第14讲 二次函数的应用（讲练）（思维导图+7考点+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第三章 函数 第14讲 二次函数的应用 （思维导图+7个考点+难度分层练） 考情透视 目标导航 1 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 2 第一部分：常考考点讲练 3 考点1：图形问题（实际问题与二次函数） 3 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数） 9 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数） 17 考点4：销售问题（实际问题与二次函数） 23 考点5：投球问题（实际问题与二次函数） 29 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数） 34 考点7：其他问题（实际问题与二次函数） 38 分层训练 巩固提升 45 基础夯实训练 45 能力拔高训练 52 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的应用 · 能用二次函数解决实际问题 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 第一部分：常考考点讲练 考点1：图形问题（实际问题与二次函数） 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）计算： (1)． (2)（用整式乘法公式）． 【答案】(1) (2)25 【思路点拨】本题考查了整式的乘除、乘法公式的应用，熟练掌握单项式的乘除运算法则，学会应用乘法公式进行简便运算是解题的关键． （1）利用单项式的乘除运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式进行简便运算即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， ． 【变式1】（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【规范解答】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 【变式2】（2024·江苏盐城·二模）校园内有一块三角形空地（如图中的），经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的）种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点E，F分别在边，上，且．已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识点， （1）根据平行线的性质得出，设设米，则米，根据证得，于是有，即可求出，再根据三角形面积公式计算即可； （2）先求出种植牡丹花的面积，再根据种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元即可求出总费用，最后根据二次函数的性质即可求出最小值； 熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）如图，设与相交于点G， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴； （2）存在， ∵米，边上的高米， ∴（平方米）， ∴（平方米）， 设种植月季花和牡丹花的总费用为W元， 则 ， ∵， ∴W有最小值， 当时，W有最小值，是（元）， ∴种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元． 【变式3】（2024·江苏南通·一模）问题情境： “综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为． 翻折后的纸片如图1所示 （1）的度数为____________； （2）若，求的最大值； 拓展应用： （3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【思路点拨】（1）由折叠性质得出，结合平角定义，化简得，即可作答． （2）设则设，由矩形、折叠性质得，证明，即，代入数值进行计算，得，结合二次函数的图象性质，即可作答． （3）补全矩形，过点作，连接，由折叠得出，，运用勾股定理，得，则，即可作答． 【规范解答】解：（1）如图： ∵点沿翻折，使点落在矩形内部处，与所在直线重合，点落在直线上的点处， ∴， ∵， ∴， 即的度数为； （2）设则设， ∵折叠 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴开口向下，在时，有最大值， 把代入，得出； ∴的最大值为 （3）如图：补全矩形，过点作，连接 由折叠情景，得出 由勾股定理，得出 ∴ ∵ ∴ 【考点评析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数） 【例2】（2024·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； (2)求矩形花圃面积的最大值； (3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 【答案】(1)； (2)300平方米 (3)18米或11米 【思路点拨】（1）先求出，利用矩形面积公式求出函数关系式，由得到x的取值范围； （2）利用自变量的取值范围，结合抛物线的增减性即可得到答案； （3），，设，则，根据题意列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向下， 令， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y最大值为， ∴矩形花圃面积的最大值为； （3）解：当时，，， 设，则，则： ，， ∴， ， ∵两种鲜切花的年收入之和达到28800元， ∴， 解得：，， 答：的长为或． 【考点评析】此题考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质与图象，求不等式组的解集，一元二次方程的应用，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 【变式1】（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    【答案】 / 【思路点拨】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质．结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值． 【规范解答】解：连接，如图所示：   ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 设，则， ， ， ，解得， ， ， ； ， ， 的面积的最小值是， 故答案为：，． 【变式2】（9-10九年级·重庆·期中）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可． 【规范解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当时，， 此时函数的图象为抛物线的一部分， 它的最高点为抛物线的顶点，最低点为； 当时，点E停留在B点处， 故，此时函数的图象为直线的一部分， 它的最上点可以为，它的最下点为． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A． 【变式3】．（2023·江苏淮安·一模）如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．      【答案】4 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，涉及二次函数图象与性质，设点运动的距离，则点运动的距离，表示出，然后根据二次函数的图象与性质求解即可得到答案，读懂题意，准确表示出是解决问题的关键． 【规范解答】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大， 故答案为：4． 【变式4】（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在梯形中，ADBC，，，，点从点出发沿折线方向向点匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向向点匀速运动，速度为，、同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点、运动的时间是． (1)当点在上运动时，如图①，，是否存在某一时刻，使四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)当点在上运动时，如图②，设的面积为，试求出与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使的面积是梯形的面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，设的长为，试确定与之间的关系式． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3)存在，当t=6时，的面积是梯形ABCD的面积的 (4) 【思路点拨】（1）求出CE长度，根据平行四边形对边平行且相等，建立等量关系：PD=QE，根据题意建立方程求解即可； （2）过点P作PM⊥BC，用t表示出CP，CQ，PM，进一步表示三角形面积即可； （3）分情况表示出三角形PQC的面积，求出梯形面积，根据题意建立方程即可求解； （4）求出x与t的关系，代入（2）中关系式即可求解． 【规范解答】（1）不存在，理由如下： 解：∵，， ， ∴在直角三角形DEC中，， ∴， 设P，Q运动的时间是t(s)， 则，， 使四边形是平行四边形，有PD=QE， ∴， 解得，， 此时，点P与点Q重合，不能构成平行四边形； （2）解：由题意得，，， 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ， ∴； （3）解：如图所示，过点D作，连接PC， ∵， ， ∴， ， ∴梯形ABCD的面积为：， 当时，， 则， 由题意得，， 解得，（舍）， 当时，由（2）知，， 则 解得：或（舍）， 综上，当时，的面积是梯形的面积的； （4）解：如图所示，过点P作， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 当PQ=x时，， ， ∴ ． 【考点评析】本题考查了四边形的综合问题，会根据平行四边形的性质研究点的存在问题，会用变量表示三角形面积，会运用方程解决相关问题是解题的关键． 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数） 【例3】（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【思路点拨】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【考点评析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 【答案】(1) (2)1米 【思路点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，矩形和正方形的性质等知识，掌握待定系数法和表示出点G的解析式是解题的关键． （1）先求出点C、M的坐标，再用顶点式设出抛物线表达式，将点C代入求出a即可得解； （2）设这个正方形窗户 的边长为米，表示出点G的坐标，再代入抛物线解析式求出m即可． 【规范解答】（1）解：∵在矩形中，米，米， ∴米，米， ∴，，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米， ∴， 设抛物线的解析式是：， 将点C代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设这个正方形窗户 的边长为米， 即， ∴点G的纵坐标是：(米)， 由抛物线和正方形的对称性可知：， ∴(米)， ∴点G的横坐标是：(米)， ∴， 将点G代入抛物线解析式得：， 解得：(舍去) ∴这个正方形窗户的边长为1米． 【变式2】（2022·江苏宿迁·二模）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为． (1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； (2)当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设所求表达式为，然后应用待定系数法求解即可； （2）当水面宽时，在（1）所得函数解析式中，令x=5，可以求出达到警戒水位后拱桥最高点到水面的距离，用这个距离除以水位上涨速度即可得解． 【规范解答】（1）如图，建立平面直角坐标系． 设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为，由题意，可知图象的顶点坐标为 ∵ ∴点坐标为 ∴ ∴ ∴所求函数表达式为； （2）当水面宽时， ∴当时， ， ∴函数图象经过（5，3）， ． 答：当达到警戒水位后，再过此桥孔将被淹没． 【考点评析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数模型的建立方法、待定系数法求二次函数解析式的方法、函数自变量与因变量的意义等是解题关键． 【变式3】（20-21九年级下·吉林长春·阶段练习）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为 ． 【答案】10m 【思路点拨】以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出点B坐标，设该抛物线的表达式为y=ax2，代入点B坐标求出解析式，进而求得点E坐标，即可求解． 【规范解答】解：根据题意，以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（12，﹣8）， 设该抛物线的表达式为y=ax2， 将B（12，﹣8）代入，得：﹣8=a·122， 解得：a=， ∴该抛物线的表达式为y=x2， 当x=18时，y=×182=﹣18，∴E（18，﹣18）， ∴点到直线的距离为﹣8﹣（﹣18）=10m， 故答案为：10m． 【考点评析】本题考查二次函数的应用、求二次函数的解析式式，建立适当的平面直角坐标系，借助二次函数数学模型解决实际问题是解答的关键． 考点4：销售问题（实际问题与二次函数） 【例4】（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大 (3)2 【思路点拨】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键． （1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解； （3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少， ∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）解：设日获利为元，由题意得： ， 对称轴为， 当时，，则当时，有最大值，将代入，得： ， 当时， ， 解得（舍去）； 当，，则当时，有最大值，将代入，得： 当时， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为． 【变式1】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【思路点拨】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【规范解答】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 【变式2】（2024·江苏无锡·模拟预测）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，． (1)求线段所表示的与之间的函数表达式； (2)若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若，该产品获得的利润最大利润是______． 【答案】(1) (2)若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元 (3)元 【思路点拨】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）先求出时，与x之间的函数关系式，再根据：总利润=销售量（售价-成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况； （3）用含的式子表示出与之间的函数关系式，根据：总利润=销售量（售价-成本）列出函数关系式，再结合判断其最值情况． 【规范解答】（1）解：设线段所表示的与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）解：若，设与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， 设产量为时，获得的利润为元， 根据题意，得：， 当时，取得最大值，最大值为， 答：若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元； （3）解：设， 由题意得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， ， ， ，， ，即该抛物线对称轴在轴左侧， 当时，随的增大而增大， 当时，的值最大，元． 时，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为元． 故答案为：元． 【变式4】（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值． 【答案】(1) (2)元 (3)元，元 【思路点拨】（1）依题意设，待定系数法求解即可； （2）当时，，当时，，根据，计算求解即可； （3）设总收益为W元，则，由，可知当时，W有最大值，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意设， 将，代入得，， 解得， ∴． （2）解：当时，， 当时，， ∴； 答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为元． （3）解：设总收益为W元，则， ∵， ∴当时，W有最大值． 答：政府应将每台补贴款额定为元时，可获得最大利润元． 【考点评析】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 考点5：投球问题（实际问题与二次函数） 【例5】（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 【变式1】（2024·河北邯郸·一模）如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)小球不能飞过这个障碍物，理由见解析 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式， （1）设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案； （2）把分别代入和，即可得到答案； 利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵该抛物线最高点的坐标为， ∴设， ∵在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）将代入， 得：， 将代入， 得：， ∴， ∵， ∴小球不能飞过这个障碍物． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为． (1)从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系． 与的几组数据如下表所示： 水平距离（cm） 0 40 80 120 160 180 竖直高度（cm） 18 42 50 42 18 0 根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式． (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上． 【答案】(1) (2)乒乓球再次落下时仍落在球桌上 【思路点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量值． （1）根据题意将代入函数解析式即可得到，再回代函数即可得到本题答案； （2）根据题意将代入中求得的值，再令求出的值与桌面总长比较即可． 【规范解答】（1）解：∵乒乓球离桌面竖直高度的最大值为， ∴设：，将代入， 即：，解得， ， 故答案为：； （2）解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下： ∵由（1）得 ∵离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系， ∴将代入中， 即：，解得：（舍去）或， ∴乒乓球第一次落在球桌后弹起，他的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系， ∴令，即，解得：或（舍去）， ∵， 乒乓球再次落下时仍落在球桌上， 故答案为：乒乓球再次落下时仍落在球桌上． 【变式3】（2023·江苏盐城·一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同． 已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线． (1)求小铁球从抛出到落地所需的时间； (2)当时，求小铁球P此时的坐标； (3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)，自变量x的范围是 【思路点拨】（1）将代入，求出t即可； （2）将代入，得到点P的横坐标；将代入即可得到纵坐标； （3）由（1）可知， 设抛物线的函数表达式为，将、、代入，求出解析式及自变量x的范围． 【规范解答】（1）将代入，得， 解得． （2）当时，，， ∴， ∴此时． （3）由（1）可知，∴， 设抛物线的函数表达式为， 将、、代入， 解得， 自变量x的范围是． 【考点评析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确理解图形及各等量关系是解题的关键． 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数） 【例6】（2023·山东滨州·中考真题）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长 米． 【答案】//2.25 【思路点拨】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立平面直角坐标系，设二次函数顶点式，求出二次函数解析式，再求出抛物线与y轴交点坐标即可． 【规范解答】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为：， 令，得， 故答案为：． 【变式1】（2023·江苏泰州·三模）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.4m的树，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系．    (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 ①根据上述数据，求满足的函数关系； ②当喷水头喷出的水柱高度为2.80m时，x的值______． (2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围． 【答案】(1)①②或14 (2) 【思路点拨】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②把代入解析式，进行求解即可； （2）根据喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，得到当时，，当时，，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①由表格可知，抛物线过原点，设抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，解得：， ∴； ②当时，， 解得：或； 故答案为：或14； （2）由题意，得：当时，，当时，， ∴， 解得：； ∴． 【考点评析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． 