第三章 调和点列与完全四边形 讲义-2025届高三数学二轮复习

第三章 调和点列与完全四边形 一 完全四边形 1.完全四边形定义 完全四边形两两相交，如下图的四边形ABCD，没有三线共点的四条直线AB、BC、CD、DA，及它们的六个交点，两两相交于六点，六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线.则即为完全四边形 2. 完全四边形中的调和点列 根据上一章的极点极线证明用到的塞瓦定理和逆定理，我们可以得出完全四边形中的调和点列关系. 如图所示,设是完全四边形，对边和交于,对边和交于，对角线和交于，设和交于与交于,则都是调和点列. 证明:考虑以为射影中心的线束，利用交比不变性，可知.考虑以为射影中心的线束,再利用交比不变性，可知,.于是 从而.而,于是，即和.是调和点列.类似地,可证也是调和点列. 3. 调和点列与调和线束 根据完全四边形中的调和点列可知，完全四边形的任意一条对角线的两端,都被它和另外两条对角线的交点所调和分割.如果我们以S点为射影中心，为调和点列，利用交比不变性，如下图，， 则，，，均为S点的调和线束. 二 调和平行弦中点定理 1.调和梯形角度解读 完全四边形中,,边与交于，BA与CD延长线交于E，EF与AD和BC交于G和H两点，则：①E、G、F、H是调和点列；②G、H分别为AD、BC中点； 证明：因为AD//BC，所以,所以，同理，而，所以E、G、F、H是调和点列. 2.无穷远点调和点列解读 如图所示，，，，，均为S点的调和线束，过延长线上任意一点A作分别交和于点B和C，则. 证明：根据交比不变性，，则,故. 3.调和平行中点定理推论 若A，M，B，N是调和点列，如下图所示，过A作任意直线l，在l上任取一点C，连接CM，CN，过N作DE//CM交AC和BC于D、E两点，则必有： ①DN=EN， ②在CN上任取一点R，作PQ//CM//DE交AC于P，交BC于Q，则PR=QR. 本定理其实就是调和梯形定理的延展，我们将B理解为对角线交点，CM为上底的一半，则DE为下底，且DN=EN，至于PR=QR，可以根据三角形CDE的中线上任意一点R作底边平行线，由中线定理即可证明. 注意：本定理的逆定理也成立. 三．调和平行弦中点定理在高考中应用 题型一．中点截距定理 如图所示，在椭圆中，、为椭圆上的两点，设轴上一点，存在直线和轴上一点，连接并延长交直线于， 则:①:②直线轴:③. 极点极线背景分析：延长AB交于N，作交MN于，由以P为极点对应的极线为MN，则A、P、B、N为调和点列，梯形为调和梯形，则Q为PR中点。 【例1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，、为椭圆上的两个动点，当，关于原点对称时，的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）若存在实数使得，过点作直线的垂线，垂足为，直线是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由． 【例2】（2023•宁德模拟）已知椭圆的离心率为，过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，定直线，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，过，两点分别作于，于，直线、交于点，证明：点为定点，并求出点的坐标． 题型二．共轭点面积等比中项模型 椭圆,过点的直线交椭圆于两点,点在M对应极线上,且与AB交于点P，,则 证明：延长交于,以M为射影中心，，由于，故，由于,所以 , 所以;同理可证. 【例3】（2024•临川区期末）已知双曲线，点，经过点的直线交双曲线于不同的两点、，过点、分别作双曲线的切线，两切线交于点．（二次曲线在曲线上某点，处的切线方程为 （Ⅰ）求证：点恒在一条定直线上； （Ⅱ）若两直线与交于点，，，求的值； （Ⅲ）若点、都在双曲线的右支上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，记，，的面积分别为，，，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型三 角平分线定理 已知交椭圆)长轴(短轴)于点是椭圆上关于长轴(短轴)对称的两点，直线交长轴(短轴)于，则或.(双曲线也有相同调和共轭性质) 极点极线背景分析：如右图，由于点P与Q符合调和共轭，则以P为极点的极线是QN，故N、A、P、B是调和点列，，作A关于x轴对称的点，则. 注意：补充三角形的内角平分线定理：在中，若是的平分线，则有． 证明 作交于，交于，设边上的高为，易知， ． 我们同样也可以根据调和梯形来解释角平分线定理，如下图所示，已知椭圆方程为：（），若以为对角线交点的梯形的一组对边垂直于轴，则必在轴上，且点所对极线也必垂直于轴，此时有极线方程为，根据调和梯形性质，此时是等腰梯形，一定有. 代数本质解读： 　如图，过定点的直线与椭圆相交于、两点，作点A关于x轴的对称点，则直线恒过定点． 证明　由A、B、M三点共线可得：①，且，②， 又③，①，②代入③得：，此时，结合直线的两点式，即，显然，直线恒过定点． 第一类：x轴的轴点弦 过定点 的直线与椭圆 相交于 两点, 设 , ； 由①＋②可得：，解得， 由②－①可得：， 即，点B的坐标都可以用点A的坐标进行表示：，． 第二类：y轴的轴点弦 过定点的直线AB和椭圆相交，设，，则有： ；由②－①可得：，由①＋②可得：， 所以：， 显然，所有的轴点弦，用一个点表示另一个点的方法，定比点差显然来得更加直接和简单，只是在处理坐标轴为角平分线题型时，将二次曲线转化为两个一次式相乘形式方便操作. 【例4】(2018全国卷I)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. (1)当与轴垂直时，求直线的方程; (2)设为坐标原点，证明:. 【例5】已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线的渐近线为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的右焦点为，动直线不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率为，，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 第三类．斜率和为0与内外角平分线解读 已知点是椭圆上的动点,,直线的斜率和为0,则直线的斜率为. 如图所示,过点作轴的平行线,分别交于点,则分别是的内角,外角平分线,所以所以是椭圆的一组调和共轭点,即 【例6】(2022新高考Ⅰ卷)已知在双曲线上,直线交于、两点,直线,斜率之和为0.求的斜率; 第四类：内外角平分线与阿氏圆 一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线． 求证：已知动点P与两定点A、B的距离之比为，那么点P的轨迹是什么？ 证明：不妨设、，，由得：，即 ， ①当时，即为，整理得：，即点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆； ②当时，化简得，即点P的轨迹为y轴． 如图，易知①PC为的内角平分线，PD为的外角平分线，②③PC⊥PD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！ 设阿波罗尼斯圆的圆心为O，半径，则有， 即，即，即，即（反演）． 同时，，即． 半径公式　已知动点P与两定点A、B的距离之比为，则已知两个定点A、B，及定比，则． 注意：阿氏圆的常用公式，，阿氏圆的半径为： 【例7】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点、的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【例8】已知两定点，，动点与、的距离之比且，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为　　 A． B． C．0 D．4 第五类：内外角平分线与焦点准线 1.椭圆外角平分线与焦准模型 外角平分线模型设和是圆雉曲线一组对应的焦点和准线,圆雉曲线的弦交准线于点,则到的距离是相等的,亦即是的内角平分线或者外角平分线. 显然,当且仅当弦交双曲线于两支时,是的内角平分线. 证明:如图,过点作准线的垂线,垂足分别为,则根据外角平分线的逆定理,所以平分的外角. 2. 双曲线内角平分线与焦准模型 证明:如图,过点作准线的垂线,垂足分别为,则根据 内角平分线的逆定理,所以平分的外角. 【例9】设为椭圆的右焦点，不垂直于轴且不过点的直线与交于，两点，在中，若的外角平分线与直线交于点，则的横坐标为　 　． 3. 双外角平分线垂直模型 设，MN是过椭圆焦点的两条弦,分别交对应的准线于则有; 注意：一般考试中，MN通常为椭圆的左右顶点，所以会经常利用调和线束+平行弦构造中点来考查. 【例10】（2022•济宁三模）已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，且的最大值为3，椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆交于另一点（异于点，与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，求证：点是线段的中点． 题型四 调和点列+平行弦中点 【例11】(2020北京)已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程; (2)过点的直线交椭圆于点，直线分别交直线于点.求的值. y Q M N B O x A P 【例12】(2018北京文)已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、. (1)求椭圆的方程; (2)若，求的最大值; (3)设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.