专题04 二元一次方程组&一元二次方程（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题04 二元一次方程组&一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2．掌握消元法，能解二元一次方程组。 3．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的 一元二次方程。 4．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根 是否相等。 5．了解一元二次方程的根与系数的关系。 6．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 二元一次方程组的应用 考向一 由实际问题抽象二元一次方程组 考向二 二元一次方程组的实际应用 一元二次方程 考向一 根的判别式 考向二 利用根与系数的关系求代数式的值 考向三 利用根与系数的关系求字母的值 考向四 根的判定式与根与系数的关系的综合运用 考向五 一元二次方程的实际应用 考点一 二元一次方程组的实际应用 ►考向一 由实际问题抽象二元一次方程组 1．（2024•湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023•荆州）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4， ∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4， 最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6， ∴， 解得：， ∴x+y＝12， 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． ►考向二 二元一次方程组的实际应用 解题技巧 1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. 2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 4．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A．30 B．26 C．24 D．22 【分析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x+y的值即可． 【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人， 依题意得：， ①+②得：3x+3y＝78， ∴x+y＝26， 即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26， 故选：B． 【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 　　 吨． 【分析】根据题意列二元一次方程组，再求有关代数式的值． 【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 根据题意得：， 得：4x+3y＝23.5； 故答案为：23.5． 【点评】本题考查得是二元一次方程的应用，审题、列方程是解决本题的关键． 考点二 一元二次方程 ►考向一 根的判别式 解题技巧 1、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 2、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． 3、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 6．（2022•荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0根的判别式Δ＝（﹣3k）2﹣4×1×（﹣2）＝9k2+8＞0， ∴x2﹣3kx﹣2＝0有两个不相等实数根， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 7．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 【分析】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围； （2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0， 解得：k且k≠0； （2）当k＝1时， 原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0， 即x2﹣6x﹣5＝0， 移项得：x2﹣6x＝5， 配方得：x2﹣6x+9＝5+9， 即（x﹣3）2＝14， 直接开平方得：x﹣3＝± 解得：x1＝3，x2＝3． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0． ►考向二 利用根与系数的关系求代数式的值 解题技巧 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 8．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 　 　． 【分析】根据根与系数的关系直接可得答案． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根， ∴x1•x2＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 9．（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　 　． 【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，把两根之和与两根之积代入即可求出值． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根， ∴x1+x2，x1x2， ∴1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 10．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　　 ． 【分析】直接利用根与系数的关系x1+x23，x1x21，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2， ∴x1+x23，x1x21， ∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 11．（2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则　 　． 【分析】先根据题意可以把a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b＝3，ab＝2，再根据进行求解即可． 【解答】解：∵a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0， ∴可以a、b看作是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根， ∴a+b＝3，ab＝2， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．（2022•黄石）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值． 【分析】（1）利用换元法降次解决问题； （2）模仿例题解决问题即可； （3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣0，再模仿例题解决问题． 【解答】解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0， ∴（y﹣2）（y﹣3）＝0， ∴y1＝2，y2＝3， ∴x2＝2或3， ∴x1，x2，x3，x4； 故答案为：x1，x2，x3，x4； （2）∵a≠b， ∴a2≠b2，或a2＝b2， 当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n． ∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根， ∴， 此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn． 当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2，此时a4+b4＝2（a2）2． 综上所述，a4+b4或． （3）令a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0， ∵n＞0， ∴n，即a≠b， ∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根， ∴， 故n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15． 【点评】本题考查根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． ►考向三 利用根与系数的关系求字母的值 解题技巧 （1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值； （2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式； （3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可． 13．（2023•湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　 　． 【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝k， ∵x1x2+2x1+2x2＝1， ∴k+2×3＝1， 解得k＝﹣5， 又∵方程有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得k， 综合以上可知实数k＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 14．（2022•湖北）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 【分析】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m， ∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17， ∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17， ∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0， 解得：m＝2或m＝6． 故选：A． 【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键． 15．（2023•襄阳）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2﹣4ac＞0，把字母和数代入求出k的取值范围； （2）根据两根之积为：，把字母和数代入求出k的值． 【解答】解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k， ∵有两个不相等的实数， ∴﹣8+4k＞0， 解得：k＞2； （2）∵方程的两个根为α，β， ∴αβ3﹣k， ∴k2＝3﹣k+3k， 解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式，关键运用代入法来求值． ►考向四 根的判定式与根与系数的关系的综合运用 16．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1x2＝5，求k的值． 【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0， 解得k； （2）根据题意得x1x2＝k2+1， ∵x1x2＝5， ∴k2+1＝5， 解得k1＝﹣2，k2＝2， ∵k， ∴k＝2． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1x2．也考查了根的判别式． 17．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 【分析】（1）要证明方程都有两个不相等的实数根，即证明Δ＝b2﹣4ac＞0即可； （2）利用根与系数的关系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再将（2a+b）（a+2b）＝20变形可得2（a+b）2+ab＝20，将a+b，ab的代入可得关于m的一元二次方程，求解即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m） ＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m ＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a+b2m+1，abm2+m， ∵（2a+b）（a+2b） ＝2a2+4ab+ab+2b2 ＝2（a2+2ab+b2）+ab ＝2（a+b）2+ab， ∴2（a+b）2+ab＝20， ∴2（2m+1）2+m2+m＝20， 整理得：m2+m﹣2＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝1， ∴m的值为﹣2或1． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用、根与系数的关系的关系，熟练掌握根的判别式与根与系数的关系是解题关键．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，． 18．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式，进行计算即可解答； （2）利用根与系数的关系和已知可得，求出α，β的值，再根据αβ＝﹣3m2，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键． ►考向五 一元二次方程的实际应用 19．（2023•襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（　　） A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864 【分析】设宽为x步，长为（x+12）步，列方程即可． 【解答】解：设宽为x步，长为（x+12）步， 根据题意列方程x（x+12）＝864， 故选：D． 【点评】本题主要考查了列一元一次方程解决问题，关键是找相等关系． 20．（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元，由购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，列出方程可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元，由题意列出方程组，即可求解； ②由A，B两种包装的销售总额为17280元，列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）设豆沙粽的单价为x元，肉粽的单价为2x元； 由题意可得：10x+12×2x＝136， 解得：x＝4， ∴2x＝8（元）， 答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，肉粽优惠后的单价为b元， 由题意可得：， 解得：， 答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②由题意可得：[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3×（40﹣m）+7m]×（4m+8）＝17280， 解得：m＝19或m＝10， ∵m（40﹣m）， ∴m， ∴m＝10． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 21．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【分析】（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨，根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入（2x﹣100）中即可求出4月份再生纸的产量； （2）利用月利润＝每吨的利润×月产量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%，即可得出关于y的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的利润． 【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x﹣100）吨， 依题意得：x+2x﹣100＝800， 解得：x＝300， ∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500． 答：4月份再生纸的产量为500吨． （2）依题意得：1000（1%）×500（1+m%）＝660000， 整理得：m2+300m﹣6400＝0， 解得：m1＝20，m2＝﹣320（不合题意，舍去）． 答：m的值为20． （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a吨， 依题意得：1200（1+y）2•a（1+y）＝（1+25%）×1200（1+y）•a， ∴1200（1+y）2＝1500． 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程（或一元二次方程）是解题的关键． ► 二元一次方程组 1．（2024•樊城区二模）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，可以列出相应的方程组． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 2．（2024•宣恩县二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有x只鸡、y只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，即可列出方程组． 【解答】解：由题意得，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚， 结合上有三十五头，下有九十四足可得： ． 故选：D． 【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般． 3．（2024•江汉区二模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（　　） A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 【分析】设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，根据用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【解答】解：设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm， 由题意得：， 解得：， ∴8个碗叠成一列高度为x+7y＝5.5+7×2＝19.5（cm）， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有19.5cm， 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024•湖北模拟）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x﹣y的值应为 　 　． 【分析】根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，可列出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：x+6＝3+y， ∴x﹣y＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 5．（2024•襄州区模拟）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？” 答：大容器容积为 　 　斛，小容器容积为 　 斛． 【分析】设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据题意列出方程组即可求解． 【解答】解：设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛， 依题意，得：， 解得：， 答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛． 故答案为：，． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系． 6．（2024•保康县模拟）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，则公鸡买 　 　只，小鸡买 　 只． 【分析】设公鸡买x只，小鸡买y只，根据买100只鸡共花费100钱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设公鸡买x只，小鸡买y只， 依题意得：， 解得：， ∴公鸡买4只，小鸡买78只． 故答案为：4；78． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．（2024•保康县一模）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱．答：甲的钱数是 　　 ，乙的钱数是 　 　． 【分析】设甲的钱数是x，乙的钱数是y，根据如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48得：，即可解得答案． 【解答】解：设甲的钱数是x，乙的钱数是y， 根据题意得：， 解得， ∴甲的钱数是36，乙的钱数是24； 故答案为：36，24． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． 8．（2024•湖北模拟）六一期间，我校工会为希望小学购进图书和文具若干套，已知2套文具和3套图书需80元，3套文具和2套图书需70元，则1套文具和1套图书需 　 　元． 【分析】设文具的单价是x元/套，图书的单价是y元/套，根据“2套文具和3套图书需80元，3套文具和2套图书需70元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，利用（方程①+方程②）÷5，即可求出结论． 【解答】解：设文具的单价是x元/套，图书的单价是y元/套， 根据题意得：， （①+②）÷5＝30， ∴1套文具和1套图书需30元． 故答案为：30． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2024•湖北模拟）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大船有 　 只，小船有 　 　只． 【分析】设大船有x只，小船有y只，根据大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满8只船，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出答案． 【解答】解：设大船有x只，小船有y只， 由题意可得：， 解得， ∴大船有3只，小船有5只． 故答案为：3；5． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 10．（2024•湖北模拟）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 　 　斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案． 【解答】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛， 则， 故5x+x+y+5y＝5， 则x+y． 答：1大桶加1小桶共盛斛米． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 11．（2024•十堰一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元；2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计80万元．求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 【分析】A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据“3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元；2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计80万元”，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（2024•孝感一模）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？ 【答案】甲种图书每本的价格是20元，乙种图书每本的价格是15元． 【分析】设甲种图书每本的价格是x元，乙种图书每本的价格是y元，根据“甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设甲种图书每本的价格是x元，乙种图书每本的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种图书每本的价格是20元，乙种图书每本的价格是15元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．（2024•汉川市模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？ 【分析】（1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元，可得，即可解得答案； （2）结合（1）列式计算即可． 【解答】解：（1）设A型机器人模型的单价为x元，B型机器人模型的单价为y元， 根据题意得：， 解得： 答：A型机器人模型的单价为500元，B型机器人模型的单价为300元； （2）500×5+300×7＝4600（元）， 答：一共需要4600元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组． ► 一元二次方程 1．（2024•汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝x B．2x+1＝0 C．（x﹣1）x＝x2 D．x2 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【解答】解：A、x2＝x是一元二次方程，符合题意； B、2x+1＝0是一元一次方程，不符合题意； C、（x﹣1）x＝x2是一元一次方程，不符合题意； D、x2不是整式方程，不符合题意， 故选：A． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2．（2024•湖北一模）已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．4 C．0或4 D．4或﹣4 【分析】根据题意得到m≠0并且Δ＝0，即可求出m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根， ∴m≠0并且Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4m•4＝4m2﹣16m＝0， 解4m2﹣16m＝0得m＝0或m＝4， ∵m≠0， ∴m＝4． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键． 3．（2024•当阳市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1•x2的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣2 D．0 【分析】若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到x1+x2和x1•x2的值，整体代入即可． 【解答】解：根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣1， 所以x1+x2+x1•x2＝﹣2+（﹣1）＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键． 4．（2024•洪山区校级二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣3 【分析】先利用根的判别式求出m的值，再对方程进行求解即可． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根， 所以（﹣2）2﹣4（﹣3m+1）＝0， 解得m＝0， 所以此方程为x2﹣2x+1＝0， 解得x1＝x2＝1． 故选：C． 【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5．（2024•宜都市二模）2023年中国汽车出口量首次达到全球第一，如图是2021年和2023年新能源汽车占中国出口汽车总量比值的扇形统计图，设2021年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．40.2×（1﹣x）2＝26.7 B．40.2×（1﹣x2）＝26.7 C．26.7×（1+x）2＝40.2 D．26.7×（1+x2）＝40.2 【分析】根据图中信息列出一元二次方程即可． 【解答】解：由题意得：26.7%×（1+x）2＝40.2%， ∴26.7×（1+x）2＝40.2， 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．（2024•湖北一模）关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．﹣1 D．1 【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1， 而a+1≠0， 所以a＝1． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 7．（2024•江汉区校级模拟）若关于x的方程x2+4x﹣m＝0（m为实数）在﹣3≤x≤1范围内有唯一实数根，则m的范围是（　　） A．m＝﹣4 B．﹣4≤m≤5 C．﹣3＜m≤5和m＝﹣4 D．﹣4≤m≤﹣3 【分析】求得抛物线的对称轴，即可得出在﹣3≤x≤1范围内，当x＝﹣2时，y最小值＝﹣4﹣m，当x＝1时，y最大值＝5﹣m，根据题意可知﹣4﹣m＝0或，解得即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x﹣m的开口向上，对称轴为直线x＝﹣2， ∴在﹣3≤x≤1范围内，当x＝﹣2时，y最小值＝﹣4﹣m，当x＝1时，y最大值＝5﹣m，而x＝﹣3时，y＝﹣3﹣m， ∵关于x的方程x2+4x﹣m＝0（m为实数）在﹣3≤x≤1范围内有唯一实数根， ∴﹣4﹣m＝0或， ∴m＝﹣4或﹣3＜m≤5， ∴m的取值范围是﹣3＜m≤5或m＝﹣4， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的近似值，抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．（2024•湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 【分析】由|x1|＝|x2|知x1＝x2或x1+x2＝0，当x1＝x2时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0，解方程可得答案． 【解答】解：∵|x1|＝|x2|， ∴x1＝x2或x1+x2＝0， 当x1＝x2时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0， 解得m＝1； 当x1+x2＝0时，2﹣2m＝0， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用． 9．（2024•武汉模拟）已知a，b分别为方程x2﹣2x﹣c＝0的两个不相等的实数根，则值为（　　） A． B． C．2 D．4 【分析】先由根与系数的关系得到a+b＝2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可． 【解答】解：由条件可知a+b＝2， ∴ ， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2024•湖北三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且4，则k的值是（　　） A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 【分析】由一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，可得x1+x2＝2k，x1•x2＝k2+k，即可得（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，解得k＝2或k＝﹣1，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2， ∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2+k， ∵4， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝4， ∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4， 解得k＝2或k＝﹣1， 当k＝2时，一元二次方程为x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当k＝﹣1时，一元二次方程为x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意； ∴k的值是﹣1； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式． 11．（2024•阳新县校级一模）某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价的百分率是　 　． 【分析】设这种服装平均每件降价的百分率是x，则降一次价变为80（1﹣x），降两次价变为80（1﹣x）2，而这个值等于64.8，从而得方程，问题得解． 【解答】解：设这种服装平均每件降价的百分率是x，由题意得 80（1﹣x）2＝64.8 ∴（1﹣x）2＝0.81 ∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9 ∴x＝10%或x＝1.9（舍） 故答案为10%． 【点评】本题是一元二次方程的基本应用题，明白降两次价变为原来的（1﹣x）2倍是解题的关键． 12．（2024•谷城县一模）已知α，β是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则αβ﹣2（α+β）的值是 　 　． 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若x1，x2是方程的两个根，那么，，代入求解即可． 【解答】解：由题意知，， 因此αβ﹣2（α+β）＝﹣2﹣2×2＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键． 13．（2024•青山区模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根．则　 ． 【分析】由题意得，a+b＝3，ab＝1，故． 【解答】解：由题意得，a+b＝3，ab＝1， ∵，而a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简，完全平方公式的化简计算，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（2024•铁山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）若方程有实数根，求k的取值范围． 【分析】（1）由于x＝2是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出k的值． （2）根据根的判别式公式，令Δ≥0，得到关于k的一元一次不等式，解之即可． 【解答】解：（1）把x＝2代入x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0得k2﹣4k+2＝0， 解得； （2）∵方程有实数根， ∴Δ＝[2（k+1）]2﹣4×1×（k2+2）≥0， ∴． ∴k的取值范围为． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 15．（2024•咸安区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x1x2＝19，求m的值． 【分析】（1）利用根的判别式求出关于m的代数式，整理成非负数的形式即可判定b2﹣4ac≥0； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把x1x2＝19，转换为（x1+x2）2﹣3x1x2＝19，然后利用前面的等式即可得到关于m的方程，解方程即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+3）]2﹣12m ＝m2+6m+9﹣12m ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2； 又∵（m﹣3）2≥0， ∴b2﹣4ac≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵x1+x2＝m+3，x1•x2＝3m，x1x2＝19， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝19， ∴（m+3）2﹣3×3m＝19， 整理得m2﹣3m﹣10＝0， 解得m＝5或m＝﹣2， 故m的值为5或﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二元一次方程组&一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。 2．掌握消元法，能解二元一次方程组。 3．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的 一元二次方程。 4．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根 是否相等。 5．了解一元二次方程的根与系数的关系。 6．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。 二元一次方程组的应用 考向一 由实际问题抽象二元一次方程组 考向二 二元一次方程组的实际应用 一元二次方程 考向一 根的判别式 考向二 利用根与系数的关系求代数式的值 考向三 利用根与系数的关系求字母的值 考向四 根的判定式与根与系数的关系的综合运用 考向五 一元二次方程的实际应用 考点一 二元一次方程组的实际应用 ►考向一 由实际问题抽象二元一次方程组 1．（2024•湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（　　） A． B． C． D． 2．（2023•荆州）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 3．（2022•武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 ►考向二 二元一次方程组的实际应用 解题技巧 1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组. 2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系． （4）列：根据等量关系，列出方程组． （5）解：解方程组，求出未知数的值． （6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答． 4．（2022•宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（　　） A．30 B．26 C．24 D．22 5．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 　　 吨． 考点二 一元二次方程 ►考向一 根的判别式 解题技巧 1、利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 2、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况的步骤: ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a，b，c的值； ③计算b2﹣4ac的值； ④根据b2﹣4ac的符合判定方程根的情况． 3、运用根的判别式时的注意事项 （1）将方程化成一般形式后才能确定a，b，c 的值． （2）确定a，b，c 的值时不要漏掉符合． 6．（2022•荆州）关于x的方程x2﹣3kx﹣2＝0实数根的情况，下列判断正确的是（　　） A．有两个相等实数根 B．有两个不相等实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 7．（2023•荆州）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． ►考向二 利用根与系数的关系求代数式的值 解题技巧 （1）利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积. （2）将求出的两根之和与两根之积直接代入代数式求值. 8．（2022•湖北）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2的值是 　 　． 9．（2023•宜昌）已知x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　 　． 10．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　　 ． 11．（2023•鄂州）若实数a、b分别满足a2﹣3a+2＝0，b2﹣3b+2＝0，且a≠b，则　 　． 12．（2022•黄石）阅读材料，解答问题： 材料1 为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 方程x4﹣5x2+6＝0的解为 　 　； （2）间接应用： 已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值； （3）拓展应用： 已知实数m，n满足：7，n2﹣n＝7且n＞0，求n2的值． ►考向三 利用根与系数的关系求字母的值 解题技巧 （1）利用根与系数的关系写出x1+x2和x1x2 的值； （2）将已知等式转化为含x1+x2和x1x2 的形式； （3）把x1+x2和x1x2 的值代入（2）中的等式，然后解方程即可． 13．（2023•湖北）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝　 　． 14．（2022•湖北）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 15．（2023•襄阳）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值． ►考向四 根的判定式与根与系数的关系的综合运用 16．（2022•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1x2＝5，求k的值． 17．（2023•湖北）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 18．（2022•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． ►考向五 一元二次方程的实际应用 19．（2023•襄阳）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（　　） A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864 20．（2023•宜昌）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 （1）求豆沙粽和肉粽的单价； （2）超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 21．（2022•宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加m%．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ ► 二元一次方程组 1．（2024•樊城区二模）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•宣恩县二模）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？设有x只鸡、y只兔，则可用二元一次方程组表示题中的数量关系为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•江汉区二模）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（　　） A．15.5cm B．19.5cm C．23cm D．30cm 4．（2024•湖北模拟）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驱“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x﹣y的值应为 　 　． 5．（2024•襄州区模拟）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架．书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容积为3斛；大容器1个，小容器5个，总容积为2斛．问大、小容器的容积各是多少斛？” 答：大容器容积为 　 　斛，小容器容积为 　 斛． 6．（2024•保康县模拟）我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买18只，则公鸡买 　 　只，小鸡买 　 只． 7．（2024•保康县一模）《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱．答：甲的钱数是 　　 ，乙的钱数是 　 　． 8．（2024•湖北模拟）六一期间，我校工会为希望小学购进图书和文具若干套，已知2套文具和3套图书需80元，3套文具和2套图书需70元，则1套文具和1套图书需 　 　元． 9．（2024•湖北模拟）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？”其大意为：“清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大船有 　 只，小船有 　 　只． 10．（2024•湖北模拟）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 　 　斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 11．（2024•十堰一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元；2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计80万元．求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 12．（2024•孝感一模）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？ 13．（2024•汉川市模拟）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．已知A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，购买5台A型机器人模型的费用比购买7台B型机器人模型的费用多400元． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）现在需要购买A型号机器人模型5台，B型号机器人模型7台，求共需要花费多少钱？ ► 一元二次方程 1．（2024•汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2＝x B．2x+1＝0 C．（x﹣1）x＝x2 D．x2 2．（2024•湖北一模）已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．4 C．0或4 D．4或﹣4 3．（2024•当阳市模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2+x1•x2的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．﹣2 D．0 4．（2024•洪山区校级二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m+1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝﹣3 5．（2024•宜都市二模）2023年中国汽车出口量首次达到全球第一，如图是2021年和2023年新能源汽车占中国出口汽车总量比值的扇形统计图，设2021年至2023年新能源汽车在总出口汽车的占比的年平均增长率为x，依题意可列方程为（　　） A．40.2×（1﹣x）2＝26.7 B．40.2×（1﹣x2）＝26.7 C．26.7×（1+x）2＝40.2 D．26.7×（1+x2）＝40.2 6．（2024•湖北一模）关于x的一元二次方程（a+1）x2+3x+a2﹣1＝0有一个根是0，则a的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．﹣1 D．1 7．（2024•江汉区校级模拟）若关于x的方程x2+4x﹣m＝0（m为实数）在﹣3≤x≤1范围内有唯一实数根，则m的范围是（　　） A．m＝﹣4 B．﹣4≤m≤5 C．﹣3＜m≤5和m＝﹣4 D．﹣4≤m≤﹣3 8．（2024•湖北模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0有两个实数根x1和x2，且|x1|＝|x2|，m的值为（　　） A．﹣1或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．1 9．（2024•武汉模拟）已知a，b分别为方程x2﹣2x﹣c＝0的两个不相等的实数根，则值为（　　） A． B． C．2 D．4 10．（2024•湖北三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+k＝0的两个实数根分别为x1、x2，且4，则k的值是（　　） A．﹣1或﹣2 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 11．（2024•阳新县校级一模）某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价的百分率是　 　． 12．（2024•谷城县一模）已知α，β是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则αβ﹣2（α+β）的值是 　 　． 13．（2024•青山区模拟）已知a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根．则　 ． 14．（2024•铁山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0． （1）若方程的一个根为2，求k的值； （2）若方程有实数根，求k的取值范围． 15．（2024•咸安区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． （1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为x1，x2，且满足x1x2＝19，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$