北京市清华大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

第 1 页 共 5 页 高一第一学期期末试卷 数学 一、选择题 1. 计算 03 32log 6 log 4   = 【 】 A.1 B.2 C.3 D.6 2. 设集合    2| 1 , | 2 1xA x x B x    ,则 A B = 【 】 A. | 1 0x x   B. | 0 1x x  C. | 1 1x x   D. | 0x x  3. 已知 tan 2   ,则 sin 2 = 【 】 A. 4 5  B. 3 5  C. 3 10 D. 7 10 4. 要得到函数 cos(2 ) 4 y x   ,只需将函数 cos2y x 的图象 【 】 A.向左平移 8  个单位长度 B.向右平移 8  个单位长度 C.向左平移 4  个单位长度 D.向右平移 4  个单位长度 5. 已知函数 ( )f x 的部分图象如图所示,则 ( )f x 的解析式可能为 【 】 A. ( ) (3 3 )sin 2x xf x x  B. ( ) (3 3 )cos2x xf x x  C. ( ) (3 3 )sin 2x xf x x  D. ( ) (3 3 )cos2x xf x x  6. 设 0.4 0.5 0.50.5 , 0.4 , log 0.4a b c   ,则下列不等关系成立的是 【 】 A. a b c  B. c a b  C.b a c  D. c b a  第 2 页 共 5 页 7. 已知 ,a b R ,且3 4a b  ,则8 2a b 的最小值是 【 】 A.2 B. 2 2 C.4 D.8 8. 如图,AB为半圆直径,点 C为弧 AB中点,点M为线段 AB上一点(含端点 A,B),若 2AB  ,则 AC MB   的取 值范围是 【 】 A.  1,3 B. 2,3   C. 3, 10   D. 2, 10   9. 若函数 ( ) cos(3 )f x x   是奇函数,使 ( )f x 取到最大值时的一个 x值为 【 】 A. 6   B.0 C. 4  D. 3  10. 现实生活中,空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形 态,这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中,这类曲线可用函数 2 ( ) x x ae bf x e   ( 0ab  ,e为 自然对数的底数)表示.下列结论正确的是 【 】 A.若 0ab  ,则函数 ( )f x 为奇函数 B.若 0ab  ,则函数 ( )f x 有最小值 C.若 0ab  ,则函数 ( )f x 为增函数 D.若 0ab  ,则函数 ( )f x 存在零点 二、填空题 11. 函数 1( ) lg( 1) 2 f x x x     的定义域为______. 12. 已知单位向量 ,a b   夹角为 3  , (1 )c a b       ,若 0a c    ,则实数  =______. 13. 已知函数 (2 4 ) , 1,( ) ln , 1 xa a a xf x x x        ,其中 0a  且 1a  . (1)当 1 4 a  时,函数 ( )f x 的最小值为______; (2)若函数 ( )f x 的值域为 R,则实数 a的取值范围是______. 第 3 页 共 5 页 14. 中国茶文化博大精深,茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是 0T C ,经过 t分钟后的温度是 T C ,满足 0( ) t hT T T T e       ,其中T 表示室温, ( 0)h h  是由物体和空气接触状况而定的常数. 在室温恒为 20 C 的房间中,已知一杯80 C 的茶水,测得温度降到 50 C 需要 10分钟,则这杯茶水还需 要继续放置______分钟,茶水温度才降至35 C 达到最佳饮用口感. 15. 已知函数 ( )f x 的定义域为 R,下列命题中 ①若 , ( 1) ( )x R f x f x    ,则函数 ( )f x 在 R上单调递增; ②若 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( ) sin sinx x R f x f x x x     ,则函数 ( )f x 是奇函数; ③若 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( ) sin sinx x R f x f x x x     ,则函数 ( )f x 是周期函数; ④若 1 2, ( , )2 2 x x     且 1 2 1 2 1 2, ( ) ( ) sin sinx x f x f x x x    ,则函数 ( ) sinf x x 在 ( , )2 2    上单调递增, 函数 ( ) sinf x x 在 ( , ) 2 2    上单调递减. 所有正确命题的序号是______. 三、解答题 16. 已知二次函数 2( ) 2 1f x x mx   ,其中 0m  . (1)若 ( )f x 的最小值为 1 ,求 m的值; (2)若 ( )f x 有两个不同的零点 1 2,x x ,求证: 2 2 1 2 1 2 6 4x x x x     . 17. 已知函数 ( ) log ( 0, 1)af x x a a   . (1)若 1(2) 2 f  ,求实数 a的值; (2)若 1 20 x x  ,且 1 2( ) ( )f x f x ,求 1 2x x 的值; (3)若函数 ( )f x 在 1 ,3 2      的最大值与最小值之和为 1,求实数 a的值. 第 4 页 共 5 页 18. 已知函数 ( ) 2sin( )f x x   ( 0, 2    ),且 ( )f x 在区间 , 6 2       上单调.请在下面三个条件中再选两 个,回答下面两个问题: ① , ( ) ( ) 12 x R f x f    ;② ( )f x 关于点 ( ,0) 3  对称;③ ( )f x 关于 7 12 x  对称. (1)求函数 ( )f x 的解析式; (2)若(1)中所求 ( )f x 在  0,m 上有唯一零点,求实数 m的取值范围. 19. 2024年 1月 11日,我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭,将搭载 的云遥一号 18-20星 3颗卫星顺利送入预定轨道,飞行试验任务获得圆满成功,引力一号运载火箭首飞即 采用难度较高的海上发射,刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录,进 一步丰富了我国运载火箭型谱. 1903年前苏联(俄罗斯)航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为: 0 0 ln k M v v M  , 其中 0M 为火箭初始质量, kM 为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量, 0 k M M 称为火箭质量比, 0v 为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律. 现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为 7900 /m s . (1)当该型号火箭的质量比为 10时,求该型号火箭的理想速度; (2)经过改进后,该火箭发动机喷气速度变为原来 2 倍,火箭质量比变为原来的 1 2 ,若使火箭的理想速度增 加3950 /m s ,求该火箭在技术和材料改进前的质量比. (两问结果均保留一位小数,参考数据: ln10 2.30, 2.718, 1.649e e   ) 第 5 页 共 5 页 20. 已知函数 2( ) 2cos ( ) cos2 ( 0) 3 f x x x      . (1)若函数 ( )f x 的两条相邻对称轴之间的距离为 2  ,求的值; (2)若函数 ( )f x 在 0, 2      上的值域为 3 ,2 2      ,求的取值范围. 21. 设 n N  ,集合含有 3n个元素,若存在三个 n元集合 A,B,C满足如下两个条件,则称 U为三分集合. ①U A B C   ; ②A,B,C元素可分别排列为有序数组 1 2 1 2( , , , ), ( , , , )n na a a b b b  及 1 2( , , , )nc c c ,使得对 1,2,3, ,i n   ,均 有 i i ia b c  , 特别地,当  1,2,3,4, ,3 2,3 1,3U n n n   为三分集合时,称 n为完美三分数. 如:因为  1,2,3U  为三分集合,所以 1n  为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合(直接写出结论):    1 21,2,3,4,5,6 , 1,3,5,7,8,9,10,11,12U U  ; (2)求出大于 1的最小完美三分数; (3)请判断是否存在无穷多个完美三分数?若存在,请说明理由;若不存在,则求出最大的完美三分数.