第13讲 二次函数的图象与性质（讲练）（思维导图+14考点+6种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 （思维导图+14个考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考点探究 4 重点考点一 二次函数的相关概念 4 重点考点二 二次函数的图象与性质 5 重点考点三 二次函数与各项系数之间的关系 9 重点考点四 二次函数与方程、不等式 11 题型精研 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：二次函数的定义 12 考点2：二次函数的图象 13 考点3：二次函数的性质 13 考点4：二次函数图象与系数的关系 16 考点5：二次函数图象上点的坐标特征 18 考点6：二次函数图象与几何变换 19 考点7：二次函数的最值 20 考点8：待定系数法求二次函数解析式 21 考点9：二次函数的三种形式 22 考点10：抛物线与x轴的交点 22 考点11：二次函数与不等式（组） 24 考点12：根据实际问题列二次函数关系式 26 考点13：二次函数的应用 26 考点14：二次函数综合题 28 第二部分：高频题型洞悉 30 题型1：二次函数的字母系数相关问题 30 题型2：抛物线的平移、旋转、对称 31 题型3：二次函数和其他函数图像的综合题 33 题型4：二次函数与方程（组）之间的关系 36 题型5：二次函数与不等式（组）之间的关系 37 题型6：二次函数与几何、代数的综合问题 38 分层训练 巩固提升 40 基础夯实训练 40 能力拔高训练 44 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的相关概念 · 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数的图象与性质 · 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. · 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 二次函数与各项系数的关系 · 理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程、不等式 · 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. · 重点考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 1.判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数. 2.求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 重点考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 重点考点三 二次函数与各项系数之间的关系 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 重点考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 第一部分：常考考点讲练 考点1：二次函数的定义 【例1】（2022•泗阳县一模）下列函数中是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•江都区月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是　　 A． B． C． D． 考点2：二次函数的图象 【例2】（2025•泗洪县一模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•姑苏区校级二模）已知二次函数，为常数）．命题①：该函数的图象经过点；命题②：该函数的图象经过点；命题③：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是 A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 考点3：二次函数的性质 【例3】（2024•新吴区二模）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过点，，顶点为，抛物线过点，，顶点为，若点在线段上，则的值为　　 A．2 B． C． D． 【变式1】（2024•常熟市模拟）如图，点是二次函数为常数）的图象与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图象上，则的值为 　　． 【变式2】（2024•泰兴市一模）小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格： 0 1 2 3 4 5 7 4 3 4 7 ■ （1）表格中的“”数据被污染了，求被污染的数据； （2）张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题：当时，求函数值的取值范围． 如下是小颖同学的解答过程： 小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果． 【变式3】（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． （1）求和的值； （2）为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值； 考点4：二次函数图象与系数的关系 【例4】（2024•涟水县模拟）已知，抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③方程 有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（2024•盐都区校级二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点． （1）① 　　0（填“”或“” ； ②当时，求的值； （2）若点和点也在二次函数图象上，且，． ①求的取值范围； ②若两不同点和，都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围． 【变式2】（2024•东海县校级模拟）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移4个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点，． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【变式3】（2022•射阳县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线，顶点为，直线与抛物线交于点，点． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）． （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当时，求抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标； ②当抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求的取值范围． 考点5：二次函数图象上点的坐标特征 【例5】（2022•东海县校级三模）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上，且．设，则的值可以是　　 A． B． C．1 D． 【变式1】（2024•苏州）二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 　　． 【变式2】（2022•泗阳县一模）二次函数的图象如图所示，点、、、、在二次函数位于第一象限的图象上．点、、、、在轴的正半轴上，△，、△、、△都是等腰直角三角形，则　　． 考点6：二次函数图象与几何变换 【例6】（2024•泗洪县一模）抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022•工业园区校级一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”（原点除外）． （1）若抛物线上只有唯一的“二倍点”，求的值及“二倍点”的坐标； （2）平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式． 【变式2】（2023•工业园区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． （1）判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求，的值； （3）平移抛物线，若所得新抛物线的顶点仍在直线上，且经过点，求新抛物线的表达式． 考点7：二次函数的最值 【例7】（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 　　；运动过程中，的面积的最小值是 　　． 【变式2】（2024•徐州）如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求、的值； （2）求△的面积的最大值． 考点8：待定系数法求二次函数解析式 【例8】（2024•海安市一模）设函数，，是实数），当时，；当时，．则　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2024•鼓楼区三模）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点．点为线段上的一动点（不与点重合），连接、，将沿直线翻折得到△，交抛物线于另一点，连接． （1）抛物线的解析式 　　； （2）当时，求点的坐标． 【变式2】（2023•秦淮区模拟）已知二次函数． （1） 二次函数的图象的对称轴是直线　 （2） 　； （2）当时，的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，，，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 考点9：二次函数的三种形式 【例9】（2023秋•虎丘区校级月考）若二次函数配方后为，则、的值分别为　　 A．0，5 B．0，1 C．，5 D．，1 【变式1】（2019•姑苏区校级模拟）把二次函数配方成顶点式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•邳州市校级模拟）把函数写成的形式，则　　． 考点10：抛物线与x轴的交点 【例10】（2024•高新区校级模拟）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论，其中正确的有　　 ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（2024•无锡模拟）如图，二次函数的图象交轴于、两点在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图象交于点，则点坐标为 　　． 【变式2】（2024•滨湖区校级一模）如图，抛物线与轴交于点和点．已知点在第一象限的抛物线上，则点的坐标是 　　；连接，为抛物线上一点，且，则点的坐标是 　　． 考点11：二次函数与不等式（组） 【例11】（2024•天宁区校级二模）已知函数为常数），当时，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•高邮市校级模拟）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为 　　． 【变式2】（2024•邗江区一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设解得，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图．由图象可知：当，或当时函数图象位于轴上方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是　　； ．换元思想 ．数形结合思想 ．整体思想 （2）如图2，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解是 　　； （3）判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 考点12：根据实际问题列二次函数关系式 【例12】（2024•梁溪区一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2019•淮安区模拟）如图，用长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积与它与墙平行的边的长之间的函数． 考点13：二次函数的应用 【例13】（2024•梁溪区校级二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为　　 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（2024•宿迁三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为 　． 