第二章 极点极线基本知识 讲义-2025届高三数学二轮复习

第二章 极点极线基本知识 对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．所以，极点极线，我们还是按照一些题型来进入分类总结． 一．极点极线的定义 1．二次曲线的替换法则　 对于一般式的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代，常数项不变， 可得方程：． 2．极点极线的代数定义　 高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下： （1）圆： ①极点关于圆的极线方程是； ②极点关于圆的极线方程是； ③极点关于圆的极线方程是：． （2）椭圆： 极点关于椭圆的极线方程是：． （3） 双曲线： 极点关于双曲线的极线方程是：． （4）抛物线　 极点关于抛物线的极线方程是：． 注：①极点极线是成对出现的； ②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线； ③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！ 3．极点极线的几何意义　 （1）若极点在二次曲线上，则极线是过点的切线方程． （2）若极点在二次曲线内部，则极线是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P的弦、的两端端点作切线，得到的直线MN即为点对应的极线轨迹．【极线和二次曲线必定相离】 （3）若极点P在二次曲线外部，分成两种情况： ①极线在二次曲线内的部分是点对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】 ②极线在二次曲线外的部分是过点P的弦两端端点的切线交点的轨迹． 二． 极点极线定理证明 如下图所示，设非中心点不在椭圆上，过作椭圆的两割线和，连接和交于，则. 证明：如图所示，在线段上取一点，使，，，为调和点列，根据定比点差法(过程省略)可知：，同理在上取一点，使，，，为调和点列，则有，由于R、S均在同构方程上，所以直线的方程为， 连接，我们仅仅需要证，，三线共点即可，此时我们需要借助一下梅涅劳斯定理和塞瓦定理，由于借助平面几何知识，延长AC和BD交于T，连接TQ交AB和CD分别于E和F点，我们需证R，Q，S三点共线，则只需证S与E重合，R与F重合 在中，Q是其塞瓦点，根据塞瓦定理可知：， 在中，PAB为其截线，根据梅涅劳斯定理得： 所以，由于，故R与F重合，同理可证S与E重合， 故点Q在直线RS上，所以，命题得证！ 注意：关于梅涅劳斯定理和塞瓦定理及其逆定理，均属于高中数学联赛的知识，高中课本上是没有做要求的，考试不能直接拿来证明，但是其对应的比值性质与极点极线的调和共轭属性完美契合，属于证明极点极线的最佳方法. 补充定理： 1．梅涅劳斯定理 定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有 G 证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G． 因为CG // AB，所以 ①，因为CG // AB，所以② 由①÷②可得，即得． 2．梅涅劳斯定理的逆定理 定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若，那么D、E、F三点共线． 证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有． 因为 ，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线． 3．塞瓦定理 定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有 ． 证明：运用面积比可得．根据等比定理有：，所以．同理可得，，三式相乘得． 4．塞瓦定理的逆定理 定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点． 证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有．因为 ，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线． 三．极点极线的配极性质　 ①点关于二次曲线的极线经过点点关于二次曲线的极线经过点． ②直线关于二次曲线的极点在直线上直线关于二次曲线的极点在直线上． ①②表达点和点是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点． 1.极点极线的综合模型——自极三角形 极点极线的几何意义: （1）若点是圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极点对应的极线． （2）如图所示（以椭圆图形为例），若点是不在圆锥曲线上的点，且不为原点，过点作割线、依次交圆锥曲线于、、、四点，连结直线、交于点，连结直线、交于点，则直线为极点对应的极线．类似的，也可得到极点N对应的极线为直线，极点对应的极线为直线，因此，我们把称为自极三角形．