【变式2】（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【答案】8 【思路点拨】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h． 【规范解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 【考点评析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 【变式3】（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    【答案】 【思路点拨】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【规范解答】解：由题意可知： 、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式， 解得：， ， 消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米， 平移后的抛物线解析式为：， 令，解得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． 考点7：其他问题（实际问题与二次函数） 【例7】（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路点拨】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【考点评析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】（1）根据题意把代入，得到，即可解答．根据顶点式写出抛物线表达式，将，代入即可得到解析式； （2）根据对两个函数列出不等式，求解即可； （3）设出未知数，根据条件列出方程，解方程即可． 本题考查是二次函数的应用，解题关键是利用顶点式求出解析式，利用条件列出不等式，求出根据和当时对应的函数值相同求出t的值． 【规范解答】（1）解：根据题意，把代入可得：， ∵以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，第时学生的注意力指数y达到最大值92， ∴可设抛物线的解析式为：， 把代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：84，； （2）解：由学生的注意力指数不低于80，即， 当时，由可得：； 当时，则，即， 整理得：，解得：， ∴（分钟）， 答：在一节45分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间约有20分钟； （3）解：设教师上课后从第t分钟开始讲解这道题， 由于， 要使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大， 则当和当时对应的函数值相同， 即， 整理得： 解得：（不合题意，舍去） ∴ 答：教师上课后从第4分钟开始讲解这道题，能使学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大． 【变式2】（2024·江苏泰州·二模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示． 时间 0 2 8 10 … 平均速度 0 4 14 … (1)表格中时，v的值为 ． 小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ； (2)求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式； (3)求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程． 【答案】(1)16， (2) (3) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把，代入，求出，把代入求出；把，；，代入求解即可； （2）把代入，求出，把，；，代入求解即可； （3）把（2）中化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解∶把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 把，；，代入， 得，解得， ∴， 故答案为∶16， ； （2）解：当时，， 把，；，代入， 得， 解得， ； （3）解： ∴当时，s有最大值为192， 即求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程． 【变式3】（2023·北京海淀·一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)①2.8；②0.98 (2)野兔此次跳跃能跃过篱笆． 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m，求出函数解析式，再把代入解析式求出与0.8比较即可． 【规范解答】（1）解：①由，和，可知， 野兔本次跳跃的最远水平距离为（米， 对称轴为直线， 当时，有最大值0.98， 野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米， 故答案为：2.8，0.98； ②设抛物线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 根据题意得：， 解得， 野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为， 当时，， ， 野兔此次跳跃能跃过篱笆． 基础夯实训练 1．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是　　 A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒 解：此炮弹在第6与第13秒时的高度相等， 抛物线的对称轴是：， 炮弹所在高度最高是9.5秒， 在四个选项中炮弹所在高度最高的是9秒． 故选：． 2．（2021•建湖县一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为　　 A． B． C． D． 解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， 抛物线对称轴在36和54之间，约为， 旋钮的旋转角度在和之间，约为时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：． 3．（2016•南京校级二模）小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度（米与旋转时间（分之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得部分数据如下表： 分 2.66 3.23 3.46 米 69.16 69.62 68.46 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是　　 A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分 解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，接近3.23， 所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟． 故选：． 4．（2020•赣榆区模拟）地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是；③小球的高度时，；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是　　 A．①④ B．①② C．①②④ D．②③ 解：①小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故①正确； ②由图象知小球在空中达到的最大高度是；故②错误； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， 小球的高度时，或，故③错误； ④小球抛出3秒后速度越来越快；故④正确； 故选：． 5．