若和点共线，求. 【例13】已知椭圆，斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点，直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于，求证:直线过定点. 题型五 中点平行弦模型： 已知A、B、C为椭圆上三个不同的定点，且线段AB的中点在直线OC上，点P为椭圆上的动点，直线PA、PB分别交直线OC于点M、N，则有： ①；②． ③连接AN，交椭圆于点Q，则PQ∥AB，④设，则直线AP与BQ都过定点． 注意：如果已知点N的坐标和AB的斜率，也可得到：PQ∥AB；直线AP与BQ都过定点M． 对于④的背景是：． 【例14】已知椭圆，过点的直线交椭圆于两点.为椭圆上异于的一点，满足弦的中点在直线上.试判断直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由 四 调和点列与斜率等差 题型一：调和平行弦中点与斜率等差 如图,为的中线,设直线的斜率分别为, ①若与轴平行,则:；②若与轴平行,则: 【例15】（2023•乙卷）已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于点，两点，直线，与轴的交点分别为，，证明：线段的中点为定点． 【例16】(2022北京卷)已知椭圆的一个顶点为,焦距为. (1)求椭圆的方程 (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,,直线，分别与轴交于点,.当时,求的值. 【例17】(2022全国乙卷)已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两 点. (1)求的方程; (2)设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明:直线过定点. 题型二. 调和共轭点与斜率等差 椭圆或双曲线中，设直线与椭圆或双曲线交于、两点，且直线与轴、轴的交点分分别为、，点和点均不是椭圆顶点． （1）若点在直线上，则； 证明：如图，过B作BE//y轴交PM和PA于D和E，作AQ//BE交PM延长线于Q,由于P和M调和共轭，故P、D、M、Q是调和点列，由调和平行中点定理知，，，故， 按照交比不变性，延长AB交直线于N，以P为射影中心，，故， 【例18】已知椭圆的离心率是、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的方程; (2)若直线过右焦点且交椭圆于、两点，点是直线上的任意一点，直线、、的斜率分别为、、，问是否存在常数，使得成立?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 【例19】已知椭圆 经过点 ，且直线且与圆相切． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线交于两点，是否存在定点，使直线与直线的斜率之和为2？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由． （2）若是直线上任一点，则． 证明：如图，过B作BE//x轴交PN和PA于D和E，作AQ//BE交PN延长线于Q,由于P和N调和共轭，故P、D、N、Q是调和点列，由调和平行中点定理知，（按照调和点列概念和平行线性质，，故）， 【例20】已知椭圆的离心率为，长轴长与焦距的和为6，直线过点与椭圆交于，两点（不是椭圆的顶点），点是直线上的任意一点． （1）求椭圆的方程； （2）记直线，，的斜率分别为，，，求证：成等差数列． （3）过圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）焦点的任一直线交圆锥曲线于、两点，交对应准线于点，点位于圆锥曲线的通径所在直线上，则． 注意：本结论将F换成，且轴，M与N满足调和共轭，也成立. 证明：若曲线为椭圆（双曲线同理）：设椭圆方程为：，，相应准线，则N、A、F、B是调和点列，作AQ//y轴交PN于E，交BP延长线于Q，根据调和平行中点定理知AE=EQ，（利用调和点列和平行线性质证明的过程省略）. 【例21】（2013江西理）如图，椭圆C：（）经过点，离心率，直线的方程为. （1）求椭圆的方程； （2）是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【例22】(2013江西文)椭圆：（）的离心率为，. （1）求椭圆的方程； （2）如图，，，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于N直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明为为定值. 