2024～2025学年苏科版九年级数学中考总复习专题六：圆

2024~2025学年苏科版数学中考一轮复习讲义 教学内容 圆 教学目标 1. 了解与圆有关的概念； 2. 掌握和运用圆的基本性质定理及推论； 3. 熟练圆与三角形，函数等综合应用 教学重难点 圆的综合应用 教学内容 考点一：与圆有关的概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 2、弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） 3.直径 经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD） 直径等于半径的2倍。 4.半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 5.弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 5、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。[来源:Zxxk.Com] 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 3、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 考点二：与圆有关的角 一、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。[来源:Z_xx_k.Com] 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。学-科网 3、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 4、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 考点三：与圆有关的位置关系 一、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 二、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系，具体如下： [来源:Zxxk.Com] （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交 ＜====＞ d<r； 直线l与⊙O相切 ＜====＞ d=r； 直线l与⊙O相离 ＜====＞ d>r； 切线的判定和性质 ： （1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。 切线长定理 ： （1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。 （2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角。 （3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。 (4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点四：与圆有关的计算 一、正多边形与圆 　　1.正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。 　　2.正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。 　　3.正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角=。 　　4.正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成两个全等的直角三角形。 二、弧长和扇形面积 1、弧长公式 n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 2、扇形面积公式 其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。 3、圆锥的侧面积 其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。 考点五：弧长及扇形的面积 1．弧长及扇形的面积 (1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：l＝； (2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：S＝＝lr． 2．圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr. (1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝πrl； (2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝πrl＋πr2． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 考点一：与圆有关的概念 【例1】已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是__________． 【举一反三】 关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 考点典例二、求边心距 【例2】小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（　　） A．cm　　　　　　B．cm　　　　　　C．cm　　　　　　D．cm 【举一反三】 如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD. 已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于( ) A. B. C. 4 D. 3 考点典例三、最短路线问题 【例3】如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　） 　 A． B．1 C． 2 D． 2[来 【举一反三】 如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（　　） A． 6　　　　B． 　　　　C． 9　　　　D． 考点：切线的性质；最值问题． 一．选择题 1．如图，直径为10的经过点C和点O，点B是y轴右侧优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( ) A. B. C. D. 2.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（   ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 3.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（　　） A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 5. 如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，则PA+PB的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D．2 6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于（　　） A. 80 B. 60 C. 50 D. 40 二．填空题 7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=120°，若⊙O的半径为2，则弦BC的长为__________． 8. 如图，△ABC是⊙O的内接锐角三角形，连接AO，设∠OAB=α，∠C=β，则α+β=______°。 9.如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=54°，则∠BAD= ． 10.如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ． 11.⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为　 　． 12.如图，△ABC内接于⊙O，，点为上的动点，且. (1)求的长度； (2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由. (3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：. 考点典例一、圆心角、圆周角之间的换算. 【例1】如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（　　） A. 75° B. 70° C. 65° D. 35° 【举一反三】 如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（ ） A．25° B．50° C．60° D．80° 考点典例二、圆周角与垂径定理的关系 【例2】如图，已知的半径为2，内接于，，则__________． 【举一反三】 如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 考点典例三 圆周角与切线之间的关系 【例3】如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 【举一反三】 如图， 是⊙的切线，切点为， 是⊙的直径， 交⊙于点，连结，若 的度数为70°，则∠的大小为（ ） A. 70° B. 60° C. 55° D. 35° 考点典例四 与圆周角有关的证明 【例4】如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，. (1)求证：； (2)求证：是的切线. 【举一反三】 已知是的直径，弦与相交，. （Ⅰ）如图①，若D为的中点，求和的大小； （Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点P，若，求的大小. 一．选择题 1．如图，过点，，，点B是x轴下方上的一点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 3.如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为（ ） A． B． C. D． 4.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　） A．12 B．15 C．16 D．18[来 5.如图，直径为10的经过点C和点O，点B是y轴右侧优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为( ) A. B. C. D. 6.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A等于（　　） 二．填空题 1.如图，已知的半径为2，内接于，，则__________． 2.如图，在矩形中，，，点E在上，，点在边上一动点，以为斜边作.若点在矩形的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则的值是__________． 3. 泰安市2018年如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 5.如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB=AC，∠BAM=∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D、E，∠BMD=40°，则∠EOM=　　． 6.已知半径为的中，弦，弦，则的度数为 ． 7. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则______. 8.如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是 ． 考点典例一、直线与圆的位置关系 【例1】以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是（ ） A． B． C. D． 【举一反三】 在平面直角坐标系中，以点（2，1）为圆心，半径为1的圆与x轴的位置关系是______．（填“相切”、“相离”或“相交”） 考点典例二、切线的性质及判定 【例2】如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的切线，连接BC交⊙O于点F，取的中点D，连接AD交BC于点E，过点E作EH⊥AB于H． （1）求证：△HBE∽△ABC； （2）若CF=4，BF=5，求AC和EH的长． 【举一反三】 如图，等腰△ABC三个顶点在⊙O上，直径AB=12，P为弧BC上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线与点Q，2∠PAB+∠PDA=90°，下列结论：①若∠PAB=30°，则弧BP的长为；②若PD//BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则，④无论点P在弧上的位置如何变化，CP·CQ为定值. 正确的是___________. 考点典例二、计算弧长 【例2】．年一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为__________cm． 【举一反三】 年如图，左图是由若干个相同的图形（右图）组成的美丽图案的一部分.右图中，图形的相关数据：半径 OA=2cm，∠AOB=120°.则右图的周长为________cm（结果保留π）． 考点典例三、圆锥的有关计算 【例3】年已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 【举一反三】 圆锥的母线长8cm，底面圆的周长为12cm，则该圆锥的侧面积为　　 ． 考点典例四、求扇形的面积 【例4】如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（　　） A. 4π+2 B. π﹣2 C. π+2 D. 4π 【举一反三】 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________. 考点典例五、求圆锥侧面积 【例5】已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是_____cm2（结果保留π）． 【举一反三】 年已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2. 考点典例六、求阴影部分的面积 【例6】（2017浙江衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是___________（结果保留π）． 1．在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定　[来源:学|科|网 2.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A. 3 B. C. D. 3.如图，与相切于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4.如图，已知AB是的直径，点P在BA的延长线上，PD与相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若的半径为4，，则PA的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 2.5 6.如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 1．如图，正方形内接于半径为2的，则图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（　　） A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 3.如图，⊙的半径为，四边形内接于⊙，连接,若，则的长为（） A． B． C. D． 4.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5.如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 6．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为__________． 7.如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于　 　． A D D A A B D A C A A ﹣． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$