【变式2】（2024•大丰区三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度（千米时）是车流密度（辆千米）的函数，其图象近似的如图所示． （1）求关于的函数表达式； （2）求车流量和车流密度之间的函数表达式并求出车流量（辆时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度） （3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 考点14：二次函数综合题 【例14】（2024•崇川区三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点在点的左侧． （1）直线经过定点，点的坐标是 　　； （2）如果直线绕点旋转的过程中，与始终互相垂直，求的值； （3）抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，如果，求的最小值． 【变式1】（2024•盱眙县校级模拟）已知，，，是抛物线为常数）上的两点，当时，总有． （1）①求的值 　　； ②当，的最大值是，求的值． （2）将抛物线平移后得到抛物线，当时，探究下列问题： ①如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等，求的取值范围． ②在①的条件下，设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点，直接写出长的取值范围 　　． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：二次函数的字母系数相关问题 【例1】（2024•宜兴市二模）二次函数的图象如图所示，①；②；③；④．上述结论中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】（2024•东海县二模）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过点和两点． （1）求和的值（用含的代数式表示）； （2）若当时，，求的取值范围； （3）已知点，，，若该抛物线与恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型2：抛物线的平移、旋转、对称 【例2】（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，，且平行于轴，与抛物线交于、两点在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为． （1）当时，求点的坐标； （2）连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 【变式1】（2023秋•惠山区月考）抛物线经过某种平移得到抛物线，这种平移可表述为　　 A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 【变式2】（2024•盐城模拟）已知抛物线为常数且与轴交于点． （1）点的坐标为 　　；对称轴为 　　（用含的代数式表示）； （2）无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 　　； （3）若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式； （4）将点与点之间的函数图象记作图象（包含点、，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，求的值． 题型3：二次函数和其他函数图像的综合题 【例3】（2022•宿城区二模）观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点，、2、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•邗江区二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为 　　． 【变式2】（2024•宿迁模拟）定义：函数的图象与轴的交点，的横坐标分别为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，且满足（或， 则称该函数为“函数”，例如，函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，满足，则称为“函数”． （1）请探究“函数” 中，与的关系． （2）如图，“函数” 的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），且经过点，现将抛物线沿射线方向平移，使点落在点处，同时抛物线上的点落在点处，已知由抛物线平移前，之间的曲线部分，平移后，之间的曲线部分及线段，所围成的图形的面积为，求线段的长． 【变式1】（2023•姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于、两点（点在点的左侧）． （1）若函数的图象过点、，其衍生点，求函数的解析式； （2）①若函数的衍生函数为，求、两点的坐标； ②函数的图象如图所示，请在图中标出点、两点的位置； （3）是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型4：二次函数与方程（组）之间的关系 【例4】（2023•姜堰区一模）已知：是的函数，若函数图象上存在一点，满足，则称该点为函数图象上“准二倍点”，例如：是直线上的“准二倍点”．某二次函数的图象上存在“准二倍点”，则当时，两“准二倍点”间的最大距离是 　　． 【变式1】（2023•姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于、两点（点在点的左侧）． （1）若函数的图象过点、，其衍生点，求函数的解析式； （2）①若函数的衍生函数为，求、两点的坐标； ②函数的图象如图所示，请在图中标出点、两点的位置； （3）是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2023•工业园区校级二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数． （1）当时，求二次函数上的“零和点”； （2）若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，求的值． 题型5：二次函数与不等式（组）之间的关系 【例5】（2022•相城区校级自主招生）已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集是 　或或　． 【变式1】（2022•宝应县一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　　． 【变式2】（2023•建邺区二模）二次函数，、、是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 　　． 题型6：二次函数与几何、代数的综合问题 【例6】（2024•盱眙县校级模拟）已知，，，是抛物线为常数）上的两点，当时，总有． （1）①求的值 　　； ②当，的最大值是，求的值． （2）将抛物线平移后得到抛物线，当时，探究下列问题： ①如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等，求的取值范围． ②在①的条件下，设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点，直接写出长的取值范围 　　． 【变式1】（2024•滨湖区校级一模）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，在第三象限内的抛物线上，连、，交轴于，时，． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）如图2，是抛物线第三象限一个动点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，点在线段上，且，，求点坐标及相应的值． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 基础夯实训练 1．（2024•南通）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 2．（2024•高新区校级模拟）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论，其中正确的有　　 ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024•工业园区校级模拟）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 0 1 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024•武进区校级模拟）抛物线与轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，下列式子正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2024•沛县校级模拟）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 　　． 6．（2024•宿豫区二模）如图，在△中，，，点是边上一个动点，以为边作正方形，连接，△面积的最大值是 　　． 7．（2024•浦口区校级三模）如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且．是线段的中点，运动过程中，的最小值为 　　． 8．（2025•泗洪县一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第个图形中含有正方体木块个． （1）填表： 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 （2）已知是的二次函数，求这个二次函数的表达式． （3）第10个图形中的正方体木块有多少个？ （4）是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 9．（2024•扬州）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求、的值； （2）若点在该二次函数的图象上，且△的面积为6，求点的坐标． 10．（2024•广陵区校级四模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，为常数），通过输入不同的、的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题． （1）求与抛物线相对应的、的值； （2）若把抛物线相对应的、的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点； （3）另有直线与抛物线交于点，，与抛物线交于点，，若的值是整数，请直接写出的最大值． 能力拔高训练 11．（2024•连云港）已知抛物线、、是常数，的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 12．（2024•沭阳县一模）将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 13．（2024•海州区校级一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③若为任意实数，则； ④方程的两实数根为，，且，则，； 正确结论的序号为　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 14．（2024•苏州一模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2024•无锡模拟）已知二次函数的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是 　　．（从小到大排列） 16．（2024•南京模拟）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 　　． 17．（2022•惠山区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，则点的坐标为 　　（用含的代数式表示）；若作，且、在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为 　　． 18．（2024•广陵区一模）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点． （1）求此抛物线及直线的函数表达式； （2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，，，，与直线交于点，，若，结合函数的图象，求的取值范围； （3）经过点的直线与射线、射线分别交于点、．当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由． 19．（2022•江阴市校级一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点，（1）求抛物线与直线的函数解析式； （2）设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； （3）若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 20．