五 交比不变性与定点定值 【例23】（24武汉二调）已知双曲线E：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线E于A，B两点，当直线AB与x轴垂直时，. (1)求双曲线E的标准方程； (2)设直线与直线的交点为P，证明：直线PB过定点. 【例24】(广州24届12月调研)在平面直角坐标系 中, 点 , 点 是平面内的动点. 若 为直径的圆与圆 内切, 记点的轨迹为曲线 (1) 求的方程; (2) 设点,直线,分别与曲线交于点异于) , 垂足为,求 的最小值. 六 对合与定点定值 1.调和线束的斜率关系 调和线束的斜率关系:若是调和线束,则它们的斜率满足 ， 证明：方案一（角元形式）：如图所示,以S为射影中心，直线之间的夹角已知,则 线束的交比的斜率表达式设直线的斜率分别为,对应的倾斜角分别为1,2,3,4,则 方案二（交比不变性）：若直线为调和线束，,且斜率均存在,则. 证明:如图,过作轴的垂线与轴交于,另外交于点.由交比不变性可知,:，分母同除以: 由于调和线束,则即： 去分母得： 特殊的，当时,即; 同理，当时,则有.这就是前面我们提到的斜率等差或者斜率倒数等差模型. 根据，欲使得为定值,必须有且为定值; 【例25】(2023.武汉四调)过点的动直线与双曲线交于两点,当与轴平行时,,当与轴平行时,. (1)求双曲线的标准方程; (2)点是直线上一定点,设直线的斜率分别为,若为定值,求点的坐标. 【例26】（2023•石家庄二模）已知双曲线，为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于，两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于，两点． （1）若直线的斜率为，求的值； （2）设直线，，，的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究与，满足的方程关系，并将用，表示出来． 2. 对合与对合方程 对合（involution）通常指集合到集合的一种变换，使任意元素变到,即,但又使总是变回到,即。则为对合变换。通常我们把变回到的变换叫的逆变换,记为,则对合就是变换与其逆变换相同的一种变换。对合的变换例子很多,如数的取负(变;命题的否定;向量求反;矩阵转置或求逆;图像的上下、左右对称或180度旋转等。 我们先来了解直线偶对合，如图，若以S为射影（透视）中心，SA，SB，SC，SD是线束，是上四点，是上四点，设直线EF为，若，根据交比不变性，则，根据极点极线知识，S关于与的极线是. 若确定了D变换为的方法，则称D与是对合的，记为,,则一定有, ,，则S为对合中心，为对合轴，P为对合不动点。 我们再来介绍一下曲线对合的定义 是圆锥曲线到自身的函数，若定点使得有直线恒过,则是对合（也称为对合变换），并称为的对合中心，对合中心的极线是的对合轴. 注意：由定义可以推出以下性质 1.若是上的对合的对合中心,,则. 2.若,则在对合轴上. 3.对合不动点:若,则为对合的不动点.由的极线过对合中心知在对合轴上.由对合中心知每个对合都有两个(不同的)不动点,如图，I和均为切点，两点确定对合轴. 4.对合充要条件:表示对合的充要条件为:. 证明：令，当，可以理解为将反比例函数向右向上移动相等的距离得到的图像，如图，这样，，则该迭代函数只有两个解，故，是一组对合. 5.对合方程与斜率和,积模型 利用对合待征与代数变形可得:,其中,这个方程叫做对合方程.关于平移构造的齐次化方程，就是一种对合方程的表示. 6.不变元素与不动直线 为了能在斜率和积模型中找到对合轴方程与对合中心坐标,我们引出不动直线的概念.不动直线与二次曲线的交点即为不动点.它的斜率在变换前后是不会变的,即满足,这是一个关于的一元二次方程,判别式,根据它是正或负可知对合有两个或没有不动直线. 7.计算对合轴与对合中心的方法 （1）由两对相异的对合对应点求得:可先算出这两对对合对应点所在直线方程,联立之后算出对合中心，再利用对合中心与对合轴的极配关系求得对合轴; (2)已知对合中心且在二次曲线外:过对合中心做二次曲线的两条切线,切点弦即为对合轴. (3)由对合方程求得两条不动直线的方程,再利用不动直线与二次曲线相交找到不动点,连接不动点即是对合轴,最后再利用对合中心与对合轴的极配关系求得对合轴. 【例27】(2017•新课标I理)已知椭圆,四点，，，，中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程; (2)设直线不经过点且与相交于，两点.若直线与直线的斜率的和为，证明:过定点. 【例28】（2024•城厢区模拟）已知椭圆的左、右顶点分别为，，为椭圆上任意一点（与，不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于，两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由． 