【即的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】 如图所示，如果我们连结直线交圆锥曲线于点、，则直线、恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线不仅是极点的极线，我们也称直线为渐切线． 下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见． 2.自极三角形在高考中的证明与一题多解 【例1】（2020•新课标Ⅰ）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 【例2】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，且． （1）求的标准方程； （2）设的左右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标轴垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线上． 注意：本题极点极线原理与例1一样. 【例3】（2023•福州模拟）已知抛物线，过点的两条直线，分别交于两点和，两点．当的斜率为时，． （1）求的标准方程； （2）设为直线与的交点，证明：点必在定直线上． 【例4】（2011•四川）如图，椭圆有两顶点、，过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点．直线与直线交于点． 当点异于两点时，求证：为定值． 【例5】（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线中心为坐标原点，左焦点为，，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，在第二象限，直线与交于，证明在定直线上． 四 蝴蝶定理与坎迪定理 1.蝴蝶定理 如左图所示，P为y轴上一点，若AC与BD交于P，过P作与x轴平行的直线交AB和CD于MN，交椭圆于EF，则. 如右图，若P为弦EF中点，则P一定为MN中点，即，我们把这种蝴蝶型的共中点定理叫做蝴蝶定理. 证明：如图，延长AB与DC交于Q，过Q作MN的平行线交DB延长线于T，交AC延长线于R，易知TR为以P为极点的极线，以P为射影中心，利用交比不变性，，以Q为射影中心，利用交比不变性，，故 【例6】已知椭圆过点，离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过点做椭圆的两条弦分别位于第一、二象限)，若与直线分别交于，求证:. 2.坎迪定理 如图，、、、都是椭圆上的动点，已知与交于点，则一定有:①，②. 证明①：根据极点极线知识，M与H调和共轭，AB与CD交点P一定在直线上，以M为射影中心，利用交比不变性，，以P为射影中心，利用交比不变性，，故， 证明②法一（平移构造曲线系）：将椭圆按照平移得：，当时，，，此时设，，，， 此时曲线系方程为： 常数项系数：；x系数：；y系数为0：； ，所以， 法二（交比角元不变性）：由于， 又，所以 ，所以 ，即所以 显然，曲线系是最好证明的方法. 注意：蝴蝶定理其实是坎迪定理的特殊形式，即M为A1A2中点时的特例. 补充定理：圆周角交比不变性 设为圆锥曲线上六个不同的点,为定点,为动点,则 证明：如图,以圆锥的顶点为射影中心，以椭圆为截面，SP，SA，SB，SC，SD分别交椭圆截面于根据交比射影不变性以及,显然有根据圆的圆周角定理，如右图，根据交比的不变性，所以 3.坎迪定理中点推论 如图，A、B、C、D是圆锥曲线上的点，BA与DC延长线交于P，AD与BC交于M，易知PH是以M为极点的极线，过M作交PD与PB于T和R，则. 证明：如右图所示,直线为点对应的极线,则 又, 所以. 4.坎迪定理在高考中的应用 【例7】（2010•江苏）椭圆的左右顶点为,右焦点为．设过点的直线，分别与椭圆交于，，其中，，．求证：直线必过轴上一个定点． 注意：2020年全国卷高考题也可以按照此方法解读.本题书写过程与例1一致，故不再详述。 【例8】（2016•山东）已知椭圆的长轴长为4，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）过动点，的直线交轴与点，交于点，在第一象限），且是线段的中点．过点作轴的垂线交于另一点，延长交于点． ①设直线PM，QM的斜率分别为，，证明为定值； ②求直线的斜率的最小值． 【例9】（2023•江苏模拟）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，焦点到相应准线的距离是3． （1）求，的值； （2）已知、是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接、并分别延长交椭圆于、两点，证明：直线过定点． 【例11】已知椭圆的左、右焦点分别为、，且离心率为为椭圆上任意一点，当时，面积为1. 求椭圆的方程; 已知点是椭圆上异于椭圆顶点的一点，延长分别与椭圆交于、，求证:为定值. 【解析】(1); 【例12】已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值． 5.蝴蝶定理的应用之抛物线 【例13】(2022全国甲卷)已知抛物线焦点为，点过焦点做直线交抛物线于两点，当轴时，. （1）求抛物线方程 （2）若直线与抛物线的另一个交点分别为.若直线，的倾斜角为，当最大时，求的方程 学科网（北京）股份有限公司 $$