（2024•启东市一模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 　4　． 解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 6．（2024•浦口区校级三模）如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且．是线段的中点，运动过程中，的最小值为 　　． 解：设，则，， ， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 是线段的中点， ， 的最小值为． 故答案为：． 7．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 　　米．（结果保留根号） 解：建立平面直角坐标系如图所示： 则抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点坐标代入， 可得：， 解得：， 故抛物线的解析式为， 将代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度为米， 故答案为：． 8．（2024•宿迁三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为 　7　． 解：建立如图所示坐标系，作轴于点， 各点坐标为：，，，． 设， 把点坐标代入解析式得：， 解得， ， ，， ， ， ， 设， ，， ， 即， 解得（舍去），， ， ． 故答案为：7． 9．（2024•东台市一模）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 解：（1）设道路的宽为米，根据题意得， ， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， ， 当时，月租金收入最大为12500元， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大． 10．（2024•六合区校级三模）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价（单位：元） 20 25 30 销量（单位：件） 100 80 60 其中，均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． （1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价的关系式是 　　；甲种玩具每件售价与乙种玩具每件售价的关系式是 　　； （2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格． 解：（1）设乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价（单位：元）之间是一次函数关系为， 把，代入得： ， 解得， 乙种玩具每天的销量与每件售价的关系式是； 按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，且销售单价高于进价， ，即； 故答案为：；； （2）甲种玩具的总利润为800元， ， 解得， ， 解得， （元， 乙种玩具的总利润是800元； （3）， ， ， 设两种玩具每天销售的总利润之和为元， 根据题意得：， ，且，均为非负整数， 时，取最大值， 甲种玩具每件的销售价格是34元． 能力拔高训练 11．（2020•江阴市一模）如图，在矩形纸片中，，，沿对角线剪开（如图①；固定，把沿方向平移（如图②，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离等于　　 A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2 解：如图，设交于点， ， 设，， ，， ， ， 两个三角形重叠部分的面积是， 当时，阴影部分的面积最大， ， 故选：． 12．（2021•南通模拟）已知是关于的函数，若其函数图象经过点，则称点为函数图象上的“雨花点”，例如：上存在“雨花点” ．函数的图象上存在唯一的一个“雨花点”，且当时，的最小值为，则的值　　 A．或 B．或 C．或 D．或 解：， 整理得：， 由题意得：△， ， ①当时，时，取得最小值， 即：， 解得：； ②当时，，取得最小值， 即：， 解得：无解； ③当时，，取得最小值， 即：， 解得：， ， 舍去， 的值为：或． 故选：． 13．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是　　 A． B． C． D． 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ，， 设 ， 则，， 在中，， ， ，， 梯形面积， 当时，． 即长为时，使梯形储料场的面积最大为； 故选：． 14．（2022•海州区校级三模）如图，某校的围墙由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高为0.36米，则立柱的长为　0.2　米． 解：如图，以点为坐标系的原点，所在直线为轴建立坐标系， 设抛物线解析式为， 由题知，图象过， 代入得： ，即． 点横坐标为， 当时，， 米 故答案为0.2． 15．（2023•淮阴区一模）如图，中，，，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为　4　时，的面积最大． 解：设点运动的距离为，则点运动的距离也为， ， 当时，的面积最大， 故答案为：4． 16．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 　4　． 解：当时，， ， ， 解得：，， 故他距篮筐中心的水平距离是． 故答案为：4． 17．（2024•新吴区一模）天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶．根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为60瓶，每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶．设每瓶售价为元，日销售量为瓶． （1）当时， 　50　； （2）当每瓶售价定为多少元时，日销售利润（元最大？最大利润是多少？ （3）判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是 　　命题（填“真”或“假” ，并说明理由． 解：（1）， 故答案为：50； （2）由题意可得，， 则， 每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶， ， 解得， ， 当 时，有最大值，最大利润为240， 答：当每瓶售价定为10元时，日销售利润（元最大，最大利润是240元； （3）设日销售额为元， 则， ，， 当时，日销售额有最大值为405元， 而此时日销售利润为225元，不是最大， 所以原命题是真命题， 故答案为：真． 18．（2013•宝应县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 解：（1）是的一次函数，设图象过点，， ， 解得． 故与之间的函数关系为：， 当时，；当时，， 即点，均在函数的图象上． 与之间的函数关系式为； （2） 即与之间的函数关系式为； （3）由题意得，解得． 图象对称轴为， ， 抛物线开口向下，当时，随增大而减小， 当时，． 即以15元个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． 19．（2024•崇川区校级模拟）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价（元与月份的函数关系如图所示，该服装每件的进价（元与月份的关系为． （1）①求与之间的函数关系式； ②第3个月每件服装的利润是多少？ （2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）①设与之间的函数关系式为． 当时，将，代入得：， 解得：， 此时与之间的函数关系式为； 当时，． 综上所述，与之间的函数关系式为； ②当时，，， ， 第3个月每件服装的利润是49元； （2）设每个月的利润为元，则， ． 当时，， 即， ， 当时，取得最大值，最大值； 当时，， 即， ， 当时，取得最大值，最大值． ， 第10个月能获得最大利润，最大利润是16400元． 20．（2024•梁溪区校级模拟）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系，已知，． （1）求线段所表示的与之间的函数表达式； （2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若，该产品获得的利润最大利润是 　1200元　． 解：（1）设线段所表示的与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）若，设与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， 设产量为时，获得的利润为元，根据题意，得： ， 当时，取得最大值，最大值为1350， 答：若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是1350元； （3）设，由题意得：，解得：， 这个函数的表达式为：， ， ， ，， ，即该抛物线对称轴在轴左侧， 当时，随的增大而增大， 当时，的值最大，元． 时，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为1200元． 故答案为：1200元． 21．（2021秋•仪征市期末）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价（元件）、月销售量（件、月销售利润（元的部分对应值如表： 售价（元件） 40 45 月销售量（件 300 250 月销售利润（元 3000 3750 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求关于的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围． 解：（1）设一次函数解析式为， 根据题意，得 ， 解得：， 所以与的函数表达式为； （2）由表中数据知，每件商品进价为（元， 设该商品的月销售利润为元， 则， ， 当时，最大，最大值为4000， 当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元； （3）根据题意得：， 对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大， ， 解得：， ， 的取值范围为． 22．（2023•高新区一模）苏州乐园森林世界位于美丽的大阳山东南角，包含25项森林主题演出与游乐项目，其中“冲上云霄”是其经典项目之一，其轨道总长约1040米，极限高度62.5米．如图所示，为“冲上云霄”过山车的一部分轨道为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长度； （3）现需要对轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求．如何设计支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？ 解：（1）由图象可设抛物线解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）当时，， 解得：，， ，， ， 抛物线的形状与抛物线完全相同， 抛物线由抛物线右平移个单位， 抛物线为：， 当时，， ； （3）设，，， ，， ， ， 开口向上， 当时，最短，最短为米， 即当时用料最少，最少需要材料米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第14讲 二次函数的应用 （思维导图+7个考点+难度分层练） 考情透视 目标导航 1 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 2 第一部分：常考考点讲练 3 考点1：图形问题（实际问题与二次函数） 3 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数） 6 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数） 9 考点4：销售问题（实际问题与二次函数） 11 考点5：投球问题（实际问题与二次函数） 14 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数） 18 考点7：其他问题（实际问题与二次函数） 20 分层训练 巩固提升 24 基础夯实训练 24 能力拔高训练 31 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的应用 · 能用二次函数解决实际问题 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 第一部分：常考考点讲练 考点1：图形问题（实际问题与二次函数） 【例1】（24-25八年级上·河南信阳·期末）计算： (1) ． (2)（用整式乘法公式）． 【变式1】（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【变式2】（2024·江苏盐城·二模）校园内有一块三角形空地（如图中的），经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的）种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点E，F分别在边，上，且．已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【变式3】（2024·江苏南通·一模）问题情境： “综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动． 第1步：有一张矩形纸片，在边上取一点沿翻折，使点落在矩形内部处； 第2步：再次翻折矩形，使与所在直线重合，点落在直线上的点处，折痕为． 翻折后的纸片如图1所示 （1）的度数为____________； （2）若，求的最大值； 拓展应用： （3）一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片，其中的一边与矩形纸片的一边重合，，，求该矩形纸片的面积． 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数） 【例2】（2024·江苏连云港·一模）张老师在中考总复习二次函数时，对九下教材第8页练习3（3）进行变式探究：如图，用长为的护栏围成一块靠墙，中间用护栏隔开的矩形花圃,其中，且墙长为． (1)设，矩形花圃的面积为．则y关于x的函数关系式为__________，x的取值范围为__________； (2)求矩形花圃面积的最大值； (3)在（2）的情况下，若将矩形和矩形分别种植甲、乙两种鲜切花．甲种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为；乙种鲜切花的年收入（单位：元）与种植面积的函数关系式为，若两种鲜切花的年收入之和达到28800元，求的长． 【变式1】（2024·江苏无锡·一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    【变式2】（9-10九年级·重庆·期中）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A． B． C． D． 【变式3】．（2023·江苏淮安·一模）如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．      【变式4】（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在梯形中，ADBC，，，，点从点出发沿折线方向向点匀速运动，速度为；点从点出发，沿方向向点匀速运动，速度为，、同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点、运动的时间是． (1)当点在上运动时，如图①，，是否存在某一时刻，使四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)当点在上运动时，如图②，设的面积为，试求出与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使的面积是梯形的面积的？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (4)在（2）的条件下，设的长为，试确定与之间的关系式． 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数） 【例3】（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【变式1】（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 【变式2】（2022·江苏宿迁·二模）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为，此时拱桥的最高点到水面的距离为． (1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式； (2)当水面宽时，达到警戒水位，如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【变式3】（20-21九年级下·吉林长春·阶段练习）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于，两点，拱桥最高点到的距离为，，，为拱桥底部的两点，且，若的长为，则点到直线的距离为 ． 考点4：销售问题（实际问题与二次函数） 【例4】（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 【变式1】（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【变式2】（2024·江苏无锡·模拟预测）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，． (1)求线段所表示的与之间的函数表达式； (2)若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若，该产品获得的利润最大利润是______． 【变式4】（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足：． (1)在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式； (2)在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？ (3)要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值． 考点5：投球问题（实际问题与二次函数） 【例5】（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【变式1】（2024·河北邯郸·一模）如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由． 【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·期末）已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，设乒乓球离桌面的竖直高度为，离球桌边缘的水平距离为． (1)从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，与近似满足函数关系． 与的几组数据如下表所示： 水平距离（cm） 0 40 80 120 160 180 竖直高度（cm） 18 42 50 42 18 0 根据表中数据，直接写出乒乓球离桌面竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式． (2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它离桌面的竖直高度与离球桌边缘的水平距离近似满足函数关系，通过计算说明乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上． 【变式3】（2023·江苏盐城·一模）比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔，据说物理学家伽利略曾在塔顶上做过著名的自由落体试验：在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同． 已知：某建筑的高度为44.1m，将一个小铁球P（看成一个点）从A处向右水平抛出，在水平方向小铁球移动的距离与运动时间之间的函数表达式是：，在竖直方向物体的下落距离与下落时间之间的函数表达式为．以点O为坐标原点，水平向右为x轴，所在直线为y轴，取1m为单位长度，建立如图所示平面直角坐标系，已知小铁球运动形成的轨迹为抛物线． (1)求小铁球从抛出到落地所需的时间； (2)当时，求小铁球P此时的坐标； (3)求抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数） 【例6】（2023·山东滨州·中考真题）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长 米． 【变式1】（2023·江苏泰州·三模）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.4m的树，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系．    (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 ①根据上述数据，求满足的函数关系； ②当喷水头喷出的水柱高度为2.80m时，x的值______． (2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围． 【变式2】（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【变式3】（2023·吉林长春·中考真题）年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．    考点7：其他问题（实际问题与二次函数） 【例7】（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【变式1】（2024·广东·模拟预测）科学研究表明：一般情况下，在一节的课堂中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．经过实验分析，在时，学生的注意力呈直线上升，学生的注意力指数y与时间满足关系；以后，学生的注意力指数y与时间的图象呈抛物线形，到第时学生的注意力指数y达到最大值92，而后学生的注意力开始分散，直至下课结束． (1)当时，注意力指数y为 ，8min以后，学生的注意力指数y与时间x(min)的函数关系式是 ； (2)若学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长（精确到）？ (3)现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这内的最低值达到最大，则该教师上课后从第几分钟开始讲解这道题(精确到；参考数据)？ 【变式2】（2024·江苏泰州·二模）如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，经过8秒到达水平面后继续滚动，呈匀减速运动状态，设小球从斜面顶端开始到在水平面上停止的过程中运动t秒时的速度为v（单位：），滚动的路程为s（单位：）．结合物理学知识可知，小球在斜面滚动时v与t的函数表达式为，s与t的函数表达式为；在水平面滚动时v与t的函数表达式为．s与t的函数表达式为．v与t部分数据如下表所示，s与t的部分函数图像如图2所示． 时间 0 2 8 10 … 平均速度 0 4 14 … (1)表格中时，v的值为 ． 小球在水平面滚动过程中v与t的函数表达式为 ； (2)求小球在水平面滚动时s与t的函数表达式； (3)求小球从斜面顶端开始到在水平面上停止滚动的总路程． 【变式3】（2023·北京海淀·一模）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：根据数据，回答下列问题： 水平距离 0 0.4 1 1.4 2 2.4 2.8 竖直高度 0 0.48 0.9 0.98 0.8 0.48 0 (1)①野兔本次跳跃的最远水平距离为 m，最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式； (2) 已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 基础夯实训练 1．（2022•丰县二模）向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是　　 A．第7秒 B．第9秒 C．第11秒 D．第13秒 2．（2021•建湖县一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为　　 A． B． C． D． 3．（2016•南京校级二模）小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度（米与旋转时间（分之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得部分数据如下表： 分 2.66 3.23 3.46 米 69.16 69.62 68.46 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是　　 A．7分 B．6.5分 C．6分 D．5.5分 4．（2020•赣榆区模拟）地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时速度为0；②小球在空中经过的路程是；③小球的高度时，；④小球抛出3秒后，速度越来越快．其中正确的是　　 A．①④ B．①② C．①②④ D．②③ 5．（2024•启东市一模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 　　． 6．（2024•浦口区校级三模）如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且．是线段的中点，运动过程中，的最小值为 　　． 7．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 　　米．（结果保留根号） 8．（2024•宿迁三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为 　　． 9．（2024•东台市一模）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 10．（2024•六合区校级三模）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价（单位：元）的函数关系为，乙种玩具每天的销量（单位：件）与每件售价（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价（单位：元） 20 25 30 销量（单位：件） 100 80 60 其中，均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． （1）直接写出乙种玩具每天的销量与每件售价的关系式是 　　；甲种玩具每件售价与乙种玩具每件售价的关系式是 　　； （2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格． 能力拔高训练 11．（2020•江阴市一模）如图，在矩形纸片中，，，沿对角线剪开（如图①；固定，把沿方向平移（如图②，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离等于　　 A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.2 12．（2021•南通模拟）已知是关于的函数，若其函数图象经过点，则称点为函数图象上的“雨花点”，例如：上存在“雨花点” ．函数的图象上存在唯一的一个“雨花点”，且当时，的最小值为，则的值　　 A．或 B．或 C．或 D．或 13．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该梯形储料场的最大面积是　　 A． B． C． D． 14．（2022•海州区校级三模）如图，某校的围墙由一段段相同的凹曲拱形栅栏组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高为0.36米，则立柱的长为 　　米． 15．（2023•淮阴区一模）如图，中，，，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为　　时，的面积最大． 16．（2022•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是 　　． 17．（2024•新吴区一模）天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于6元，日销售量不低于40瓶．根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为60瓶，每瓶售价每提高1元，日销售量减少5瓶．设每瓶售价为元，日销售量为瓶． （1）当时， 　　； （2）当每瓶售价定为多少元时，日销售利润（元最大？最大利润是多少？ （3）判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是 　　命题（填“真”或“假” ，并说明理由． 18．（2013•宝应县模拟）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的对应关系如图所示： （1）试判断与之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）若许愿瓶的进价为6元个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数关系式； （3）在（2）的前提下，若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润． 19．（2024•崇川区校级模拟）小颖大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理某品牌服装的销售．该服装初始售价为每件100元，小颖统计开业10个月以来该服装的每件售价（元与月份的函数关系如图所示，该服装每件的进价（元与月份的关系为． （1）①求与之间的函数关系式； ②第3个月每件服装的利润是多少？ （2）若小颖每个月购进该服装120件，当月销售完毕，第几个月能获得最大利润？最大利润是多少？ 20．（2024•梁溪区校级模拟）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价（单位：元）与产量（单位：之间的函数关系，已知，． （1）求线段所表示的与之间的函数表达式； （2）若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若，该产品获得的利润最大利润是 　　． 21．（2021秋•仪征市期末）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件是售价（元件）的一次函数，其售价（元件）、月销售量（件、月销售利润（元的部分对应值如表： 售价（元件） 40 45 月销售量（件 300 250 月销售利润（元 3000 3750 注：月销售利润月销售量（售价进价） （1）求关于的函数表达式； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价的增大而增大，求的取值范围． 22．（2023•高新区一模）苏州乐园森林世界位于美丽的大阳山东南角，包含25项森林主题演出与游乐项目，其中“冲上云霄”是其经典项目之一，其轨道总长约1040米，极限高度62.5米．如图所示，为“冲上云霄”过山车的一部分轨道为轨道最低点），它可以看成一段抛物线．其中米，米（轨道厚度忽略不计）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）在轨道距离地面5米处有两个位置和，当过山车运动到处时，又进入下坡段（接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同，求的长度； （3）现需要对轨道下坡段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架、、、，且要求．如何设计支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$