第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（讲练）（思维导图+10考点+4种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用 （思维导图+10个考点+4种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 反比例函数的相关概念 4 重点考点二 反比例函数的图象与性质 4 重点考点三 反比例系数k的几何意义 6 重点考点四 反比例函数与一次函数综合 10 重点考点五 反比例函数的实际应用 11 题型精讲 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：反比例函数的图象 12 考点2：反比例函数图象的对称性 13 考点3：反比例函数的性质 13 考点4：反比例函数系数k的几何意义 14 考点5：反比例函数图象上点的坐标特征 15 考点6：待定系数法求反比例函数解析式 16 考点7：反比例函数与一次函数的交点问题 18 考点8：根据实际问题列反比例函数关系式 19 考点9：反比例函数的应用 19 考点10：反比例函数综合题 21 第二部分：高频题型洞悉 22 题型1：已知比例系数求特殊图形的面积 22 题型2：根据图形面积求比例系数（解析式） 24 题型3：一次函数与反比例函数的交点问题 25 题型4：反比例函数与几何综合 26 分层训练 巩固提升 28 基础夯实训练 28 能力拔高训练 33 考点要求 新课标要求 命题预测 反比例函数相关概念 · 理解与掌握反比例函数相关概念. 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究. 反比例函数的图象与性质 · 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. · 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 反比例系数k的几何意义 · 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 反比例函数与一次函数综合 反比例函数的实际应用 · 能用反比例函数解决简单实际问题 重点考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. 2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 重点考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 重点考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 重点考点四 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 重点考点五 反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 第一部分：常考考点讲练 考点1：反比例函数的图象 【例1】（2023•扬州）函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022•清江浦区三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：是气体体积（单位：的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•秦淮区二模）若一个数大于它的倒数，结合和的图象（如图），可知的取值范围是 　　． 考点2：反比例函数图象的对称性 【例2】（2021•滨海县一模）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　． 【变式1】（2020•盱眙县校级模拟）如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为　　． 【变式2】（2020•鼓楼区校级模拟）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点是　　． 考点3：反比例函数的性质 【例3】（2024•宜兴市模拟）反比例函数的图象在每一象限内随的增大而减小，那么的值可以是　　 A． B．0 C．5 D．6 【变式1】（2024•邗江区校级三模）在中，有两点，，则与的关系满足下列哪个选项？　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•广陵区一模）如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标为、．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D．或 考点4：反比例函数系数k的几何意义 【例4】（2024•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值是　　 A．6 B．12 C．24 D．36 【变式1】（2024•滨湖区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例 函数图象于点，若的面积为，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•宿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 　　． 考点5：反比例函数图象上点的坐标特征 【例5】（2024•宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点 ，点为轴上一点，且，连接，若△的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2024•梁溪区二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•常州二模）有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字．这样就得到一个点的坐标． （1）点落在坐标轴上的概率为 　　； （2）求这个点恰好在函数的图象上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果） 考点6：待定系数法求反比例函数解析式 【例6】（2024•盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点坐标． 【变式1】（2024•天宁区校级模拟）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将△绕着点逆时针旋转得到△． （1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式． 【变式2】（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，的直角边在轴上，，，反比例函数的图象经过边的中点． （1）直接写出这个反比例函数的表达式 　　； （2）若与关于点成中心对称，且的边在轴的正半轴上，点在这个函数的图象上． ①直接写出的长 　　、对称中心点的坐标 　　； ②连接，，证明四边形是正方形． 考点7：反比例函数与一次函数的交点问题 【例7】．（2024•启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1】（2024•广陵区校级四模）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的垂线，与双曲线交于点．且，则的值为 　　． 【变式2】（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及△的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 考点8：根据实际问题列反比例函数关系式 【例8】（2023•泰兴市二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映与之间的关系的式子是　　 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 【变式1】（2020•高邮市一模）近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例（即，已知200度近视眼镜的镜片焦距为，则与之间的函数关系式是　　． 考点9：反比例函数的应用 【例9】（2024•南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 　　． 【变式1】（2024•宿迁三模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【变式2】（2024•兴化市二模）制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过一段时间的冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 考点10：反比例函数综合题 【例10】（2023•高新区校级模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； （3）直线沿轴方向平移，当为何值时，△的面积最大？最大值是多少？ 【变式1】（2024•扬中市二模）如图，矩形的对角线相交于点，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，与对角线交于点． （1）若点与点重合，则　　； （2）连接，求证：； （3）当时，求的值． 【变式2】（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形． （1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为． ①求证：四边形为平行四边形； ②求的面积； （2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标； （3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：已知比例系数求特殊图形的面积 【例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 【变式2】（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D． （1）求a的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 题型2：根据图形面积求比例系数（解析式） 【例2】（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 【变式1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    题型3：一次函数与反比例函数的交点问题 【例3】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【变式1】（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【变式2】．