（2024•宿迁）如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 （思维导图+14个考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 二次函数的相关概念 4 重点考点二 二次函数的图象与性质 5 重点考点三 二次函数与各项系数之间的关系 9 重点考点四 二次函数与方程、不等式 11 题型精研 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：二次函数的定义 12 考点2：二次函数的图象 13 考点3：二次函数的性质 16 考点4：二次函数图象与系数的关系 21 考点5：二次函数图象上点的坐标特征 29 考点6：二次函数图象与几何变换 32 考点7：二次函数的最值 35 考点8：待定系数法求二次函数解析式 38 考点9：二次函数的三种形式 43 考点10：抛物线与x轴的交点 44 考点11：二次函数与不等式（组） 50 考点12：根据实际问题列二次函数关系式 54 考点13：二次函数的应用 56 考点14：二次函数综合题 61 第二部分：高频题型洞悉 72 题型1：二次函数的字母系数相关问题 72 题型2：抛物线的平移、旋转、对称 76 题型3：二次函数和其他函数图像的综合题 82 题型4：二次函数与方程（组）之间的关系 86 题型5：二次函数与不等式（组）之间的关系 89 题型6：二次函数与几何、代数的综合问题 91 分层训练 巩固提升 101 基础夯实训练 101 能力拔高训练 110 考点要求 新课标要求 命题预测 二次函数的相关概念 · 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习. 二次函数的图象与性质 · 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. · 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 二次函数与各项系数的关系 · 理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程、不等式 · 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 重点考点一 二次函数的相关概念 二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 二次函数的特殊形式：1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 1.判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数. 2.求二次函数解析式的一般方法： 1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式. 2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式. 重点考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导. 1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围. 2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关. 3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式. 重点考点三 二次函数与各项系数之间的关系 一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 重点考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1. 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图象上就是求抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 若一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两根为x1，x2(x1< x2)，则抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x 轴的交点为(x1，0)，(x2，0)，对称轴为直线. 3. 如果抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于M(x1,0),N(x2,0),则MN= . （原因：MN=| x1- x2|=） 用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 第一部分：常考考点讲练 考点1：二次函数的定义 【例1】（2022•泗阳县一模）下列函数中是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用一次函数、二次函数、反比例函数的定义分别判断得出答案． 【解答】解：、，是正比例函数，不合题意； 、，是反比例函数，不合题意； 、，是二次函数，符合题意； 、，是一次函数，不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【变式1】（2023秋•江都区月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的定义，可得答案． 【解答】解：、是一次函数，故不符合题意； 、 是二次函数，故不符合题意； 、是二次函数，故符合题意； 、不是二次函数，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义， 是二次函数，注意二次函数都是用含自变量的整式表示的． 【变式2】（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次函数的一般形式为：、、是常数，，进而判断得出即可． 【解答】解：、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意； 、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意； 、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意； 、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键． 考点2：二次函数的图象 【例2】（2025•泗洪县一模）直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中、的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【解答】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知，图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式1】（2023•姑苏区校级二模）已知二次函数，为常数）．命题①：该函数的图象经过点；命题②：该函数的图象经过点；命题③：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是 A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【分析】命题④②③可以同时成立，由此即可判断． 【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线， 则， 解得， 函数的图象经过点， ， 解得， 故抛物线的解析式为， 当时，得， 解得或， 故抛物线与轴的交点为和， 函数的图象与轴的交点位于轴的两侧； 故命题②③④都是正确，①错误， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法． 【变式2】（2024•东海县模拟）已知二次函数的图象如图所示，则点在第 　一　象限． 【分析】由抛物线开口方向得到，由抛物线的对称轴位置得到，由抛物线与轴的交点位置得，所以，，然后根据第一象限点的坐标特征判断点所在象限． 【解答】解：抛物线开口向下， ． 对称轴在轴左侧， ， ， ， 图象与轴的交点在正半轴上， ， ，， 点在第一象限． 故答案为：一． 【点评】本题考查了二次函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 考点3：二次函数的性质 【例3】（2024•新吴区二模）如图，平面直角坐标系中，已知，，，抛物线过点，，顶点为，抛物线过点，，顶点为，若点在线段上，则的值为　　 A．2 B． C． D． 【分析】依据题意，由题意得点的横坐标为，点的横坐标为．根据两个函数与轴交点的坐标，将函数解析式转化为交点式，然后求出顶点的纵坐标，根据相似列出关于和的等式即可． 【解答】解：如图，作轴，轴， 抛物线过，两点， 设它的解析式为，对称轴为直线， 它的顶点的坐标为， ． 抛物线过，两点， 设它的解析式为，对称轴为直线． 它的顶点的坐标为． ． ，， ，． ， ， ． ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与性质，以及相似三角形判定和性质，解题的关键是将原函数解析式转化为交点式，求出函数的顶点坐标． 【变式1】（2024•常熟市模拟）如图，点是二次函数为常数）的图象与轴的交点，是二次函数的对称轴与轴的交点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点恰好落在二次函数的图象上，则的值为 　或　． 【分析】设，过点作轴的垂线，交轴于，根据余角性质得，再根据全等三角形的判定与性质可得点的坐标，代入解析式求解可得答案． 【解答】解：设，过点作轴的垂线，交轴于， 二次函数为常数）， 对称轴为直线， ， ， 由题知，， ， ， ， △△， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得或， 故答案为：或． 【点评】此题考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质，正确表示出的坐标是解决此题关键． 【变式2】（2024•泰兴市一模）小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格： 0 1 2 3 4 5 7 4 3 4 7 ■ （1）表格中的“”数据被污染了，求被污染的数据； （2）张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题：当时，求函数值的取值范围． 如下是小颖同学的解答过程： 小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果． 【分析】（1）依据题意，根据表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，从而可设为，然后把代入 得：，进而可得解析式，再令后可以判断得解； （2）依据题意，由抛物线为，从而结合二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可知，抛物线的顶点坐标为， 二次函数的表达式可设为． 把代入 得：， 二次函数的表达式为． 当时，． 被污染的数据为12． （2）不正确． 由题意，抛物线为， 当时，取最小值为3． 又当时，；当时，， 当时，． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式3】（2024•宿城区模拟）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． （1）求和的值； （2）为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值； 【分析】（1）把代入求得，抛物线过点求出即可； （2） 设，过点作轴，交直线于点，可得 ，运用二次函数性质即可求出最值． 【解答】解：（1）把代入得：， 解得， ， 抛物线过点， ，解得． （2）由（1）可得抛物线解析式为， ， 设，过点作轴，交直线于点，如图示： 则， ， ， ， 当时，取得最大值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握最值求法是解答本题的关键． 考点4：二次函数图象与系数的关系 【例4】（2024•涟水县模拟）已知，抛物线，，是常数，，经过点，其对称轴为直线，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③方程 有两个相等的实数根． 其中，正确结论的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由已知条件可得，，，即可判断①；由抛物线的对称性得出，即可得出，从而得出，即可判断②；根据函数与方程的关系，即可判断③． 【解答】解：抛物线经过点，其对称轴为直线，当时，与其对应的函数值， 抛物线开口向下， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 抛物线对称轴为直线，当时，与其对应的函数值， 当时，与其对应的函数值， ， ， ，， ， 故②错误； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 函数有最大值为， 顶点为， 直线与抛物线有一个交点， 关于的方程有两个相等的实数根， 故③正确． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式1】（2024•盐都区校级二模）已知二次函数的图象开口向下，且经过，两点． （1）① 　　0（填“”或“” ； ②当时，求的值； （2）若点和点也在二次函数图象上，且，． ①求的取值范围； ②若两不同点和，都在二次函数的图象上，且始终满足，求的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，由抛物线开口向下，从而可以判断得解； ②依据题意，当时，可得抛物线的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由，且，可得，结合在轴下方，点在轴上方，可得二次函数的图象与轴有两个交点，又图象过点，从而可判断是抛物线与轴右侧的交点，故，又点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称，从而左侧交点坐标为，结合在轴上方，则，从而，再依据抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合在轴下方，且，可得，进而可以得解； ②依据题意，，，都在二次函数图象上，且，又，从而，在点的右方和上方，又，故点在对称轴右侧，结合二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小，从而必在对称轴左侧，即有，故，再由得点更靠近对称轴，可得，再结合，从而，进而可以得解． 【解答】解：（1）①由题意，抛物线开口向下， ． 故答案为：． ②当时， 抛物线的对称轴是直线． ． （2）①由题意，，且， ． 在轴下方，点在轴上方． 二次函数的图象与轴有两个交点． 由图象过点， 当为抛物线与轴左侧的交点时，则时，二次函数的图象均在轴下方，此时点，两点也都在轴下方，这与题意矛盾，故不成立，从而是抛物线与轴右侧的交点． ． 又点和二次函数与轴的左侧的交点关于直线对称， 左侧交点坐标为． 又在轴上方有， ，则． 在轴下方，且， 又抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ． ． 综上，． ②由题意，，，都在二次函数图象上，且， 又， ，在点的右方和上方． 又， 点在对称轴右侧． 又二次函数在对称轴右侧时，值随的增大而减小， 必在对称轴左侧． ． ． ． 由得点更靠近对称轴， ． ． ． ． ． ． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式2】（2024•东海县校级模拟）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移4个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上． （1）写出该函数图象的对称轴； （2）已知点，． ①若函数图象恰好经过点，求的值； ②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【分析】（1）先求得点的坐标，再根据平移的性质得到点的坐标，根据、关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴； （2）①根据对称轴公式求得，则，代入即可求得的值； ②根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数的图象与轴交于点， ， 点向右平移4个单位长度，得到点， 点； 与关于对称轴对称， 抛物线对称轴； （2）①对称轴为直线， ， ， ， 函数图象恰好经过点， ， ； ②当时，抛物线开口向上， ， 解得， 故， 当时，抛物线开口向下， ， 解得， 故， 综上，若函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键． 【变式3】（2022•射阳县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线，顶点为，直线与抛物线交于点，点． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）． （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当时，求抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标； ②当抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点时，求的取值范围． 【分析】（1）将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出结论； （2）①先确定出抛物线与直线的交点坐标，进而得出封闭区域的整数的横坐标只有1，2，将，代入直线和抛物线求出值，比较即可得出结论； ②先求出点，坐标，进而得出封闭区域的整数的横坐标只有1，2，将，代入直线和抛物线求出值，分两种情况，根据封闭区域内只有一个整数点，进而建立不等式求解，即可得出结论； 【解答】解：（1）抛物线， 抛物线的顶点的坐标为； （2）①， 抛物线的解析式为（Ⅰ），直线的解析式为（Ⅱ）， 联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，或， ，， 令抛物线为，直线的解析式为， 当时，，， 而和之间存在整数1， 抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为， 当时，，， 而于1之间不存在整数， 即抛物线与直线围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标为； ②联立抛物线与直线的解析式得，， 解得，或， ，， 令抛物线为，直线的解析式为， 当时， 当时，，， 而，， 点必在区域内， 抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点， 点，不在区域内， 且， ，即， 当时，，， 抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点， 不在区域内， ， ， ， 即：； 当时， 当时，，， 而，， 点必在区域内， 抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点， 点，不在区域内， 且， ，即， 当时，，， 抛物线与直线围成的封闭区域内有且只有1个整点， 不在区域内， ， ， ， 即：； 即：满足条件的的取值范围为或． 【点评】此题主要考查了抛物线和直线的交点坐标的求法，找出临界点是解本题的关键． 考点5：二次函数图象上点的坐标特征 【例5】（2022•东海县校级三模）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上，且．设，则的值可以是　　 A． B． C．1 D． 【分析】根据，在抛物线上，可得，由各选项的值用含的代数式表示、，再判定的符合，满足的选项即符合要求． 【解答】解：，在抛物线上， ， 、当时，， ，， 此时、同号，与矛盾，故不符合题意； 、当时，， ，， 此时，与矛盾，故不符合题意； 、当时，， ，， 此时、异号，，故符合题意； 、当时，， ，， 此时，与矛盾，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是用含的代数式表示、，再判定的符号． 【变式1】（2024•苏州）二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 　　． 【分析】将、、的坐标代入，求出、、，然后把的坐标代入可得出、的关系，即可求解． 【解答】解：将，，代入， 得：， ， 把代入， 得：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键． 【变式2】（2022•泗阳县一模）二次函数的图象如图所示，点、、、、在二次函数位于第一象限的图象上．点、、、、在轴的正半轴上，△，、△、、△都是等腰直角三角形，则　　． 【分析】先设第一个等腰直角三角形的直角边长为，表示出点的坐标，代入二次函数的解析式，求出；设第二个等腰直角三角形的直角边长为，表示出的坐标，代入二次函数的解析式，求出，同理求出第2022个等腰直角三角形的直角边长，即可求出斜边． 【解答】解：设， △ 是等腰直角三角形， ， 则的坐标为，代入二次函数， 得， 解得或（舍， 设， △腰是等腰直角三角形， ， 的坐标为， 代入二次函数， 得， 解得或（舍， 同理可求出， ， ，根据勾股定理， 得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象与规律综合题，利用等腰直角三角形的性质和二次函数的点坐标特征是解决本题的关键． 考点6：二次函数图象与几何变换 【例6】（2024•泗洪县一模）抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：把抛物线，先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：，即． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式1】（2022•工业园区校级一模）我们把抛物线上纵坐标是横坐标两倍的点叫做这条抛物线的“二倍点”（原点除外）． （1）若抛物线上只有唯一的“二倍点”，求的值及“二倍点”的坐标； （2）平移抛物线，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“二倍点”，求新抛物线的表达式． 【分析】（1）由题意可得“二倍点”在直线上，令，根据△求解． （2）设新抛物线解析式为，由抛物线经过原点求解． 【解答】解：（1）由题意得“二倍点”在直线上， 令，整理得， △， 当△时，方程有两个相等实数根，则抛物线上只有唯一的“二倍点”， ， 解得或． 当时，， 解得， 将代入中得， 当时，， 解得， 将代入中得， 时，“二倍点”的坐标为，时，“二倍点”的坐标为． （2）设平移后解析式为， 将代入得， 解得（舍或， ． 【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 【变式2】（2023•工业园区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点． （1）判断点是否在直线上，并说明理由； （2）求，的值； （3）平移抛物线，若所得新抛物线的顶点仍在直线上，且经过点，求新抛物线的表达式． 【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上； （2）因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过、点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、； （3）设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，由抛物线经过点，求出，由顶点仍在直线上得出，从而求出，进而可求出解析式． 【解答】解：（1）点是在直线上，理由如下： 直线经过点， ， 解得， 直线为， 把代入得， 点在直线上； （2）直线经过点，直线与抛物线都经过点，点，，在同一条直线上，点，在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点， ，两点的横坐标相同， 抛物线只能经过、两点， 把，代入，得 ， 解得，； （3）由（2）知，抛物线的解析式为， 设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，， 抛物线经过点， ． 顶点仍在直线上， ， ， 解得（舍去）或， 平移后所得抛物线解析式为． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度． 考点7：二次函数的最值 【例7】（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 　　；运动过程中，的面积的最小值是 　　． 【分析】结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值． 【解答】解：连接， ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ， ； ， ， 的面积的最小值是． 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，得到的面积关于的函数关系式是解题的关键． 【变式1】（2023•启东市二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是 　　． 【分析】由完美点的概念可得：，即，由只有一个完美点可得判别式△，得方程根为2，从而求得，，所以函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得的取值范围． 【解答】解：，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， △，则， 方程根为， ，． 函数，该二次函数顶点坐标为，， 与轴交点为，根据对称规律， 点也是该二次函数图象上的点． 在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当 时，函数的最小值为，最大值为1，则． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键． 【变式2】（2024•徐州）如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求、的值； （2）求△的面积的最大值． 【分析】（1）先求出，的坐标，再用待定系数法求出，； （2）由（1）可得：，设，作，交于，则，则，得出面积，即可解答． 【解答】解：（1）当时，；当时，，则，， 则， 解得：； （2）由（1）可得：，设，作，交于， 则，则， ， 当时，最大值为8． 【点评】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△的面积是关键． 考点8：待定系数法求二次函数解析式 【例8】（2024•海安市一模）设函数，，是实数），当时，；当时，．则　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线，再根据选项中所给出的的值都的正负依次进行判断即可． 【解答】解：由所给函数解析式可知， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为和在抛物线上， 则点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧随的增大而增大， 则抛物线的开口向上， 即． 故选择不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧随的增大而减小， 则抛物线的开口向下， 即． 故选项不符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 所以点关于直线的对称点为， 因为，， 所以在对称轴的右侧随的增大而减小， 则抛物线的开口向下， 即． 故选项符合题意． 当时，抛物线的对称轴为直线， 因为， 所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的， 则抛物线的开口向下， 即． 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，能根据的取值及抛物线上两点的坐标分析出抛物线的开口方向是解题的关键． 【变式1】（2024•鼓楼区三模）如图，抛物线经过、两点，与轴交于点．点为线段上的一动点（不与点重合），连接、，将沿直线翻折得到△，交抛物线于另一点，连接． （1）抛物线的解析式 　　； （2）当时，求点的坐标． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴于，过作轴于，由，，得，根据将沿直线翻折得到△，即得，四边形是矩形，有，而，得，可得，在中，令，得，即得，． 【解答】解：（1）把、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 故答案为：； （2）过作轴于，过作轴于，如图： ，， ， 将沿直线翻折得到△， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中，令得， ，． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，翻折变换等知识，解题的关键是作辅助线，构造平行线转化比例线段． 【变式2】（2023•秦淮区模拟）已知二次函数． （1）二次函数的图象的对称轴是直线　1　； （2）当时，的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式； （3）若，对于二次函数图象上的两点，，，，当，时，均满足，请结合函数图象，直接写出的取值范围． 【分析】（1）由对称轴是直线，可求解； （2）分或两种情况讨论，求出的最大值和最小值，即可求解； （3）利用函数图象的性质可求解． 【解答】解：（1）由题意可得：对称轴是直线， 故答案为：1； （2）当时， 对称轴为直线， 当时，有最小值为， 当时，有最大值为， ， ， 二次函数的表达式为：， 当时，同理可得有最大值为，有最小值为， ， ， 二次函数的表达式为：， 综上所述，二次函数的表达式为或； （3），对称轴为直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，和时的函数值相等， ，时，均满足， ，， ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键． 考点9：二次函数的三种形式 【例9】（2023秋•虎丘区校级月考）若二次函数配方后为，则、的值分别为　　 A．0，5 B．0，1 C．，5 D．，1 【分析】可将的右边运用完全平方公式展开，再与比较，即可得出、的值． 【解答】解：， 又， ， ，． 故选：． 【点评】本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 【变式1】（2019•姑苏区校级模拟）把二次函数配方成顶点式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法把一般式配成顶点式即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是；顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为；交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，，，． 【变式2】（2022•邳州市校级模拟）把函数写成的形式，则　　． 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，灵活运用配方法把一般式化为顶点式、掌握二次函数的性质是解题的关键． 考点10：抛物线与x轴的交点 【例10】（2024•高新区校级模拟）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论，其中正确的有　　 ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据图象经过，，且抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入 得，即可判断①错误；②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可判断②正确；③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；④根据方程有两个相等的实数解，得出△，把代入 得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出 求出的取值范围，即可判断④正确． 【解答】解：①图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点 都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入 得：， 即， ，， ， 故①错误； ②，，，， 方程的两个根的积大于0， 即， ， ， ， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在点的上方或者右上方， ， ， ， 故②正确； ③， 当 时，， 抛物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ， 故③正确； ④方程可变为， 方程有两个相等的实数解， △． 把代入 得，即， ， 即， ， ， 即， ，在抛物线上， ，为方程 的两个根， ， ， ， ， ． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 【变式1】（2024•无锡模拟）如图，二次函数的图象交轴于、两点在左侧），交轴于点，将绕着点逆时针旋转，其所在直线与二次函数图象交于点，则点坐标为 　，　． 【分析】先求出，，的坐标，过点作的垂线，交于点，过作轴垂线，交轴于点，然后证明，从而得出的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式，再联立方程组求出点坐标． 【解答】解：令，则， 解得，， ，， ，， 令，则，， ， ， 过点作的垂线，交于点，过作轴垂线，交轴于点，如图： ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点，坐标与图形变换旋转，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，待定系数法求函数解析式，解方程组等知识，关键是对这些知识的掌握和运用． 【变式2】（2024•滨湖区校级一模）如图，抛物线与轴交于点和点．已知点在第一象限的抛物线上，则点的坐标是 　　；连接，为抛物线上一点，且，则点的坐标是 　　． 【分析】根据函数解析式和点在第一象限的抛物线上，可以求得的值，从而可以得到点的坐标；根据题意，画出图形，然后作出合适的辅助线，然后根据题目中的条件，可以表示出点的坐标，再根据点在抛物线上，即可求得点的坐标，本题得以解决． 【解答】解：抛物线，点在第一象限的抛物线上， ，得， 点的坐标为； 过点作交的延长线于点，作轴于点，作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 当时，或， 点的坐标为 点，点， ， ， 设，则，，， 点的坐标为， 解得，，（舍去）， 点的坐标为， 故答案为：；． 【点评】本题主要考查二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 考点11：二次函数与不等式（组） 【例11】（2024•天宁区校级二模）已知函数为常数），当时，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由时，随的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，；时，；根据，建立不等式，并求出的取值范围，即可得出结论． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，， 当时，， 当时，． ， 解得，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础． 【变式1】（2024•高邮市校级模拟）如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于的不等式的解集为 　或　． 【分析】由，得，根据图象找到二次函数在一次函数图象上方的部分对应的的范围即可． 【解答】解：由得： ， ， 由图可知关于的不等式的解集为：或， 关于的不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【点评】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图象在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键． 【变式2】（2024•邗江区一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设解得，，则抛物线与轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图象（如图．由图象可知：当，或当时函数图象位于轴上方，此时，即，所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： （1）上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是　　； ．换元思想 ．数形结合思想 ．整体思想 （2）如图2，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解是 　　； （3）判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【分析】（1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可． 【解答】解：（1）由题知， 上述解题过程中，还运用了数形结合的思想． 故答案为：． （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， 因为直线与直线交于点， 则， 所以两条直线的交点为， 所以方程组的解是． 故答案为：． （3）一元三次方程有1个实数根． 由方程得， ， 所以， 所以原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题． 如图所示， 两个函数的图象只有1个交点， 所以一元三次方程有1个实数根． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组及一次函数与二元一次方程（组，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 考点12：根据实际问题列二次函数关系式 【例12】（2024•梁溪区一模）如图，，为上一点（端点除外），分别以、为边长，在同侧作正方形和正方形，连接、，连接交于点．设，的面积为，则关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，分别交，于，，设交于，根据正方形的性质和相似三角形的判定的得出，从而求出，设，则，由，得出，然后有三角形的面积公式得出与的关系式． 【解答】解：过点作，分别交，于，，设交于，如图： 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查根据实际问题列函数解析式，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是对这些知识的掌握和运用． 【变式1】（2020•鼓楼区校级模拟）记某商品销售单价为元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为元，且是关于的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则与的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】设二次函数的解析式为：，根据题意列方程组即可得到结论． 【解答】解：设二次函数的解析式为：， 当，75，80时，，1800，1550， ， 解得， 与的函数关系式是， 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确的列方程组是解题的关键． 【变式2】（2019•淮安区模拟）如图，用长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积与它与墙平行的边的长之间的函数． 【分析】根据已知表示出矩形的长与宽进而表示出面积即可． 【解答】解：与墙平行的边的长为，则垂直于墙的边长为：， 根据题意得出：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出矩形的宽是解题关键． 考点13：二次函数的应用 【例13】（2024•梁溪区校级二模）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”． 对于下列四个结论： ①点是一次函数图象的“2方内点”； ②函数图象上不存在“2方内点”； ③若直线的“方内点”有两个，则； ④当函数的“方内点”恰有3个时，符合条件的的值也有3个．其中正确的序号为　　 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据“方内点”的定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“方内点”，逐一判断即可得解． 【解答】解：①点到轴距离为2，到轴的距离等于1，不大于2， 故是一次函数图象的“2方内点”； 故①正确； ②当时，，则点到轴的距离为2，到轴的距离为，不大于2，即点是函数图象上的“2方内点”； 故②错误； ③若直线的“方内点”有两个，由题意知，函数图象的“方内点”是指函数图象上点落在以原点为中心，边长为1且相邻两边分别与轴、轴平行的正方形边上，如图1， 当时，，即直线过定点； 当时，直线与有无数个“方内点”， 对于直线，把点代入中，， 解得：， 当时，直线与正方形的边有两个交点，表明有两个“ 方内点”， 故③正确； ④抛物线的“方内点”是函数图象上落在以原点为中心，边长为且相邻两边分别平行于轴与轴的正方形上的点，如图2； 当抛物线顶点在直线上时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时：， 解得：，（舍去）； 当抛物线经过点 时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时， 整理得：， 解得：， （舍去）； 当抛物线经过点时，抛物线恰有三个“方内点”， 此时， 整理得：， 解得：， （舍去）； 综上，的值恰有三个，分别为，，． 故④正确； 故正确的有①③④， 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，新定义，解答本题的关键是理解“方内点”的定义． 【变式1】（2024•宿迁三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为 　7　． 【分析】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求点坐标，就可求出点到杯口的距离． 【解答】解：建立如图所示坐标系，作轴于点， 各点坐标为：，，，． 设， 把点坐标代入解析式得：， 解得， ， ，， ， ， ， 设， ，， ， 即， 解得（舍去），， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式． 【变式2】（2024•大丰区三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度（千米时）是车流密度（辆千米）的函数，其图象近似的如图所示． （1）求关于的函数表达式； （2）求车流量和车流密度之间的函数表达式并求出车流量（辆时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度） （3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由题知：当时，；当时，，进而求解； （3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解． 【解答】解：（1）由图象知，当时，， 当时，设该段一次函数表达式是， 把两点坐标，，分别代入，得，解得， 关于的一次函数表达式是， 即； （2）由题知：当时，． 当时，， 当时，车流量有最大值4418辆时． ，当时，车流量有最大值4418辆时； （3）由题意得：，解得， 而， 当时，，当时，， 即， 即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 【点评】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式． 考点14：二次函数综合题 【例14】（2024•崇川区三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点在点的左侧． （1）直线经过定点，点的坐标是 　　； （2）如果直线绕点旋转的过程中，与始终互相垂直，求的值； （3）抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，如果，求的最小值． 【分析】（1）由直线，得时，，故定点坐标为． （2）联立和得，设，，，，，，证明△△，得，故，再代入计算即可． （3）由，得．证明△△，得，即．，再配方即可． 【解答】解：（1）直线， 时，， 故定点坐标为， 故答案为：． （2）如图：过作轴，过作轴． 联立和得， 设，，，， ，， ， ， ， △△， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过作，过作．如图： 由，得． 由得，，， 由得，， 由（1）得． ， ， ， △△， ． ， ， ． 由（2）知，，，， ，， ， 时，， 故最小值． 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用根与系数关系是解题关键． 【变式1】（2024•盱眙县校级模拟）已知，，，是抛物线为常数）上的两点，当时，总有． （1）①求的值 　0　； ②当，的最大值是，求的值． （2）将抛物线平移后得到抛物线，当时，探究下列问题： ①如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等，求的取值范围． ②在①的条件下，设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点，直接写出长的取值范围 　　． 【分析】（1）①由题意得抛物线的对称轴为轴，故． ②抛物线．当，即时，随增大而增大，故时，取得最大值，得，故．当时，即时，抛物线在顶点处取得最大值，故．当，即时，随增大而减小，当时，取得最大值，（不符合题意，舍去）． （2）①当抛物线经过时，．当抛物线经过时，．故的取值范围是． ②如图，由圆的性质知：、在线段的垂直平分线上，，，．设的长为，由，得，再计算即可． 【解答】解：（1）①时，总有， 抛物线的对称轴为轴． ， ． 故答案为：0． ②抛物线． 当，即时，随增大而增大， 故时，取得最大值， ， 不符合题意，舍去）． 当时，即时，抛物线在顶点处取得最大值． ， ． 当，即时，随增大而减小， 当时，取得最大值， ， （不符合题意，舍去）． 综上所述，或0． （2）将抛物线平移后得到抛物线， 抛物线和抛物线的形状大小相同． ①当抛物线经过时， ， 不符合题意，舍去）． 此时当时，抛物线经过， 故当抛物线经过时， ， 不符合题意，舍去）． 综上所述，如果对抛物线上的任意一点， 在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等， 则的取值范围是． ②如图，由圆的性质知：、在线段的垂直平分线上， 连，，过作轴． 由抛物线得顶点． ． 由得，． ， ． 由得． 设的长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题关键． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）令，可求得：，，再运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，设，过点作轴交直线于点，则，利用，即可运用二次函数求最值的方法求得答案； （3）运用翻折变换的性质可得图象的函数解析式为：，顶点坐标为，进而根据平移规律可得：当点平移到线段上时，图象与线段刚好有一个交点；当图象平移到经过点时，图象向右方平移刚好经过点时和离开点时，两处分别是临界情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2）在中，令， 得：， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，设，过点作轴交直线于点， 则， ， ， 当时，取得最大值， 此时，点的坐标为，； （3）如图2，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象， ，顶点为， 图象的函数解析式为：，顶点坐标为， 直线的解析式为，直线的解析式为， 设图象向左平移个单位长度，则向上平移个单位长度，则点平移后的对应点为， 当点在直线上时，， 解得， 点平移后的横坐标， 时，线段与图象有一个交点； 设图象向左平移个单位长度，则向上平移个单位长度， 平移后的函数图象经过点时，， 解答或， 点横坐标向右平移5个单位长，则；点横坐标向右平移2个单位长，则； 时，线段与图象有一个交点；时，线段与图象有一个交点； 图象的顶点横坐标的取值范围为：或． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，抛物线的翻折、平移变换，二次函数最值问题和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用函数图象上点的坐标特征推知点的坐标的取值范围．掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键 第二部分：高频题型洞悉 题型1：二次函数的字母系数相关问题 【例1】（2024•宜兴市二模）二次函数的图象如图所示，①；②；③；④．上述结论中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点， ，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，，即； 当时，，即； ，即；故③正确； 时，， ，即，故④错误； 故选：． 【变式1】（2024•东海县二模）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过点和两点． （1）求和的值（用含的代数式表示）； （2）若当时，，求的取值范围； （3）已知点，，，若该抛物线与恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 解：（1）把和代入， 得：， 解得：； （2）抛物线，，为常数，且经过点和两点，且当时，， 点和在对称轴的同侧， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 若当时，，的取值范围是或； （3）如图，当抛物线经过点时，代入得： ，此时与有一个公共点， 如图，当抛物线经过点时，代入得： ，此时与有三个公共点， 如图，当顶点在线段上时， 得： ，（此时，抛物线顶点在点右侧，舍去）有三个交点， 设的直线解析式为：，将，的坐标代入得： ， 解得：， ， 如图当抛物线与直线相切时，有一个交点， 由得有两个相等的实根， 即△， 解得，（舍去）， 结合图象和越大，开口越小的规律得， 当或或时，该抛物线与恰有两个公共点． 【变式2】（2022•广陵区校级一模）已知二次函数为常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个不同的公共点； （2）求证：不论为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变； （3）若该函数的图象与轴交点为、，与轴交点为，当时，面积的最大值为 　8　． （1）证明：当时，， 解得，， ，方程有两个不相等的实数根， 不论为何值，函数图象与轴总有两个不同的公共点； （2）解：由（1）得图象与轴的两个交点坐标为、， 由抛物线的对称性可知图象顶点横坐标为， 把代入得， 不论为何值，该函数的图象的顶点纵坐标不变为； （3）解：， ， 图象与轴的两个交点坐标为、， ， ， 当时，；当时，， 当顶点在轴上，即时，最大值是4，故此时， 故答案为：8． 题型2：抛物线的平移、旋转、对称 【例2】（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，，且平行于轴，与抛物线交于、两点在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为． （1）当时，求点的坐标； （2）连接、、，若为直角三角形，求此时所对应的函数表达式； （3）在（2）的条件下，若的面积为3，、两点分别在边、上运动，且，以为一边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 解：（1）， 抛物线的顶点坐标， ，点和点关于直线对称， 点的坐标为； （2）抛物线的顶点与的顶点关于直线对称， ，抛物线， 当时，， ①当时，如图1，过作轴于， ， ， ， ， ， ， ， 直线轴， ， ，， ， ， ， 点在的图象上， ， 或， 当时，得，，此时，点和点重合，舍去，当时，符合题意； 将代入得， ②当，如图2，过作交的延长线于， 同理，， ， ， ， ， ， 当在的图象上， ， 解得或， ， ，此时，，符合题意； 将代入得，， ③易知，当，此种情况不存在； 综上所述，所对应的函数表达式为或； （3）由（2）知，当时，， 此时，的面积为1，不合题意舍去， 当时，，此时，的面积为3，符合题意， 由题意得，，取的中点， 在中可求得，在中可求得， 当，，三点共线时，取最小值，最小值为． 【变式1】（2023秋•惠山区月考）抛物线经过某种平移得到抛物线，这种平移可表述为　　 A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位 解：， 向左平移2个单位即可得到， 故选：． 【变式2】（2024•盐城模拟）已知抛物线为常数且与轴交于点． （1）点的坐标为 　　；对称轴为 　　（用含的代数式表示）； （2）无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合），则点的坐标为 　　； （3）若，且自变量满足时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式； （4）将点与点之间的函数图象记作图象（包含点、，若将在直线下方的部分保持不变，上方的部分沿直线进行翻折，可以得到新的函数图象，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，求的值． 解：（1）令，则， ； 抛物线的对称轴为直线， 故答案为：；； （2）抛物线， 又无论取何值，抛物线都过定点（与点不重合）， ， ， 当时，， ， 故答案为：； （3）， 抛物线开口方向向下． 由（1）知：抛物线的对称轴为直线， ①若，则，与矛盾，不合题意； ②若，则， 此时，抛物线的顶点为图象最高点， 即当时，函数的值为2， ， 解得：或（不合题意，舍去）． ； ③若，则， 此时，点是满足时，图象的最高点， ， 此种情况不存在， 综上，满足条件的抛物线的表达式为； （4）， 将点沿直线进行翻折后得到的对称点的坐标为， 点到直线的距离为1． ①当时， 图象上仅存在两个点到直线的距离为2， 此时，抛物线的顶点的纵坐标为， ， 解得：， 或（不合题意，舍去）， ； ②当时， 图象上仅存在两个点到直线的距离为2， 此时，抛物线的顶点的纵坐标为4， ， 解得：或． ， ． 不合题意，舍去． 综上，若图象上仅存在两个点到直线的距离为2，的值为或． 题型3：二次函数和其他函数图像的综合题 【例3】（2022•宿城区二模）观察规律，，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点，、2、作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点则的值为　　 A． B． C． D． 解：由题意得：在上，在直线上， ，， ； 同理：，， ； ，， ； ， ． ． 故选：． 【变式1】（2023•邗江区二模）如图，抛物线与轴交于点，交轴正半轴于，直线过，是抛物线第一象限内一点，过点作轴交直线于点，则的最大值为 　4　． 解：当时，或， 点的坐标为， 点的坐标为， 直线的解析式为：， 设点的坐标为， 轴 点的坐标为，， 点在第一象限， 线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 【变式2】（2024•宿迁模拟）定义：函数的图象与轴的交点，的横坐标分别为，，与轴的交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，且满足（或， 则称该函数为“函数”，例如，函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，满足，则称为“函数”． （1）请探究“函数” 中，与的关系． （2）如图，“函数” 的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），且经过点，现将抛物线沿射线方向平移，使点落在点处，同时抛物线上的点落在点处，已知由抛物线平移前，之间的曲线部分，平移后，之间的曲线部分及线段，所围成的图形的面积为，求线段的长． 解：（1）当时，． 函数是“函数”， 当时，，即点在抛物线上， ， ， ， ． 答：与的关系为：． （2）由（1）可得，即， 将代入， 得，解得， 抛物线的解析式为， 令，解得，， ，， 如图，连接，，根据平移的性质可知，与平行且相等， 四边形是平行四边形． 易知，，之间的曲线部分，，之间的曲线部分，线段，所围成的图形的面积就是平行四边形的面积． 过点作于， ，，， ，， ， ， ， ． 答：线段的长为5． 题型4：二次函数与方程（组）之间的关系 【例4】（2023•姜堰区一模）已知：是的函数，若函数图象上存在一点，满足，则称该点为函数图象上“准二倍点”，例如：是直线上的“准二倍点”．某二次函数的图象上存在“准二倍点”，则当时，两“准二倍点”间的最大距离是 　　． 解：将点代入得， ， ，即， ， 或， 点或， 两点距离为， ， 当时，距离最大， 最大距离为． 故答案为：． 【变式1】（2023•姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于、两点（点在点的左侧）． （1）若函数的图象过点、，其衍生点，求函数的解析式； （2）①若函数的衍生函数为，求、两点的坐标； ②函数的图象如图所示，请在图中标出点、两点的位置； （3）是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）函数的衍生点， ， 函数的图象过点、， ， ， ． （2）①函数的衍生函数为， ， ， 或， 、， ②由图象结合（1）得， ， ， 或， 、，见图所示： （3）点，，， ， 或， 、， 设直线的表达式为，则 ， ， ， 代入得，， ， 是任意实数， ， ． 【变式2】（2023•工业园区校级二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标与纵坐标的和为零，则称点为“零和点”．已知二次函数． （1）当时，求二次函数上的“零和点”； （2）若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，求的值． （1）当时，二次函数的解析式为：， 根据“零和点”的定义得：， ， 解方程组，得：， 二次函数上的“零和点”为或． （2）根据“零和点”的定义得：， 二次函数的图象上有且只有一个“零和点”， 方程组只有一组实数解， 将代入得：， 整理得：， 方程组，，只有一组实数解， 一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式△， 解得：． 题型5：二次函数与不等式（组）之间的关系 【例5】（2022•相城区校级自主招生）已知二次函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集是 　或或　． 解：分两种情况： ①当时，当或时，直线在抛物线的下方， 关于的不等式的解集是或； ②当时，当时，直线在抛物线的下方， 关于的不等式的解集是． 综上，关于的不等式的解集是或或． 故答案为：或或． 【变式1】（2022•宝应县一模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　　． 解：抛物线与直线交于，两点， ，， 抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当时， 直线在抛物线的上方， 不等式的解集是． 故答案为． 【变式2】（2023•建邺区二模）二次函数，、、是常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 　或　． 解：， ， ， 即二次函数大于一次函数时的取值范围， 如图，由图象可知，或， 故答案为：或． 题型6：二次函数与几何、代数的综合问题 【例6】（2024•盱眙县校级模拟）已知，，，是抛物线为常数）上的两点，当时，总有． （1）①求的值 　0　； ②当，的最大值是，求的值． （2）将抛物线平移后得到抛物线，当时，探究下列问题： ①如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等，求的取值范围． ②在①的条件下，设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点，直接写出长的取值范围 　　． 解：（1）①时，总有， 抛物线的对称轴为轴． ， ． 故答案为：0． ②抛物线． 当，即时，随增大而增大， 故时，取得最大值， ， 不符合题意，舍去）． 当时，即时，抛物线在顶点处取得最大值． ， ． 当，即时，随增大而减小， 当时，取得最大值， ， （不符合题意，舍去）． 综上所述，或0． （2）将抛物线平移后得到抛物线， 抛物线和抛物线的形状大小相同． ①当抛物线经过时， ， 不符合题意，舍去）． 此时当时，抛物线经过， 故当抛物线经过时， ， 不符合题意，舍去）． 综上所述，如果对抛物线上的任意一点， 在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等， 则的取值范围是． ②如图，由圆的性质知：、在线段的垂直平分线上， 连，，过作轴． 由抛物线得顶点． ． 由得，． ， ． 由得． 设的长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【变式1】（2024•滨湖区校级一模）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，在第三象限内的抛物线上，连、，交轴于，时，． （1）如图1，求该抛物线的解析式； （2）如图2，是抛物线第三象限一个动点，过作轴的垂线，垂足为，连接交轴于点，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，如图3，点在线段上，且，，求点坐标及相应的值． 解：（1）当时，， 解得或， ，， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在图象上， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由得，，，， 点横坐标为， 点纵坐标为， 设的表达式为， 则， 解得， 的表达式为， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）如图，过点作的垂线，作的平分线交的垂线与， 过点作的平行线交的延长线于点，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 设，，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 解得（舍去），， ， ， ， 解得， ， ， ． 【变式2】（2024•天宁区校级模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，是抛物线在直线上方图象上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）求△面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象．现将图象沿直线平移，得到新的图象与线段只有一个公共点，请直接写出图象的顶点横坐标的取值范围． 解：（1）抛物线与轴交于点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为：； （2）在中，令， 得：， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，设，过点作轴交直线于点， 则， ， ， 当时，取得最大值， 此时，点的坐标为，； （3）如图2，抛物线在点、之间的部分（含点、沿轴向下翻折，得到图象， ，顶点为， 图象的函数解析式为：，顶点坐标为， 直线的解析式为，直线的解析式为， 设图象向左平移个单位长度，则向上平移个单位长度，则点平移后的对应点为， 当点在直线上时，， 解得， 点平移后的横坐标， 时，线段与图象有一个交点； 设图象向左平移个单位长度，则向上平移个单位长度， 平移后的函数图象经过点时，， 解答或， 点横坐标向右平移5个单位长，则；点横坐标向右平移2个单位长，则； 时，线段与图象有一个交点；时，线段与图象有一个交点； 图象的顶点横坐标的取值范围为：或． 基础夯实训练 1．（2024•南通）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 解：因为， 所以抛物线的顶点坐标为， 所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为． 故选：． 2．（2024•高新区校级模拟）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论，其中正确的有　　 ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点 都在的左侧， 中， 抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧， 抛物线的开口一定向下，即， 把代入 得：， 即， ，， ， 故①错误； ②，，，， 方程的两个根的积大于0， 即， ， ， ， 即抛物线的对称轴在直线的右侧， 抛物线的顶点在点的上方或者右上方， ， ， ， 故②正确； ③， 当 时，， 抛物线对称轴在直线的右侧， 到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ，抛物线开口向下， 距离抛物线越近的函数值越大， ， 故③正确； ④方程可变为， 方程有两个相等的实数解， △． 把代入 得，即， ， 即， ， ， 即， ，在抛物线上， ，为方程 的两个根， ， ， ， ， ． 故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：． 3．（2024•工业园区校级模拟）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如表： 0 1 有以下几个结论： ①抛物线与轴的交点坐标是； ②抛物线的对称轴为直线； ③关于的方程的根为和； ④当时，的取值范围是． 其中正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：由题意，当和时的函数值均为， 抛物线的对称轴是直线． 当时的函数值与时的函数值相等，即当时，． 抛物线与轴的交点坐标是． ①②均为正确． 由题意，顶点为， 可设抛物线为． 又抛物线过点， ． ． 抛物线为． 又令， ． 或． 关于的方程的根为和，故③正确． 又当时，取最大值， 当时，的取值范围应该是两部分，故④错误． 故选：． 4．（2024•武进区校级模拟）抛物线与轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，下列式子正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 解：抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线上下平移对称轴不变， ，即， 抛物线开口向下， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变短， ， 故选：． 5．（2024•沛县校级模拟）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 　　． 解：， 二次函数的图象开口向上，顶点为，对称轴是直线， 到轴的距离小于2， ， 而， 当，， 当时，， 的取值范围是， 故答案为：． 6．（2024•宿豫区二模）如图，在△中，，，点是边上一个动点，以为边作正方形，连接，△面积的最大值是 　　． 解：如图，过点作于，过点作于，过点作于． 在△中，，， ， ，， ， 设，则， 四边形是正方形， ，， ，， ， △△， ， ， ， 当时，△的面积的最大，最大值为． 故答案为：． 7．（2024•浦口区校级三模）如图，在中，，，．点沿线段从向运动，同时，点从出发沿运动，且．是线段的中点，运动过程中，的最小值为 　　． 解：设，则，， ， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 是线段的中点， ， 的最小值为． 故答案为：． 8．（2025•泗洪县一模）用同样大小的正方体木块依次堆放成如图（1）、图（2）、图（3）所示的实心几何体，并按照这样的规律继续堆放下去，设第个图形中含有正方体木块个． （1）填表： 1 2 3 4 　1　 　　 　　 　　 　　 （2）已知是的二次函数，求这个二次函数的表达式． （3）第10个图形中的正方体木块有多少个？ （4）是否存在某个图形，它对应的几何体由1770个正方体木块组成？若存在，指出它是第几个图形；若不存在，请说明理由． 解：（1）第1叠放的图形中，小正方体木块个数有1个； 第2个叠放的图形中，小正方体木块个数有个； 第3个叠放的图形中，小正方体木块个数应有个； 第4个叠放的图形中，小正方体木块个数应是个； 第个叠放的图形中，小正方体木块个数应有 个， 故答案为：1；6；19；28，； （2）二次函数的表达式为； （3）当时，， 答：第10个图形中的正方体木块有190个； （4）当时，即， 解得：（负值舍去）， 存在，它是第30个图形． 9．（2024•扬州）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求、的值； （2）若点在该二次函数的图象上，且△的面积为6，求点的坐标． 解：（1）把，代入得：， 解得； （2）由（1）知，二次函数解析式为， 设点坐标为， △的面积为6，， ， ， 即或， 解得或， 或． 10．（2024•广陵区校级四模）如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，为常数），通过输入不同的、的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题． （1）求与抛物线相对应的、的值； （2）若把抛物线相对应的、的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点； （3）另有直线与抛物线交于点，，与抛物线交于点，，若的值是整数，请直接写出的最大值． 解：（1）把和代入抛物线，得 ， 解得． （2）， 的解析式为， 故抛物线的顶点坐标为； 根据题意，得抛物线的解析式， 令， 得， 解得， 故抛物线与轴交点的坐标为； 当， ， 故抛物线经过的顶点． （3）直线与抛物线交于点，，与抛物线交于点，， ， ， 当时， 得，， 解得，， ，， ， 令， 根据反比例函数的性质，得当越小时，越大， 的值是整数， 是整数，且是整数， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 的最小值是3，此时最大，此时， 故的最大值为． 故的最大值是． 能力拔高训练 11．（2024•连云港）已知抛物线、、是常数，的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是　　 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 解：顶点为， ， ， ， ， ， ， 无法判断，故①错误； ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，故②正确； ，， ， 当时，， ， ，故③正确； ， 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到，故④错误； 故选：． 12．（2024•沭阳县一模）将抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移6个单位长度，所得抛物线相应的函数表达式是　　 A． B． C． D． 解：抛物线向左平移5个单位长度得到，再向上平移6个单位得到． 故选：． 13．（2024•海州区校级一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①； ②若点，，均在该二次函数图象上，则； ③若为任意实数，则； ④方程的两实数根为，，且，则，； 正确结论的序号为　　 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 解：抛物线经过， ，①正确， ， 抛物线开口向下， 点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ，②错误； ， ， ， ， 抛物线的最大值为， 若为任意实数，则， ，③正确； 方程的两实数根为，， 抛物线与直线的交点的横坐标为，， 由抛物线对称性可得抛物线与轴另一交点坐标为， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线开口向下，， ，，④正确． 故选：． 14．（2024•苏州一模）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 解：抛物线的开口方向向下， ． 抛物线的对称轴为直线， ， ，． ，， ， ①的结论正确； 抛物线经过点， ， ， ． ， ②的结论正确； 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的对称点为， ， 当时，随的增大而减小． ， ． ③的结论不正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线一定经过点， 抛物线与轴的交点的横坐标为，1， 方程的两根为，， ④的结论正确； 直线经过点， ， ． ， ， ， ． 函数 ， ， 当时，函数有最大值， ⑤的结论不正确． 综上，结论正确的有：①②④， 故选：． 15．（2024•无锡模拟）已知二次函数的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是 　　．（从小到大排列） 解：依题意，，，在二次函数为常数，且的图象上， 对称轴为直线，抛物线开口向上， ，， 点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为3，点到对称轴的距离为2， ， 故答案为：． 16．（2024•南京模拟）已知函数的图象如图所示，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为 　或　． 解：由题意，直线与函数的图象恒相交， ①当时，直线与直线恒相交， 与抛物线至少有一个交点时， 即方程有两个实数根， ． △， 解得：． 当时，直线与函数的图象有两个或三个交点， 当时，直线与函数的图象只有一个交点； ②当时，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点， 综上，若直线与该图象只有一个交点，则的取值范围为或． 故答案为：或． 17．（2022•惠山区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，则点的坐标为 　　（用含的代数式表示）；若作，且、在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为 　　． 解：延长，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，作于，如图， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ，． 抛物线的顶点为，与轴交于点， 点，点， ，，， ． ，， ， ， 即：， ， 点的坐标为， ，， ， ， 所求函数的解析式为：． 故答案为． 18．（2024•广陵区一模）如图，直线与轴、轴分别交于点、，抛物线经过点、，并与轴交于另一点． （1）求此抛物线及直线的函数表达式； （2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，，，，与直线交于点，，若，结合函数的图象，求的取值范围； （3）经过点的直线与射线、射线分别交于点、．当直线绕点旋转时，是否为定值，若是，求出这个值，若不是，说明理由． 解：（1）直线与轴、轴分别交于点、， 点，点． 将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的函数表达式为． 设直线的函数表达式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的函数表达式为． （2）， ． 当直线经过点时，，，此时； 当直线经过顶点时，直线的解析式为， ，，此时． 当时，直线在直线与直线之间（如图， ． （3）为定值3，理由如下： 设直线的解析式为， 当时，有， 解得：， 点的坐标为，， ，； 联立直线与直线的函数表达式成方程组， 得：，解得：， 点的坐标为，． 过点作轴，垂足为，如图2所示，则． 轴， ， ， ， ， ． 19．（2022•江阴市校级一模）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点，（1）求抛物线与直线的函数解析式； （2）设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； （3）若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 解：（1）抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 将点，代入， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ； （2）点的坐标为，轴， ，， ，、的中点为， 以为直径的圆与轴相切， ， 或； （3）存在这样的点，使得与相似，理由如下： ，， 当得与相似时有两种情况： ①当时， 过点作轴交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，； ②当时，轴， 点纵坐标为， ， ， ，； 综上所述：点的坐标为，或，． 20．（2024•宿迁）如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 解：（1）由题意得：； 而过、， 则； （2）设点、点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则； （3）由（1）知，， 联立、得：， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 整理得：， 则，即， 即， 即为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$