第一章 定比分点单比与交比 讲义-2025届高三数学二轮复习

第一章 定比分点单比与交比 一．单比的概念及性质 1.单比的定义 如果共线三点满足,则称为共线三点的单比，也可以表示为P分为。其中称为基点,称为分点。 对单比的概念我们需要理解以下几点: ⑴单比的定义是有顺序的,共线三点的顺序不可随意调整，; ⑵当位于线段之间时,，否则,当位于线段之外时，，为线段中点时； ⑶如果为定点,也给定,则点的位置唯一确定; ⑷在平面直角坐标系中,,由向量坐标运算,得出定比分点公式： ⑸所谓共线三点的单比,即为定比分点中的定比。 最早出现定比分点高考题是在2006年山东高考卷，由于年代久远，所以我们就用同类型题来解读。 2.为定值的参数同构与点差法 当圆锥曲线上两点作为定比分点，线段两个端点分别位于焦点和另一条坐标轴上时，这里会涉及一个为定值的问题，我们介绍参数同构法，点差思想来处理． 【例2】（2023•大庆模拟）已知椭圆的离心率，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过定点的直线与椭圆相交于，两点，且与直线相交于点，如果，，那么是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由． 二．单比与交比 1.单比角元形式 两条直线的有向角满足下面几个性质: (1).如果直线逆时针旋转到直线,则为正角;如果直线顺时针旋转到直线,则为负角; (2).. 如下图,分别连接共线三点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,若,则. 证明： 2、交比的概念及性质 点列的交比:如果共线四点满足,则称为共线四点的交比,记为。其中称为基点偶(对),称为分点偶(对)。 不妨共线四点所在直线不与坐标轴垂直,并设,,则： 由上述计算公式，不难得到点列交比的简单性质： 性质1:基点偶与分点偶交换,交比的值不变,即. 性质2：基点偶的两个字母交换，或者分点偶的两个字母交换，交比值变为原来交比值的倒数，即 性质3：交换中间两个字母，或交换两端的两个字母，交比的值变为1减去原来的交比值，即 性质4:如果四个不同的共线点中三点及其交比值已知,则第四点必唯一确定. 点列交比的角元形式：如下图,分别连接共线四点与其所在直线外一点,记所形成的直线分别为,则 从交比的角元形式可以看出,交比的值只与直线的有向角有关系,与线段长度没有关系。于是我们很容易据此得到交比的射影不变性。 3.交比的射影不变性 交比的射影不变性：如图所示,过点引四条相交直线,分别与另外两条直线交于和,则 交比的射影不变性,是交比的角元形式的直接推论，交比的射影不变性表明，交比经中心射影后不变。 关于交比射影不变性的斜率公式，我们会在后面章节进行解读，交比射影不变性的推论，结合调和点列，基本上可以打通高考. 【例3】（2024•济南期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点，，，经过中心投影之后的投影点分别为，，，．对于四个有序点，，，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． （1）证明：； （2）已知，点为线段的中点，，求． 【例4】(2024.江苏省四校联合)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设，，，是直线上互异且非无穷远的四点，则称（分式中各项均为有向线段长度，例如为，，，四点的交比，记为，；，． （1）证明：； （2）若，，，为平面上过定点且互异的四条直线，，为不过点且互异的两条直线，与，，，的交点分别为，，，，与，，，的交点分别为，，，，证明：，；，，；，； （3）已知第（2）问的逆命题成立，证明：若与△的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则与△对应边的交点在一条直线上． 三．调和点列与定比点差 1．调和点列的概念 如下图①，点在线段上，则满足的点是唯一存在的．但是，如果将线段改为直线，此时，满足的点有两个，如下图②，不妨记另一个点为，则，在此种情况下，我们称点、、、为调和点列，或者称点、调和分割点、．按照交比的调和比解释，就是 图① 图② 特别的，当时，即点为的中点，则为无穷远点． 2．调和点列的性质　 如下图所示：对于线段的内分点和外分点满足、调和分割线段，即，设为线段的中点，则有以下结论成立： ①点、也调和分割、，即； ②（是与的调和平均数）． 【例5】(2011山东卷改编)设、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若，，且，则称，调和分割已知平面上的点，调和分割点，，则下面说法正确的是　　 A．、、、四点共线 B．可能是线段的中点 C．、可能同时在线段上 D． 、不可能同时在线段的延长线上 3.定比分点和调和分点支配下的圆锥曲线 在椭圆或双曲线中，设，为椭圆或双曲线上的两点，若存在，两点，满足，，则一定有： 证明 若，且，则；若，则 ，有， （1）-（2）可得： 即得：， 故． 在抛物线中，设，为抛物线上的两点．若存在，两点，满足，，一定有． 证明 若，，则，，则 ，有 ①—②得： 即， 所以，故． 定比点差的原理谜题解开，就是两个互为调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程． 【例6】过的直线交椭圆于不同两点，，在线段上取点，满足. 求证:点在某定直线上. 【例7】设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为． （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上． 【例8】（2023•四省联考）已知双曲线过点，且焦距为10． （1）求的方程； （2）已知点，，为线段上一点，且直线交于，两点．证明：． 四．定点在坐标轴上的定比点差 若出现或者，则，此时;若出现或者，则，此时.对于公式中，成对出现的“”或者“”，由于公式的背景和极点极线有关，不妨可以称它们为“调和共轭数”. 【例9】（2022•山东模拟）已知椭圆的离心率，且经过点，点为椭圆的左、右焦点. (1)求椭圆的方程; (2)过点分别作两条互相垂直的直线，且与椭圆交于不同两点与直线交于点.若，且点满足，求面积的最小值. 类型一 定点在轴 过定点的直线与椭圆相交于、两点，设，，则在直线上一定存在点满足，根据定比点差法可知. 一定有 证明: 类型二 定点在轴 过定点的直线与椭圆相交于、两点，设，，则在直线上一定存在点满足，根据定比点差法可知.同理: 由于在考试当中我们经常要拿出这三个等式，故我们称之为:“三炮齐鸣，天下太平” 【例10】(2018•浙江高考)已知点，椭圆上两点、满足，则当     时，点横坐标的绝对值最大. 【例11】已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可重合），求的取值范围． 五．定点不在坐标轴上的定比点差 椭圆，点、是椭圆上的点，且，则: (非轴点弦三炮齐鸣起手式，方便理解，不是最终方程 即点、的坐标都可以用只含有(或的式子表示出来. 证明:由得:，即①，利用定比点差法得: ， 即，代入(1)，消去、，整理可得: 如果消去、，整理可得:. 在上面椭圆的基础上，我们也可以大胆推测，对于抛物线，设点、为抛物线上的点，且，则亦有公式: 【例12】如图, 已知椭圆 的离心率为 , 点 在椭圆 上, 射线 与 椭圆 的另一交点为 , 点 在椭圆 内部, 射线 与椭圆 的另一交点分别为 . (1) 求椭圆 的方程; (2) 求证: 直线 的斜率为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$