【例29】(2020•山东)已知椭圆的离心率为,且过点. (1)求的方程; (2)点,在上,且，，为垂足.证明:存在定点,使得为定值. 3. 对合与三角同构 在《圆锥曲线》专题书里，我们介绍了斜率同构，点式同构，所有斜率和积问题都可以交给同构来解读，本文我们使用三角换元来进行角度同构. 由于 1.椭圆 设、,故弦的方程是, 证明：由于 故、均在同构方程上， 即弦的方程是, 2. 双曲线 设、,故弦的方程是, 证明：由于 故、均在同构方程上， 即，即弦的方程是, 接下来我们一起按照三角同构来解读斜率关系，以椭圆为例， 设、、,其中是定值,是变化数, 又易知直线、的方程分别是 直线, 直线, 所以,直线的斜率分别是 特别的情况， （1）当为左顶点，则，； （2）当P为右顶点，则，； （3）当P为上顶点，则，； （4）当P为下顶点，则，； 接下来我们证明2020高考题（例25）的关键部分，就是椭圆，，当，则MN过定点. 证明:设、、,其中 易证直线的方程是, 又易知直线、的方程分别是： 直线, 直线, 所以,直线的斜率分别是： 因为,所以,所以. 所以， 即，即， 所以，对比, 所以，所以MN过定点. 注意：三角同构换元就是圆锥曲线的两点联立式，抛物线的可以直接通过坐标获取，椭圆和双曲线则需要通过三角换元来进行同构. 【例30】（2023•石家庄一模）已知点在双曲线上，过作轴的平行线，分别交双曲线的两条渐近线于，两点，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）若直线与双曲线交于不同的两点，，设直线，的斜率分别为，，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线过定点． ①；②． 、 、 【例31】（2023•广州模拟）已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求的方程； （2）直线与相交于，两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为为坐标原点），的面积为的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由． 4.顶点角+同轴轴点弦的对合方程 第一类：左右顶点+x轴轴点弦型 如图，椭圆中，A、B分别为其左右顶点，过的直线MN交椭圆于M、N两点，P其对应极线RQ：，AM延长线交RQ于R，MN与RQ交于点Q，设，，，，. 则：①定值； ②； ③； 证明：①，，所以=定值； ②由于，，所以， 即； ③由于，； 【例32】（2023•浙江月考）已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，是的上顶点，且． （1）求椭圆的方程； （2）是椭圆的右顶点，斜率为的直线与交于，两点，与不重合）．设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值． 注意：定点M在椭圆内，如果以M作为对合中心，属于椭圆型对合.如果定点M在椭圆外，以M作为对合中心，属于双曲型对合，此时过M能作椭圆两条切线，切于对合不动点（切点）. 二次曲线上的一个双曲型对合中，任意一组对应点都和两个不动点构成一个调和点列，射影是交比不变性的变换。 如图，是椭圆外的一点，以M为对合中心，其对合对合轴，这是一个典型的双曲型对合，RS为两对合不动点，故，由于B和C是一组对合对应点，故延长AB交RS于D，AC交RS于E，故DE也是一组对合对应点，所以.根据调和线束的斜率公式， 可得，所以 【例33】（2024•西安模拟）椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线交轴于点，其中，直线交椭圆于另一点，直线和分别交直线于点和，若，，，四点共圆，求的值． 【例34】（2024•青羊区模拟）已知椭圆的离心率为，短轴长为，过点斜率存在且不为0的直线与椭圆有两个不同的交点，． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆左右顶点为，，设中点为，直线交直线于点，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由． 第二类：上下顶点+y轴轴点弦型 如图，椭圆中，A、B分别为其上下顶点，过的直线MN交椭圆于M、N两点，P其对应极线RQ：，AM延长线交RQ于R，MN与RQ交于点Q，设，，，，. 则：①定值； ②； ③； 证明：①，，所以=定值； ②由于，，所以， 即； ③由于，； 注意：本模型是椭圆型对合，以P作为对合中心，没有不动点，所以可以采用特殊值，即过P作x轴平行线交椭圆于MN两特殊点，算出，此模型的双曲型对合，可以参考前面x轴的轴点弦模型，不再赘述. 【例35】(2022浙江卷)如图,已知椭圆.设，是椭圆上异于的两点,且点在线段上,直线分别交直线于，两点. (1)求点到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$