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 题型4：反比例函数与几何综合 【例4】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【变式1】．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【变式2】（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 基础夯实训练 1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（    ） A．3 B． C． D． 2．（2021·江苏连云港·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征． 甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大． 则这个函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·江苏无锡·中考真题）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 5．（2023·江苏扬州·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ． 6．（2023·江苏南通·中考真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．    7．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 9．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 10．（2020·江苏徐州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 11．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．    (1)，，求函数的表达式及的面积； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； (3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由． 12．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点． （1）k＝　　； （2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：； （3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　． 能力拔高训练 13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 14．（2019·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 15．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ） A．1 B． C． D．4 16．（2021·江苏常州·中考真题）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（    ） A． B． C． D． 17．（2023·江苏无锡·中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ． 18．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则 ． 19．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则 ． 20．（2018·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 . 21．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)_________，_________； (2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 22．（2016·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为 ． 23．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． (1)求、的值； (2)求的面积． 24．（2014·江苏淮安·中考真题）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上， （1）k的值为　 　； （2）当m=3，求直线AM的解析式； （3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由． 25．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． 【理解】 （1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，． ①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）； ②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系． 【应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记． ①当时，__________；当时，________； ②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 26．（2014·江苏徐州·中考真题）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）． （1）k= ； （2）试说明AE=BF； （3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标． 27．（2018·江苏泰州·中考真题）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′． （1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上． ①分别求函数y1、y2的表达式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围； （2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值； （3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 第12讲 反比例函数的图象、性质及应用 （思维导图+10个考点+4种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 反比例函数的相关概念 4 重点考点二 反比例函数的图象与性质 4 重点考点三 反比例系数k的几何意义 6 重点考点四 反比例函数与一次函数综合 10 重点考点五 反比例函数的实际应用 11 题型精讲 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：反比例函数的图象 12 考点2：反比例函数图象的对称性 14 考点3：反比例函数的性质 15 考点4：反比例函数系数k的几何意义 17 考点5：反比例函数图象上点的坐标特征 21 考点6：待定系数法求反比例函数解析式 24 考点7：反比例函数与一次函数的交点问题 29 考点8：根据实际问题列反比例函数关系式 32 考点9：反比例函数的应用 33 考点10：反比例函数综合题 37 第二部分：高频题型洞悉 42 题型1：已知比例系数求特殊图形的面积 42 题型2：根据图形面积求比例系数（解析式） 46 题型3：一次函数与反比例函数的交点问题 50 题型4：反比例函数与几何综合 55 分层训练 巩固提升 60 基础夯实训练 60 能力拔高训练 74 考点要求 新课标要求 命题预测 反比例函数相关概念 · 理解与掌握反比例函数相关概念. 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为15分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究. 反比例函数的图象与性质 · 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况. · 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 反比例系数k的几何意义 · 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 反比例函数与一次函数综合 反比例函数的实际应用 · 能用反比例函数解决简单实际问题 重点考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. 1. 反比例函数（）的自变量的取值为一切非零实数，函数的取值是一切非零实数. 2. 反比例函数的表达式中，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 3. 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值k. 重点考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 重点考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 重点考点四 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 2） 从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 1. 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 重点考点五 反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 第一部分：常考考点讲练 考点1：反比例函数的图象 【例1】（2023•扬州）函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】函数的图象是两条曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限． 【规范解答】解：由函数可知，函数是两条曲线，它的两个分支分别位于第一、二象限，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 故选：． 【考点评析】考查了函数的图象，函数的图象是双曲线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 【变式1】（2022•清江浦区三模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：是气体体积（单位：的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用反比例函数的性质，结合，的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案． 【规范解答】解：气球内气体的气压（单位：是气体体积（单位：的反比例函数：，都大于零）， 能够反映两个变量和函数关系的图象是： ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键． 【变式2】（2023•秦淮区二模）若一个数大于它的倒数，结合和的图象（如图），可知的取值范围是 　或　． 【思路点拨】求得函数和的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得的取值范围． 【规范解答】解：令，解得， 函数和的图象的交点的横坐标为和1， 由图象可知当或时，一次函数的图象在反比例函数的上方， 根据图象可知的取值范围是或． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键． 考点2：反比例函数图象的对称性 【例2】（2021•滨海县一模）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是　　． 【思路点拨】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【规范解答】解：因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决． 【变式1】（2020•盱眙县校级模拟）如图，的半径为3，双曲线的关系式分别为和，则阴影部分的面积为　　． 【思路点拨】根据反比例函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可． 【规范解答】解：双曲线与的图象关于轴对称， 根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为，半径为3， 所以：． 故答案为． 【考点评析】本题考查的是反比例函数，题目中的两条双曲线关于轴对称，圆也是一个对称图形，可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为，半径为3的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以求出阴影部分的面积． 【变式2】（2020•鼓楼区校级模拟）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点是　　． 【思路点拨】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【规范解答】解：点与所求的点的坐标关于原点对称， 另一交点的坐标为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握． 考点3：反比例函数的性质 【例3】（2024•宜兴市模拟）反比例函数的图象在每一象限内随的增大而减小，那么的值可以是　　 A． B．0 C．5 D．6 【思路点拨】根据反比例函数的性质解答即可． 【规范解答】解：反比例函数的图象在每一象限内随的增大而减小， ，即． 故选：． 【考点评析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 【变式1】（2024•邗江区校级三模）在中，有两点，，则与的关系满足下列哪个选项？　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先确定函数所在的象限，再根据性质即可得出答案． 【规范解答】解：， ， 当时，， 当时，， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查反比例的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】（2024•广陵区一模）如图，抛物线与直线有两个交点，这两个交点的纵坐标为、．双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D．或 【思路点拨】根据，确定点、、、在图象的大致位置，利用点在点之上，点在点之上，列出不等式求解即可． 【规范解答】解：双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则， 设抛物线与直线的两个交点为、，其纵坐标分别为、，则两个交点的位置如图所示， 设抛物线交轴于点、，则点、的坐标分别为：、， 分别过点、作轴的平行线，分别交直线于点、， 则点、的坐标分别为：、， 从图象看，点在点之上，点在点之上， 即，， 则，， 故， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题综合考查一次函数、二次函数的性质，题目的关键是确定几个交点的大致位置，这是一道难度中等的题目． 考点4：反比例函数系数k的几何意义 【例4】（2024•南京模拟）如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为6，则的值是　　 A．6 B．12 C．24 D．36 【思路点拨】根据平行线间高相等，得到，继而根据值的几何意义计算出值即可． 【规范解答】解：如图，连接、， 与轴相切于点，为的直径， ， ， 丨丨，且反比例函数图象在一象限， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握三角形面积的计算是解答本题的关键． 【变式1】（2024•滨湖区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例 函数图象于点，若的面积为，则的值为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】过点作于点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解． 【规范解答】解：过点作于点，如图， 根据旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， （负值舍去）， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据，得到，是解答本题的关键． 【变式2】（2024•宿城区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，，分别为轴、轴正半轴上的点，以，为边，在第一象限内作矩形，且，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点落在第四象限，过点的反比例函数的图象恰好过的中点，则点的坐标为 　，　． 【思路点拨】利用△△，得到点是的中点，利用△△得到，求出的值，设，则，求得，再根据反比例函数系数的几何意义求得，从而求得，，根据三角形面积求得，再根据勾股定理即可求得，从而求得的坐标． 【规范解答】解：如图，连接，交于点， 矩形翻折，使点与原点重合，折痕为， ，， ， ， ， 而， △△ ，即点是的中点， 过点作于点，则是△的中位线， 则△△， 则， 而， 则， 解得， 点是反比例函数上的点， 则， 而， 故， 设，则， 则， 则， 解得，（负值已舍去）， 则，， 连接，作于， ，， 四边形是平行四边形， ， ， △△△， ，，， ， ， ， ， 为，， 故答案为：，． 【考点评析】此题考查了翻折变换，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定与性质，坐标与图形变换对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大． 考点5：反比例函数图象上点的坐标特征 【例5】（2024•宿迁）如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点 ，点为轴上一点，且，连接，若△的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】依据题意，过作轴于，再设，，从而可得，再求出直线为，然后联立，可得的坐标，最后结合，进而可得的方程，计算即可得解． 【规范解答】解：如图，过作轴于． 由题意，设，， ，， ． 又设直线为， ． ． 直线为． 联立， ． ． ，． ． 又， ． ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式1】（2024•梁溪区二模）已知，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立，则符合题意的函数可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先确定自变量每增加1个单位，函数值变化越大，再根据各函数逐项分析判断即可． 【规范解答】解：，，这三点都在某函数的图象上，且不等式始终成立， 自变量每增加1个单位，函数差变化越大． 、，自变量每增加1个单位，函数值变化越大，符合题意； 、，随先减小后增大，不符合题意 、，随的增大而增大，均匀增大，不符合题意； 、，，不符合自变量每增加1个单位，函数值变化越大，不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了反比例函数和二次函数及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握题干条件自变量每增加1个单位，函数值变化越大是关键． 【变式2】（2024•常州二模）有三个质地、大小都相同的小球分别标上数字2，，3后放入一个不透明的口袋搅匀，任意摸出一个小球，记下数字后，放回口袋中搅匀，再任意摸出一个小球，又记下数字．这样就得到一个点的坐标． （1）点落在坐标轴上的概率为 　0　； （2）求这个点恰好在函数的图象上的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程，并求出结果） 【思路点拨】（1）首先根据题意列出表格，找到点落在坐标轴上的结果数，利用概率公式计算可得． （2）根据表格即可求得点的坐标的所有可能的结果，找到点在函数的图象上的结果数，利用概率公式计算可得． 【规范解答】解：列表得： （1）点落在坐标轴上的结果数为0， 点落在坐标轴上的概率为0． 故答案为：0； （2）共有9种等可能的结果，其中在函数的图象上的结果有和种， 点恰好在函数 的图象上的概率为． 【考点评析】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题难度不大，注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比． 考点6：待定系数法求反比例函数解析式 【例6】（2024•盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点坐标． 【思路点拨】（1）根据图象信息可知，待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）由图象可知，的解析式为，与反比例函数解析式联立方程组求出点坐标即可． 【规范解答】解：（1）由图可知点的坐标为， 反比例函数图象上过点，设反比例函数关系式为， ， 反比例函数解析式为； （2）直线的解析式为， 由图象可知，直线向上平移三个单位得到直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， ，． 【考点评析】本题考查了反比例函数图象与性质，熟练掌握联立方程组求出交点坐标是关键． 【变式1】（2024•天宁区校级模拟）如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将△绕着点逆时针旋转得到△． （1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质得出的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）作轴于．证明△△，推出，，求出点坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． 【规范解答】解：（1）点的坐标是，点的坐标是，点为中点， ，， ， 将△绕着点逆时针旋转得到△， ， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的表达式为； （2）作轴于． ， ，， ， ， △△， ，， ，， ，， ， ， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得， 该一次函数的表达式为． 【考点评析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，的直角边在轴上，，，反比例函数的图象经过边的中点． （1）直接写出这个反比例函数的表达式 　　； （2）若与关于点成中心对称，且的边在轴的正半轴上，点在这个函数的图象上． ①直接写出的长 　　、对称中心点的坐标 　　； ②连接，，证明四边形是正方形． 【思路点拨】（1）由点坐标可求得的值，可求得反比例函数的表达式； （2）①由中心对称的性质可知，由点坐标可求得点坐标，从而可求得和的长，由全等三角形的性质可求得和，则可求得点坐标，从而可求得的长，再由，两点的坐标求出对称中心点的坐标即可； ②由条件可证得，则可证得，且，则可证得四边形为正方形． 【规范解答】解：（1）反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数表达式为． 故答案为：； （2）①为的中点， ， 与成中心对称， （中心对称的性质）， ，， 点在反比例函数的图象上， ，即， ； ， 与成中心对称， 对称中心是线段的中点， ，，即，． 故答案为：1，，； ②如图，连接、， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ，且， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形， ， 四边形为正方形． 【考点评析】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得点坐标是解题的关键，在（2）②中证得是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 考点7：反比例函数与一次函数的交点问题 【例7】．（2024•启东市二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，若，，则的值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【思路点拨】首先根据直线求得点的坐标，然后根据的面积求得的长，然后利用正切函数的定义求得的长，从而求得点的坐标，求得结论． 【规范解答】解：，作轴交于点， 直线与轴交于点 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 反比例函数在第一象限内的图象交于点， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解直角三角形，解题的关键是仔细审题，能够求得点的坐标，难度不大． 【变式1】（2024•广陵区校级四模）如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴的垂线，与双曲线交于点．且，则的值为 　4　． 【思路点拨】根据题目中的信息，可以用含的式子表示点的坐标，由，可知点在线段的垂直平分线上，从而可以得到点的纵坐标，从而可以表示出点的坐标，又由点在直线上，可以得到的值，本题得以解决． 【规范解答】解：直线与轴交于点， 当时，， 点的坐标为， 又过点作轴的垂线，与双曲线交于点， 点的坐标为， ， 点在线段的垂直平分线上， 点的纵坐标为， 点在双曲线上， ，得， 又点在直线上， 解得． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，灵活变化，认真推导． 【变式2】（2024•泗阳县校级二模）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与轴的交点的坐标及△的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的的取值范围． 【思路点拨】（1）先把点坐标代入代入，求出得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式和△的面积进行计算； （3）观察函数图象得到当或时，一次函数图象都在反比例函数图象下方． 【规范解答】解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为：， 把代入， 得，解得， 则点坐标为． 把，分别代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）， 当时，， 点的坐标为：， △的面积△的面积△的面积 ； （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【考点评析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用． 考点8：根据实际问题列反比例函数关系式 【例8】（2023•泰兴市二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映与之间的关系的式子是　　 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 【思路点拨】利用表格中数据得出函数关系，进而求出即可． 【规范解答】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：， 则， 故与之间的关系的式子是， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确的函数关系是解题关键． 【变式1】（2020•高邮市一模）近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例（即，已知200度近视眼镜的镜片焦距为，则与之间的函数关系式是　　． 【思路点拨】由于近视镜度数（度与镜片焦距（米之间成反比例关系可设，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得的值． 【规范解答】解：由题意设， 由于点适合这个函数解析式，则， ． 故眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 考点9：反比例函数的应用 【例9】（2024•南通）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 　　． 【思路点拨】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过列不等式，求出结论，并结合图象． 【规范解答】解：设反比例函数关系式为：， 把代入得：， 反比例函数关系式为：， 当时，则，， 故答案为：． 【考点评析】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题． 【变式1】（2024•宿迁三模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． 任务1：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围． 任务2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【思路点拨】（1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【规范解答】解：任务1：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为 ． 任务2：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 【考点评析】本题考查反比例函数的实际应用． 【变式2】（2024•兴化市二模）制作一种产品，需先将材料加热达到（加热期间可以进行加工），然后停止加热，经过一段时间的冷却，材料温度降为．如图，加热时，温度与时间成一次函数关系；停止加热后，温度与时间成反比例函数关系．已知该材料的初始温度是． （1）求材料加热时和停止加热后与的函数关系式； （2）根据工艺要求，当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【思路点拨】（1）停止加热后，设，将代入，求出的值，即可反比例函数解析式，再求出当时，，从而得到，加热时，设，将，代入得，求出、的值即可； （2）在材料加热时，当时，解得：；在材料停止加热时，当时，，解得：，由此即可求解． 【规范解答】解：（1）停止加热后，设， 将代入得：， ， 停止加热后与的函数关系式为， 当时，， 解得：， ， 加热时，设， 将，代入得，， 解得：， 加热时与的函数关系式为； （2）在材料加热时，函数解析式为，当时，， 解得：， 材料停止加热时，函数解析式为，当时，， 解得：， ， 当材料温度高于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间为． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，读懂函数图象是解此题的关键． 考点10：反比例函数综合题 【例10】（2023•高新区校级模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接． （1）求的值和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时不等式的解集； （3）直线沿轴方向平移，当为何值时，△的面积最大？最大值是多少？ 【思路点拨】（1）求出点的坐标，利用待定系数法即可解决问题； （2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【规范解答】解：（1）直线经过点， ， 解得， ， ， 反比例函数的解析式为． （2）不等式的解集为． （3）由题意，点，的坐标为，，，， ， ， ， 时，△的面积最大，最大值为． 【考点评析】本题考查反比例函数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考常考题型． 【变式1】（2024•扬中市二模）如图，矩形的对角线相交于点，以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示平面直角坐标系，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边、分别交于点、，与对角线交于点． （1）若点与点重合，则　6　； （2）连接，求证：； （3）当时，求的值． 【思路点拨】（1）由中点坐标公式得，点，即可求解； （2）证明，进而求解； （3）证明，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：点的坐标为， 由中点坐标公式得，点， 则， 故答案为：6； （2）证明：由题意得，、， ；； ， ， 而， ， ， ； （3）解：如图，当时， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、， 则， ， ，， ， ． 【考点评析】主要考查了反比例函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【变式2】（2024•泰兴市一模）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上，顺次连接这四个点得到四边形． （1）若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为． ①求证：四边形为平行四边形； ②求的面积； （2）如图2，四边形为平行四边形，平行于轴，求、的交点坐标； （3）如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点． 【思路点拨】（1）①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判定即可； ②先求出坐标，利用代入数据计算即可； （2）设，，，，，，，，根据平行四边形性质得到，简化坐标字母可得，，，，，，，，根据坐标分别求出直线和的解析式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为； （3）设，，，，根据平行四边形性质得到，，简化坐标字母可得，，，，根据坐标分别求出直线和的解析式，都是正比例函数，都过原点，即可得到交点坐标为． 【规范解答】（1）①证明：直线的表达式为，直线的表达式为都过原点，且点、在反比例函数的图象上，点、在反比例函数的图象上， 根据两个反比例函数图象都是中心对称图形， ，， 四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）； ②解：将函数与联立方程组得：， 解得，， ，，，， 同理求得：，， 如图1，作轴，垂足为，作轴，垂足为， ， ． （2）解：设，，，，，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，，，，，， 设直线解析式为：，代入点、坐标得：，， 直线的解析式为：， 同理可得解析式为：， 直线与交于原点，交点坐标为． （3）证明：设，，，， ，， ，即，，即， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，，，， 待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点； 待定系数法求得直线解析式为：，函数图象过原点； 与的交点坐标为． 【考点评析】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握平行四边形性质和巧设参数是解答本题的关键 第二部分：高频题型洞悉 题型1：已知比例系数求特殊图形的面积 【例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【规范解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 【变式1】（2021·江苏扬州·中考真题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．① 【答案】B 【思路点拨】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②． 【规范解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上， 设P（m，）， 则C（m，），A（m，0），B（0，），令， 则，即D（，）， ∴PC==，PD==， ∵，，即， 又∠DPC=∠BPA， ∴△PDC∽△PBA， ∴∠PDC=∠PBC， ∴CD∥AB，故①正确； △PDC的面积===，故③正确； = = = = =，故②错误； 故选B． 【考点评析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度． 【变式2】（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D． （1）求a的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 【答案】（1）a=2；y=2x；（2） 【思路点拨】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求． （2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解． 【规范解答】（1）已知反比例函数解析式为y=，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x． 故a=2；y=2x． （2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，)，则在△ACD中，=． 故△ACD的面积为． 【考点评析】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键． （2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解． 题型2：根据图形面积求比例系数（解析式） 【例2】（2023·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，点为原点，点A 在第一象限，且． 若反比例函数 的图像经过点，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查反比例函数图像与几何图形面积求比例系数，根据题意作图分析，理解当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，由的几何意义可知，为图像上的点与坐标轴围成的正方形的面积，由此即可求解． 【规范解答】解：反比例函数如图所示， ∵函数图像经过第一象限， ∴， 当点为反比例函数图像与直线的交点时，的值最大，且， ∴， ∴， ∴k的取值范围是． 【变式1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【规范解答】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故选：C． 【变式2】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则 ．    【答案】 【思路点拨】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解． 方法二：根据已知得出则，即可求解． 【规范解答】解：方法一：∵， ∴ 设，则， ∴ ∵矩形的面积是6，是对角线， ∴的面积为，即 ∴ 在中， 即 即 解得： 在中， ∵对角线轴，则， ∴, ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 方法二：∵， ∴ 设，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，反比例函数的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 题型3：一次函数与反比例函数的交点问题 【例3】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．      (1)求m，k的值； (2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最大值是，此时 【思路点拨】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．   ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 【变式1】（2023·江苏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于两点，且与反比例函数在第一象限内的图象交于点．若点坐标为，则的值是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】过点作轴于点，则，可得，进而根据已知条件的，求得直线的解析式，将代入，得出点的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，过点作轴于点，则    ∴ ∴ ∵, ∴ ∴ 解得： ∵点在上， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时， 即 又反比例函数在第一象限内的图象交于点 ∴, 故选：C． 【考点评析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得点的坐标是解题的关键． 【变式2】．（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【规范解答】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． 题型4：反比例函数与几何综合 【例4】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键． 如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解； 【规范解答】解：如图，过点作轴于点． ∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴， 设，则， 由对称可知，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C的对应点D落在该反比例函数的图像上， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图像与x轴、y轴交于、B两点，与反比例函数（）的图像交于点． (1)求和的值； (2)已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数（）的图像上．当的面积与的面积相等时，直接写出点P的坐标_________． 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求和的值；分两种情况求的坐标． （1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出； （2）分两种情况，由三角形面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）解：当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 【变式2】（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．      (1)求的值； (2)当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】(1)， (2)当时，取得最大值，最大值为 【思路点拨】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【考点评析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 基础夯实训练 1．（2022·江苏无锡·中考真题）一次函数y=mx+n的图像与反比例函数y=的图像交于点A、B，其中点A、B的坐标为A（-，-2m）、B（m，1），则△OAB的面积（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线AB与y轴交点D的坐标，确定OD的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】解：∵A（-，-2m）在反比例函数y=的图像上， ∴m=(-) • ( -2m)=2， ∴反比例函数的解析式为y=， ∴B（2，1），A（-，-4）， 把B（2，1）代入y=2x+n得1=2×2+n， ∴n=-3， ∴直线AB的解析式为y=2x-3， 直线AB与y轴的交点D（0，-3）， ∴OD=3， ∴S△AOB=S△BOD+S△AOD =×3×2+×3× =． 故选：D． ． 【考点评析】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法． 2．（2021·江苏连云港·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征． 甲：函数图像经过点； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当时，y随x的增大而增大． 则这个函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据所给函数的性质逐一判断即可． 【规范解答】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意； B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意； C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意； D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意； 故选：D 【考点评析】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键． 3．（2020·江苏无锡·中考真题）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【思路点拨】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【规范解答】解：由题意，把B（，m）代入，得m= ∴B（，） ∵点B为反比例函数与一次函数的交点， ∴k=x·y ∴k=×=． 故选：C． 【考点评析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键． 4．（2024·江苏南通·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象求出反比例函数的解析式，进而求出时，电阻R的值，根据增减性，求出电阻R应控制的范围即可． 【规范解答】解：由图象，设， 把代入，得：， ∴， 当时，， ∵随着的增大而减小， ∴如果以此器电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A时，； 故答案为：． 5．（2023·江苏扬州·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ． 【答案】 【思路点拨】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可． 【规范解答】解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∵， ∴时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，， 即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于； 故答案为：． 【考点评析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． 6．（2023·江苏南通·中考真题）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．    【答案】2500 【思路点拨】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【规范解答】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得， 即反比例函数为：， 将代入， 得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 7．（2024·江苏无锡·中考真题）在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 ． 【答案】2或3 【思路点拨】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程． 先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数的图象上，列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 设平移后点A、B的对应点分别为， ∴， ∵两点恰好都落在函数的图象上， ∴把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 9．（2024·江苏南通·中考真题）已知函数（a，b为常数）．设自变量x取时，y取得最小值． (1)若，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，点在双曲线上，且．求点P到y轴的距离； (3)当，且时，分析并确定整数a的个数． 【答案】(1) (2)2或1 (3)整数a有4个 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质和点到坐标轴的距离，以及解不等式方程． 根据题意代入化简得，结合二次函数得性质得取最小值时x的取值即可； 结合题意得到，代入二次函数中化简得，利用二次函数的性质求得a的值，进一步求得点P，即可知点P到y轴的距离； 结合已知得等式化简得，结合的范围求得a的可能值，即可得到整数a的个数． 【规范解答】（1）解：有题意知 ， 当时，y取得最小值8； （2）解：∵点在双曲线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴，化解得，解得或， 则点或， ∴点P到y轴的距离为2或1； （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 则整数a有4个． 10．（2020·江苏徐州·中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式； （2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案． 【规范解答】解：（1）设直线AB为 把点、代入解析式得： 解得： 直线为 把代入得： 把代入： ， （2）设 轴， 则 由＜＜， 即当时， 【考点评析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键． 11．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．    (1)，，求函数的表达式及的面积； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； (3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由． 【答案】(1)函数的表达式为，的面积为 (2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析 【思路点拨】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可； （2）求解过程同（1）； （3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，，，， ∴， 当，，则； 当，，解得，则； 当，，解得，则； 设一次函数的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，，则， ∴； ∴函数的表达式为，的面积为； （2）解：的面积不变，理由如下： ∵，，，， ∴， 当，，则； 当，，解得，则； 当，，解得，则； 设一次函数的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，，则， ∴； ∴的面积不变； （3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下： 设直线的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，， ∴直线与边的交点坐标为， 当，， ∴直线与边的交点在函数的图像上． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，，连接交轴于点． （1）k＝　　； （2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：； （3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标：　　． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3），． 【思路点拨】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值； （2）根据AAS可证，根据全等三角形面积相等即可得证结论； （3）设A点坐标为（a，），则可得C（0，），D（0，﹣），根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标． 【规范解答】解：（1）点是反比例函数图象上的点， ， 解得， 故答案为：2； （2）在和中， ， ， ， 点坐标为，则可得， ，， 即， 整理得； （3）设点坐标为， 则，， ，， ， 即， 解得（舍去）或， 点的坐标为，． 【考点评析】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键． 能力拔高训练 13．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（    ） A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【规范解答】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：C． 14．（2019·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【思路点拨】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案. 【规范解答】解：设，， ∵点为菱形对角线的交点， ∴，，， ∴， 把代入得， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴． 故选A． 【考点评析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质． 15．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【思路点拨】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【规范解答】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 【考点评析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键． 16．（2021·江苏常州·中考真题）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据函数图像先求出关于t的函数解析式，进而求出关于t的解析式，再判断各个选项，即可． 【规范解答】解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3， 当6＜t≤25时，=15， 当25＜t≤30时，=-2t+65， ∴当1≤t≤6时，=， 当6＜t≤25时，=， 当25＜t≤30时，= = ， ∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A． 故选A． 【考点评析】本题主要考查函数图像和函数解析式，掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标意义，是解题的关键． 17．（2023·江苏无锡·中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解． 【规范解答】当点在轴上，点、在轴上时，连接， 为等边三角形且，则， ， 如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点， ，， ， ， ， ， ， ．    【考点评析】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键． 18．（2021·江苏南京·中考真题）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则 ． 【答案】12 【思路点拨】先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解． 【规范解答】解：设A（t，）, ∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点， ∴B（-t，-）, ∵轴，轴， ∴C（t，-）, ∴； 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等． 19．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则 ． 【答案】1 【思路点拨】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得． 【规范解答】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上， ∵，， ∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线， ∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是， ∵A点的坐标是，代入反比例函数，得 则反比例函数关系式为 又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点， 则有，解之得：（D点在第三象限）， ∴D点的坐标是（-2，-2）， ∴， ∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上， ∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限）， 将P（1，1）代入反比例函数，得， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键． 20．（2018·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）与正比例函数y=kx、 （k＞1）的图象分别交于点A、B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是 . 【答案】2 【规范解答】【思路点拨】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB（如图），设A（x1，y1），B（x2  ， y2），根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1， 根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和已知条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2. 【规范解答】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB， 设A（x1，y1），B（x2  ， y2）， ∵A、B在反比例函数上， ∴x1y1=x2y2=2， ∵， 解得：x1=， 又∵， 解得：x2=， ∴x1x2=×=2， ∴y1=x2， y2=x1， 即OC=OD，AC=BD， ∵BD⊥x轴，AC⊥y轴， ∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴△ACO≌△BDO（SAS）， ∴AO=BO，∠AOC=∠BOD， 又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB， ∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°， ∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO， ∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2， 故答案为2. 【考点评析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键. 21．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)_________，_________； (2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)4，2 (2)点的坐标为、 【思路点拨】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案； 对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【规范解答】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得 ， 解得， 一次函数的关系式为； 将点A（1，4）代入反比例函数，得 ， 反比例函数的关系式为． 故答案为：4，2； （2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）． 当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴OB=2． 根据勾股定理可知． 当点落在轴的正半轴上，则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， 则. ∵， ∴， ∴； 若，则． ∵，， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为、． 【考点评析】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等． 22．（2016·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为 ． 【答案】． 【规范解答】∵点A、B在反比例函数（x＞0）的图象上，设点B的坐标为（，m）， ∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上， ∴点A的坐标为（，2m）． ∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数（x＞0）的图象上， ∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m）， ∴S梯形ABED==． 故答案为． 23．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是2． (1)求、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)4；6 (2)6 【思路点拨】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值； （2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象轴交于点， ∴，OB=4， ∴一次函数解析式为， 设点C（m，n）， ∵的面积是2． ∴，解得：m=1， ∵点C在一次函数图象上， ∴， ∴点C（1，6）， 把点C（1，6）代入得：k=6； （2）当y=0时，，解得：x=-2， ∴点A（-2，0）， ∴OA=2， ∴． 【考点评析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键． 24．（2014·江苏淮安·中考真题）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上， （1）k的值为　 　； （2）当m=3，求直线AM的解析式； （3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)6；(2)直线AM解析式为y=﹣2x+8；(3)直线BP与直线AM的位置关系为平行，理由见解析 【思路点拨】（1）将坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）由的值确定出反比例解析式， 将代入反比例解析式求出的值， 确定出坐标， 设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值， 即可确定出直线解析式； （3）由MP垂直于x轴，AB垂直于y轴，得到M与P横坐标相同，P与Q纵坐标相同，表示出P与Q坐标于是得到结论． 【规范解答】解：（1）将代入反比例解析式得：； 故答案为： 6 ； （2） 将代入反比例解析式得：，即， 设直线解析式为， 把与代入得：， 解得：，， 直线解析式为； （3）把M（m，n）代入得，即 ∴， 把M，A点坐标代入y=kx+b得 ，解得， ∴， 当y=0时，， ∴, 当m>1时， 过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B， ，，且，即， ，， ∴, ∵AB⊥y轴， ∴AB∥PQ，AB=1， ∴AB=PQ， ∴四边形ABPQ是平行四边形，即直线BP与直线AM平行． 【考点评析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及两直线平行与斜率之间的关系， 熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键． 25．（2021·江苏常州·中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． 【理解】 （1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，． ①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）； ②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系． 【应用】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记． ①当时，__________；当时，________； ②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 【答案】（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解 【思路点拨】（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论； （2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论． 【规范解答】解：（1）①∵， ∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD， 又∵∠ADC=∠CDB=90°， ∴， ∴，即：， ∴，即：（负值舍去）， ∵E是的中点， ∴==； ②∵，， ∴＞，即：＞． 故答案是：＞； （2）①当时，==， 当时，==， 故答案是：，1； ②l的最小值是：1，理由如下： 由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)， == =[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）] = [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积] =(1+1+1+1+③的面积)≥1， ∴l的最小值是1． 【考点评析】本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 26．（2014·江苏徐州·中考真题）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F．已知B（1，3）． （1）k= ； （2）试说明AE=BF； （3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标． 【答案】（1）3；（2）说明见解析；（3）（1，﹣2）． 【思路点拨】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特，把B（1，3）代入得k=1×3=3. （2）设A点坐标为（a，），易得D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），根据图形与坐标的关系得到PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1，则可计算出，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则∠PCD=∠PBA，于是判断CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形BCDE、ADCF都是平行四边形，所以BE=CD，AF=CD，则BE=AF，于是有AE=BF. （3）利用四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD得到，整理得2a2+3a=0，然后解方程求出a的值，再写出P点坐标． 【规范解答】解：（1）把B（1，3）代入得 故答案为：3． （2）由（1），反比例函数解析式为， ∵顶点A在反比例函数图象上， ∴设A点坐标为， ∵PB⊥x于点C，PA⊥y于点D， ∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0）. ∴PB=3﹣，PC=﹣，PA=1﹣a，PD=1. ∴， ∴. 又∵∠CPD=∠BPA， ∴△PCD∽△PBA ∴∠PCD=∠PBA ∴CD∥BA 又∵BC∥DE，AD∥FC， ∴四边形BCDE、ADCF都是平行四边形. ∴BE=CD，AF=CD ∴BE=AF ∴AF+EF=BE+EF，即AE=BF. （3）∵四边形ABCD的面积=S△PAB﹣S△PCD， ∴. 整理得2a2+3a=0，解得a1=0（舍去），a2=﹣. ∴P点坐标为（1，﹣2）． 考点：1.反比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.平行四边形的判定和性质；5.转换思想和方程思想的应用． 27．（2018·江苏泰州·中考真题）平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′． （1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上． ①分别求函数y1、y2的表达式； ②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围； （2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值； （3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上． 【答案】（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析. 【规范解答】分析：（1）由已知代入点坐标即可； （2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解； （3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标． 详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上 ∴k=8 ∴y1= ∵a=2 ∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4） 把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得， ， 解得， ∴y2=x﹣2； ②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方， ∴由图象得：2＜x＜4； （2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO， ∵O为AA′中点， S△AOB=S△AOA′=8 ∵点A、B在双曲线上 ∴S△AOC=S△BOD ∴S△AOB=S四边形ACDB=8 由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，） ∴， 解得k=6； （3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）. 把A′代入到y=，得：﹣， ∴n=， ∴A′B解析式为y=﹣. 当x=a时，点D纵坐标为， ∴AD= ∵AD=AF， ∴点F和点P横坐标为， ∴点P纵坐标为. ∴点P在y1═（x＞0）的图象上. 点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想． 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