专题02矩形的性质与判定期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题02矩形的性质与判定期中复习讲义 1.理解矩形定义：有一个角是直角的平行四边形，明确矩形属于特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质。 2.掌握矩形核心性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称、中心对称图形，能找出对称轴。 3.掌握直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，会利用结论进行线段计算。 4.熟练矩形的三种判定方法，分清判定前提，规范几何证明书写，能添加条件判定矩形。 5.能区分矩形性质与判定，理清逻辑关系，可结合勾股定理、全等三角形完成推理与计算。 6.能解决矩形综合题型，识别矩形折叠等常见几何模型，求解线段、角度与图形面积。 理清易错点：判定矩形注意区分平行四边形和任意四边形的前提；不要混淆矩形、菱形对角线的不同特点。 题型 考察方向 难度 题型一 矩形性质理解 ★ 题型二 利用矩形的性质求角度 ★★ 题型三 根据矩形的性质求线段长 ★★ 题型四 根据矩形的性质求面积 ★★ 题型五 利用矩形的性质证明 ★★ 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 ★★★ 题型七 矩形与折叠问题 ★★★★ 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型九 矩形的判定定理理解 ★ 题型十 添一条条件使四边形是矩形 ★★ 题型十一 证明四边形是矩形 ★★★ 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 一句话定位：矩形是最 “规矩” 的平行四边形—— 有一个角是直角的特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质+直角专属特权。 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形专属重要推论（必考模型） 推论：直角三角形斜边上的中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的三大判定（易错重点） 易错：对角线相等的普通四边形≠矩形。 知识点05.黄金推论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点06:期中高频解题核心结论（直接套用） 1.矩形的对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形； 2.矩形中，对角线与边长满足勾股定理（如矩形 ABCD，AC=BD=）； 3.判定矩形的核心思路：先证平行四边形，再补矩形独有条件（直角 / 对角线相等），或直接证三个直角。 知识点07:高频易错点 错误说法 正确结论 错因分析 有一个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形才是矩形 缺少 “平行四边形” 前提 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形才是矩形 普通四边形对角线相等不能判定矩形 矩形有 4 条对称轴 矩形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴数量混淆 任意三角形斜边中线等于斜边一半 只有直角三角形满足斜边中线定理 定理适用条件记错 题型一：矩形性质理解 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是______________． 2．如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 3．已知，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝1，AC＝，以AC为一边作等腰直角△ACD，使∠CAD＝90°，连接BD，则线段BD的长度为________． 题型二：利用矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数为_________． 6．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 题型三：根据矩形的性质求线段长 7．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和7，则的长为______． 8．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了______． 9．如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型四：根据矩形的性质求面积 10．如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 11．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 12．如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 题型五：利用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 15．在矩形中，，，要在该矩形中剪出一个面积最大的菱形，则菱形的边长为_______． 题型六：求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 17．如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 18．如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于___________ 题型七：矩形与折叠问题 19．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，则的度数为___________． 20．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且落在处，若，，则的长是__________． 21．已知长方形纸片的边长，，将长方形纸片沿折叠，使点和点重合，则重合部分的面积是（     ） A． B．2 C． D．4 题型八：斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，在中，，是的中线，若，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 23．如图，已知，点分别为的中点，连接、，，．则的长为（     ）． A．7 B．5 C． D．6 24．如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________． 题型九：矩形的判定定理理解 25．下列条件中，能判定一个平行四边形是矩形的是（     ） A．一组邻边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一条对角线平分一组对角 26．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 27．王师傅需要检查加工的零件是否符合要求（如图，所有面均为矩形即为符合要求），下列方法中正确的是（     ） A．测量各个面的两条对角线，是否相等 B．测量各个面的两条对角线，是否互相平分 C．测量各个面的三个角，是否都是直角 D．测量各个面的两条对角线，是否互相垂直 题型十：添一条条件使四边形是矩形 28．如图，要使是矩形，需要增加的条件是（     ） A．与互相平分 B． C． D． 29．如图所示，已知，下列条件：①，②，③，④中，能说明是矩形的有（填写序号）_________． 30．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：证明四边形是矩形 31．学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．甲和乙分别准备了如图所示的工具，关于谁能完成判定，下列说法正确的是（  ） A．甲能，乙不能 B．乙能，甲不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 32．如图，在四边形中，连接交于点，则补充下列条件后仍不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 33．如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 题型十二：根据矩形的性质与判定求角度 34．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 35．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型十三：根据矩形的性质与判定求线段长 37．如图，中，，D是上一个动点，过点D分别作于点E，于点F，连接，则线段的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 38．如图，在矩形中，，点P，Q分别是边上的动点，点P，Q同时出发，点P从点D出发以的速度向点A移动，一直到达点A为止，点Q从点 B出发以的速度向点C移动，则当点P和点Q的距离是时，P，Q两点运动了（     ） A．或 B．或 C． D． 39．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是等边三角形，，平分交于点，连接．线段的长等于_______． 题型十四：根据矩形的性质与判定求面积 40．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是________． 41．如图，菱形的面积为20，点分别为的中点，则四边形的面积为（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 42．如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 解答题 43．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 44．如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 45．如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 46．如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，是对角线，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若． ①求证：四边形是菱形； ②当，时，求四边形的面积； ③在①②条件下，若点是对角线上的动点，连接，，请直接写出的最小值． 47．如图，是等腰三角形，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 48．矩形纸片，其中，，将矩形纸片对折，使A与B重合，C与D重合，折痕为（如图1），然后展开，再将矩形进行第二次折叠，使点C与点A重合，折痕为（如图2），然后展平，两条折痕交于点P． 猜想证明： (1)求证：； (2)若时，求线段的长． (3)连接，，，（如图3），判断四边形的形状，并说明理由． (4)如图4，若，点N是线段上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，交线段于点O，当是直角三角形时，直接写出此时的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02矩形的性质与判定期中复习讲义 1.理解矩形定义：有一个角是直角的平行四边形，明确矩形属于特殊平行四边形，具备平行四边形所有性质。 2.掌握矩形核心性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；是轴对称、中心对称图形，能找出对称轴。 3.掌握直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，会利用结论进行线段计算。 4.熟练矩形的三种判定方法，分清判定前提，规范几何证明书写，能添加条件判定矩形。 5.能区分矩形性质与判定，理清逻辑关系，可结合勾股定理、全等三角形完成推理与计算。 6.能解决矩形综合题型，识别矩形折叠等常见几何模型，求解线段、角度与图形面积。 理清易错点：判定矩形注意区分平行四边形和任意四边形的前提；不要混淆矩形、菱形对角线的不同特点。 题型 考察方向 难度 题型一 矩形性质理解 ★ 题型二 利用矩形的性质求角度 ★★ 题型三 根据矩形的性质求线段长 ★★ 题型四 根据矩形的性质求面积 ★★ 题型五 利用矩形的性质证明 ★★ 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 ★★★ 题型七 矩形与折叠问题 ★★★★ 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型九 矩形的判定定理理解 ★ 题型十 添一条条件使四边形是矩形 ★★ 题型十一 证明四边形是矩形 ★★★ 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 一句话定位：矩形是最 “规矩” 的平行四边形—— 有一个角是直角的特殊平行四边形，兼具平行四边形所有性质+直角专属特权。 知识点01.矩形的定义 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形专属重要推论（必考模型） 推论：直角三角形斜边上的中线定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1.由来：矩形对角线互相平分且相等，将矩形沿一条对角线分割，得到两个全等直角三角形，直接推出本结论； 2.几何语言： 在△ABC中，∠ABC=90，点O是斜边AC中点 BO=AC 3.延伸结论： 若直角三角形一边中线等于该边一半，则这个三角形是直角三角形（逆定理，可用于证明直角）； 矩形对角线相交后，会形成两对全等的等腰三角形(△AOB、△BOC、△COD、△DOA)均为等腰三角形）。 知识点04:矩形的三大判定（易错重点） 易错：对角线相等的普通四边形≠矩形。 知识点05.黄金推论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点06:期中高频解题核心结论（直接套用） 1.矩形的对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形； 2.矩形中，对角线与边长满足勾股定理（如矩形 ABCD，AC=BD=）； 3.判定矩形的核心思路：先证平行四边形，再补矩形独有条件（直角 / 对角线相等），或直接证三个直角。 知识点07:高频易错点 错误说法 正确结论 错因分析 有一个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形才是矩形 缺少 “平行四边形” 前提 对角线相等的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形才是矩形 普通四边形对角线相等不能判定矩形 矩形有 4 条对称轴 矩形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴数量混淆 任意三角形斜边中线等于斜边一半 只有直角三角形满足斜边中线定理 定理适用条件记错 题型一：矩形性质理解 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是______________． 【答案】 对角线相等，或四个角都是直角 【分析】对比矩形与一般平行四边形的性质，找出矩形特有的性质即可． 【详解】解：平行四边形的性质是：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分． 矩形是特殊的平行四边形，它具备一般平行四边形的所有性质，同时还拥有一般平行四边形不具备的性质：四个角都是直角，或对角线相等． 因此符合要求的性质是对角线相等，或四个角都是直角． 2．如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简矩形的长，再根据正方形面积求出其边长，结合图形得出阴影部分的长和宽，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，即矩形空地的长为， ∵四个角的面积均为的正方形， ∴四个角的正方形边长都为， ∴蹦床乐园的长为：，蹦床乐园的宽为， ∴蹦床乐园的面积为：． 3．已知，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝1，AC＝，以AC为一边作等腰直角△ACD，使∠CAD＝90°，连接BD，则线段BD的长度为________． 【答案】或 【分析】AC作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算． 【详解】解：情况一：延长AB交CD于E ∠BAC＝45°，∠CAD＝90° 所以AE是等腰直角△ACD的高线，中线 所以，，CE=DE 因为，，∠BAC＝45° 所以△ACE也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2 所以BE=AE-AB=2-1=1 又因为DE=CE=2， 所以，BD= 情况二：延长直线AB，分别过C、D作垂线，交直线AB于F、E． 与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1 所以，BE=EF-BF； 因为∠BAC＝45°， 所以，∠ACF＝180°-∠BAC-∠F=45° 因为△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90° 所以∠ACD＝45° 所以 ，∠FCD＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90° 又因为 所以四边形DEFC是矩形 所以DE=CF=2，EF=DC； 因为在等腰直角△ACD中，∠CAD＝90°， 所以，根据勾股定理，CD=4 所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3 因此， 故答案为或． 【点睛】这道题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键． 题型二：利用矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线和相交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得出，，再根据直角三角形两锐角互余可得出，再根据等边对等角得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C. 5．如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】利用矩形对角线相等且互相平分的性质，可得，所以．由三角形外角性质知，，结合，可知是等腰直角三角形，得到和的度数，根据等腰三角形内角和性质求出的度数，即可推导的度数． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点，为圆心，相同长（大于）为半径作弧，两弧交于点，作射线，与相交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】令与的交点为，由矩形与等腰三角形的性质，得到，由作法可知，垂直平分，再结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：如图，令与的交点为， 矩形， ， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ． 题型三：根据矩形的性质求线段长 7．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和7，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的对角线相等可得，利用刻度尺上、两点的读数差求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵顶点，对应的刻度分别为1和7， ∴， ∴． 8．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了______． 【答案】或 【分析】过点作于点，设运动时间为，则，，则四边形是矩形， 由矩形的性质得到，，则，利用勾股定理求出后列方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 设运动时间为， 由题意得，， 则 ， （秒）， 则， 四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，当时，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴运动时间为或． 9．如图，在矩形中分别以，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与，相交于点和点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，，由勾股定理求出，由题意得垂直平分，进而得到，，，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，进而求出，证明可得． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， 由题意得，垂直平分， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：D． 题型四：根据矩形的性质求面积 10．如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质以及三角形面积；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质得，推出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，、相交于点， ，，， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 11．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 将矩形沿折叠， ， ， ， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得， ， ． 12．如图，直线经过矩形的对角线的交点O，已知矩形的面积为20，，则的长为_______，四边形的面积为______________． 【答案】 2 10 【分析】连接，由矩形的性质可得，，，证明得出，由题意可得，再结合梯形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵直线经过矩形的对角线的交点O， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形的面积为20， ∴， ∴四边形的面积为． 题型五：利用矩形的性质证明 13．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 14．如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得到，因此是的垂直平分线，得到，设，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 15．在矩形中，，，要在该矩形中剪出一个面积最大的菱形，则菱形的边长为_______． 【答案】 【分析】矩形内面积最大的菱形满足四条边相等，利用勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设菱形的边长为， 矩形内面积最大的菱形， 菱形的两条对边一定在边上，且经过矩形的两个顶点，如图所示， ， ， ∴， 矩形中，， 在中，由勾股定理得：，代入得，展开整理得，解得， ， 面积最大的菱形边长为． 题型六：求矩形在坐标系中的坐标 16．如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 【答案】 【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长． 【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3）， ∴OB= ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 17．如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】矩形对角线相等且互相平分，因此对角线与中点相同，且，设中点为，先求出点坐标对应的中点纵坐标，再利用中点坐标公式求出点纵坐标． 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 18．如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于___________ 【答案】 【分析】将图形进行分解（见解析），根据图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等可得当正比例函数的图象经过点时，恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，代入计算即可． 【详解】解：将图形进行分解如下： ∵图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等， ∴当正比例函数的图象经过点，即时，恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分， ∴， 解得． 题型七：矩形与折叠问题 19．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】根据平行线的性质求得，再根据折叠的性质即可解答． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 根据折叠可得． 20．如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且落在处，若，，则的长是__________． 【答案】3 【分析】先利用矩形的性质和勾股定理求出，再根据折叠可得，，，则，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且落在处， ∴，，， ∴， 设，则， 在中：， ∴，解得：， ∴． 21．已知长方形纸片的边长，，将长方形纸片沿折叠，使点和点重合，则重合部分的面积是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和勾股定理求出的长，进而得到重合部分的面积． 【详解】解：将长方形纸片沿折叠，使点和点重合， ，， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 题型八：斜边的中线等于斜边的一半 22．如图，在中，，是的中线，若，则的长为（     ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵，是的中线 ∴ ∵ ∴． 23．如图，已知，点分别为的中点，连接、，，．则的长为（     ）． A．7 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：，点是的中点，， ， 同理可得：， ， ∵点是中点， ，， ． 24．如图，中，为上的一动点，连接，过点作，垂足为，若，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】取的中点E，连接，根据垂线段最短，解答即可． 【详解】解：取的中点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， 根据题意，得， ， 当三点共线时，取得最小值，且最小值为5． 题型九：矩形的判定定理理解 25．下列条件中，能判定一个平行四边形是矩形的是（     ） A．一组邻边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项：一组邻边相等、对角线互相垂直、一条对角线平分一组对角是菱形的判定条件；对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：一组邻边相等的平行四边形是菱形，故A项错误． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B项错误． 对角线相等的平行四边形是矩形，故C项正确． 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故D项错误． 26．如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（     ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线垂直的平行四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 27．王师傅需要检查加工的零件是否符合要求（如图，所有面均为矩形即为符合要求），下列方法中正确的是（     ） A．测量各个面的两条对角线，是否相等 B．测量各个面的两条对角线，是否互相平分 C．测量各个面的三个角，是否都是直角 D．测量各个面的两条对角线，是否互相垂直 【答案】C 【分析】根据矩形的判定解答即可． 【详解】解：根据“三个角是直角的四边形是矩形”可以得到测量零件各个面的三个角，是否都是直角即可检验该四边形是不是矩形，则C选项符合题意． 题型十：添一条条件使四边形是矩形 28．如图，要使是矩形，需要增加的条件是（     ） A．与互相平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质与判定即可知道答案． 【详解】解：A、与互相平分是的性质，不能额外证明是矩形，错误； B、是邻边相等，邻边相等的是菱形，错误； C、是对角线相等，对角线相等的是矩形，正确； D、是对角线互相垂直，对角线互相垂直的是菱形，错误． 29．如图所示，已知，下列条件：①，②，③，④中，能说明是矩形的有（填写序号）_________． 【答案】①④ 【分析】根据矩形的判定定理，逐个对给出的4个条件进行辨析，判断哪个条件可以证明平行四边形为矩形． 【详解】解：①四边形是平行四边形，， ∴是矩形． ②四边形是平行四边形，， ∴是菱形，不能判定为矩形． ③四边形是平行四边形， ，可得，属于平行四边形固有性质，不能判定为矩形． ④， ． 四边形是平行四边形， ∴是矩形． 综上，符合条件的是． 30．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，无法推出平行四边形满足矩形，故A错误； B．仅说明与对角线垂直，无法推出平行四边形的内角为直角，不能判定为矩形，故B错误； C．对角线垂直无法推出平行四边形是矩形，故C错误； D．对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，故D正确． 题型十一：证明四边形是矩形 31．学完矩形的判定以后，张老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是否为矩形．甲和乙分别准备了如图所示的工具，关于谁能完成判定，下列说法正确的是（  ） A．甲能，乙不能 B．乙能，甲不能 C．他俩都能 D．他俩都不能 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有3个角是直角的四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：甲用量角器测量四边形的四个内角的度数，如果有3个角是直角，即可判定这张纸片是矩形； 乙用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条对角线的长度，如果四边形的两组对边的长度分别相等且两条对角线的长度相等，即可判定这张纸片是矩形； 故他俩都能判定这张纸片是否矩形． 故选C． 32．如图，在四边形中，连接交于点，则补充下列条件后仍不能判定四边形为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四边形为平行四边形， A、添加，根据“有一个直角的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； B、添加，则，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； C、添加，则，，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以得到四边形为矩形，不符合题意； D、添加，不能判定四边形为矩形，符合题意． 33．如图，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，．添加一个适当的条件：当______时，四边形为矩形． 【答案】O是的中点（答案不唯一） 【分析】先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是的中点， 理由如下：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴平行四边形是矩形． 题型十二：根据矩形的性质与判定求角度 34．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 35．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 36．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 题型十三：根据矩形的性质与判定求线段长 37．如图，中，，D是上一个动点，过点D分别作于点E，于点F，连接，则线段的最小值是（　　） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质及勾股定理的应用，连接，证明四边形是矩形，得出，当时，取最小值，即线段的长最小，计算求出最小值即可． 【详解】解：连接， ，， ， 四边形是矩形， ， 是上一个动点， 当时，取最小值，即线段的长最小， ， ， ， ， 故选：D． 38．如图，在矩形中，，点P，Q分别是边上的动点，点P，Q同时出发，点P从点D出发以的速度向点A移动，一直到达点A为止，点Q从点 B出发以的速度向点C移动，则当点P和点Q的距离是时，P，Q两点运动了（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为，则，，过点Q作于点E，则四边形是矩形， 由矩形的性质得到，，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴ （秒）， 如图所示，过点Q作于点E，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴运动时间为或． 39．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是等边三角形，，平分交于点，连接．线段的长等于_______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形、等边三角形与矩形的综合：由对角线互相平分及等边三角形得出等腰三角形的顶角为，从而判定矩形；利用三线合一及“含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”求出边长，再用勾股定理求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十四：根据矩形的性质与判定求面积 40．如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 41．如图，菱形的面积为20，点分别为的中点，则四边形的面积为（    ） A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的性质与判定，连接，二者交于点O，根据菱形的性质可得，，再由三角形中位线定理可得，则可证明四边形是矩形，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，二者交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵菱形的面积为20， ∴，即； ∵点分别为的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴， 故选：C． 42．如图，在中，，，连接，相交于点，为的中点，若，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得出，进而得出是矩形，根据矩形的性质得出，，进而根据四边形的面积即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质与判定，熟练掌握矩形的中是解题的关键． 解答题 43．如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】证明，得出，再根据，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 44．如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，点O为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵交边于点E，交边于点F， ∴是对角线的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）依题意得是对角线的垂直平分线，则，，，进而可证明得，由此得，据此可得出结论； （2）由得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：如图连接，则为的中点， ∵， ∴， 在矩形中，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴． 45．如图，点O是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后由菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）首先证明是等边三角形，求出，，然后利用矩形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 46．如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，是对角线，过点作交的延长线于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若． ①求证：四边形是菱形； ②当，时，求四边形的面积； ③在①②条件下，若点是对角线上的动点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． (2)①证明：四边形是平行四边形， ，即 ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形， E为边的中点， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 四边形为菱形； ②． ③5． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形； （2）①根据平行四边形的性质及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得出四边形是菱形； ②由四边形是矩形容易求出，进而可得，根据平行四边形的对角线平分平行四边形面积即可得出菱形的面积； ③连接交于O，根据两点之间线段最短即可得出最小值． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：由①可知：四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴菱形的面积． ③连接交于O，    ∵同理（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴当点、、三点共线时，即点P与点重合时，最小，最小值为． 47．如图，是等腰三角形，，点，分别是，的中点，连接并延长至点，使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中点， ∴，即， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ADCF是平行四边形，再证明，从而可证四边形是矩形； （2）先证明是等边三角形，得出，在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴矩形的面积． 48．矩形纸片，其中，，将矩形纸片对折，使A与B重合，C与D重合，折痕为（如图1），然后展开，再将矩形进行第二次折叠，使点C与点A重合，折痕为（如图2），然后展平，两条折痕交于点P． 猜想证明： (1)求证：； (2)若时，求线段的长． (3)连接，，，（如图3），判断四边形的形状，并说明理由． (4)如图4，若，点N是线段上的动点，将沿所在直线折叠，得到，连接，交线段于点O，当是直角三角形时，直接写出此时的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， 折叠， ， ， ； (2) (3)四边形是平行四边形，理由如下： 由第一次折叠可得，，， ， 由第二次折叠可得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； (4)或 【分析】（1）由四边形是矩形，得，进而得， ，即可证明结论； （2）设，由折叠，得，在中，由，求得即可求解 ； （3）根据折叠可得出，，，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，然后根据证明，得出，，再证明，最后根据平行四边形的判定即可得证； （4）分和讨论，根据矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ， 折叠， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ； （3）略 （4）解：由题意知， 在中，， ， 解得， ， 当，如图， 则， 四边形是矩形， ，， 翻折， ，， ， 在中，， ， 解得， ； 当时，如图， 连接，过作于点， 则四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 解得， ， 过作于点， 则， 即， 解得， ， ， 在中，， ， 解得， ； 综上所述，的长为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $