， ∴，则， 又在圆上， ∴曲线的方程为， 故曲线是为圆心，为半径的圆. ②略 【点睛】关键点点睛：第二问，利用两个动点的数量关系，将一个未知曲线上的动点坐标表示已知圆上的动点坐标，根据点在圆上代入方程整理得曲线的方程即可；设动点，根据比值为定值列方程并整理为含所设参数的整式方程形式，要使比值不受动点的影响只需保证相关项的系数为0，列方程组求参数判断存在性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12月考高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：与：平行，且过点，则（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 5. 已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若是空间的一个基底，则下列向量组也可以作为空间一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 若圆上有3个不同的点到直线的距离等于1，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知正方体中，E，F，M，N分别是CD，，，BC的中点，则下列说法正确的有（ ） A. E，F，M，N四点共面 B. BD与EF所成的角为 C. 在线段BD上存在点P，使平面EFM D. 在线段上任取点Q，三棱锥的体积不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______ 13. 长方体中，，，则点B到平面的距离为________． 14. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点坐标为. （1）试判断的形状： （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 在底面是正三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为2a，点M是A1B1的中点． （1）证明：MC1⊥AB1． （2）求直线AC1与侧面BB1C1C所成角的正弦值． 17. 已知圆，直线与圆相切于点，圆的圆心在直线上，圆过坐标原点，且截直线所得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求圆的方程． 18. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE折起成，F为线段VD的中点． （1）求证：平面VAE； （2）当平面平面AECD时，求平面ACF和平面CDF夹角的余弦值． 19. 已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且截直线所得的弦长为4. （1）求圆的方程； （2）设点在圆上运动，点，M为线段AB上一点且满足，记点的轨迹为曲线. ①求曲线的方程，并说明曲线的形状； ②在直线上是否存在异于原点的定点，使得对于上任意一点，为定值，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $