广东省广州市三校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

2024-2025学年上学期期末三校联考 高二数学 命题学校：广州大学附属中学 命题人：沈云 审题人：韩六霞 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（ * ） A. B. C. 5 D. 2. 已知，则的值为（ * ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，的前项和为，则（ * ） A．12 B．6 C．3 D．2 4. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ * ） A． B． C． D． 5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ * ） A． B． C． D． 6. 定义在上的函数满足= ，则的值为（ * ） A. B. 0 C.1 D. 2 7. 已知直线与圆相交于，两点，则的最小值为（ * ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 已知双曲线的左顶点为是双曲线的右焦点，点在直线上，且的最大值是，则双曲线的离心率是（ * ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点与点关于点对称.若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（ * ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 10. 在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连结，，则（ * ） A. 四棱锥体积的最大值为 B. 存在某一翻折位置，使得 C. 为的中点，当时，二面角的余弦值为 D. 为的中点，则的长为定值 11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ * ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12．若直线与直线平行，则实数 * . 13．已知用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差是 * . 14．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 * . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分) 已知数列的前项和为，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项和. 16． (本小题满分15分) 如图，在平面四边形中，． （1）证明：； （2）记与的面积分别为和，求的最大值． 17． (本小题满分15分) 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若，与平面所成的角为，试问在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出点到直线的距离；若不存在，请说明理由． 18． (本小题满分17分) 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，过右焦点斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分． ①求的取值范围； ②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程． 19． (本小题满分17分) 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”． （1）试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由； （2）若函数是“H函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“H函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． ( 高二数学试卷 第 1 页 ( 共 4 页 ) ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期期末三校联考 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A C A C B AD ACD ABD 12. 13.148 14. 15.【详解】（1）当时，，……………………………… 1分 当时，， ………………………………3分 当，不成立．……………………………… 4分 所以.………………………………5分 （2）由（1）可知，……………………………… 6分 所以， ……………………………… 9分 . ………………………………13分 16.【详解】解：（1）证明：因为在平面四边形中，， 所以在中，由余弦定理得，………………………………2分 在中，由余弦定理得，………………………………3分 所以，………………………………5分 所以，即．…………………………7分 （2）因为与的面积分别为和， 所以，，………………………………9分 则 ……………………………… 10分 由（1）知：，代入上式得 ，………13分 所以当时，取到最大值14．………………………………15分 17.【解析】（1）由四边形是直角梯形，，，， 可得，，从而是等边三角形，，平分． 为的中点，，，…………………………………3分 又，，平面，平面………………4分 平面，………………………………5分 平面，所以平面平面.…………………………………6分 （2）在平面内作于，连接，由平面， 又平面，平面平面． 因为平面平面，平面，平面 为与平面所成的角，则，由题意得 ，，为的中点，．…………………8分 以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，…………………9分 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设， 由题意得，……………………………………………10分 ，，， 由，得，……………………………………11分 解得，满足题意，，，……………12分 取，，， ，， ，…………………………………………14分 求出点N到直线PD的距离为：. 所以N点直线PD的距离为.…………………………………15分 18.【详解】（1）方法1:特殊值法，令，，且，解得…2分 ∴，，椭圆的方程为 ……………… 4分 方法2:设，由题意（常数）， ………………1分 整理得：，故，又，解得：，．………………3分 ∴，椭圆的方程为． ……………… 4分 方法3:设，则． 由题意 …………2分 ∵为常数，∴，又，解得：，，故……………3分 ∴椭圆的方程为 ……………… 4分 （2）①由，又， ………………6分 ∴（或由角平分线定理得）令，则，设，则有， 又直线的斜率，则， ……………… 7分 代入得： ，即， ∵，∴． ………………10分 ②由①知，，由阿波罗尼斯圆定义知， ………………11分 ，，在以，为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，则有， ………………12分 即，解得：． ……………… 13分 又，故，∴ ………………14分 又， ∴， 解得：，，∴， ∴直线的方程为．………………17分 19.【详解】（1）对于任意，，， 所以，即成立， 故是“H函数”； ……………… 2分 对于，取，则，． 因为，故不是“H函数” ……………… 4分 （2）因为函数是“H函数”， 所以对于任意的，有恒成立，……………… 5分 即恒成立，所以恒成立， ………………7分 又，故，则， 则，………………8分 即，即实数的取值范围为 ………………9分 （3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， ………………10分 令，可知，即， ………………12分 故对于自然数k与正数s，都有，…………… 13分 对任意，可得，又， 所以， ………………15分 同理，………………16分 故 ………………17分 ( 高二数学参考答案 第 1 页 （ 共 9 页 ） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$