2025年九年级中考数学选择题复习《数与式之分式与二次根式》

解析答案 单选题： 1．下列各式 2� � ， �� �+� ， 2�−� 3 ， 2�−� � 中，分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解： 2� � ， �� �+� ， 2�−� � 是分式． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式，熟知分母中含有未知数的式子是分式是解题的关键． 2．已知� + 1� = 4，则� 2 + 1�2 =（ ） A．12 B．14 C．8 D．16 【解答】解：方程两侧同时平方得： ∴(� + 1� ) 2 = 42 = 16， ∴�2 + 1�2 + 2 = 16， ∴�2 + 1�2 = 14， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行计算是关键． 3．若分式 �−1 3�+6 有意义，则 x应满足的条件是（ ） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2 【解答】解：分式 �−1 3�+6 有意义， ∴3x+6≠0， 解得：x≠﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题 的关键． 4．若 2＜a＜3，则 (2 − �)2 − (3 − �)2 =（ ） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 【解答】解：因为 2＜a＜3， 所以 (2 − �)2 − (3 − �)2 =a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5， 故选：D． 【点评】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答． 5．若分式 �2−4 �+2 的值为零，则 x的值为（ ） A．x＝±2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±4 【解答】解：根据题意得： �2 − 4 = 0 � + 2 ≠ 0 ， 解得：x＝2． 故答案为：B． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于 零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 6．把分式 2�−3� �+� 中的 x，y的值都扩大为原来的 4倍，则分式的值（ ） A．扩大为原来的 4倍 B．扩大为原来的 8倍 C．缩小为原来的 1 4 D．不变 【解答】解：把分式 2�−3� �+� 中的 x，y的值都扩大为原来的 4倍可得 4(2�−3�) 4(�+�) = 2�−3� �+� ， 即该分式的值不变， 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 7．二次根式的除法则 � � = � � 成立的条件是（ ） A．a＞0，b＞0 B．a≥0，b＞0 C．a≥0，b≥0 D．a≤0，b＜0 【解答】解：二次根式的除法则 � � = � � 成立的条件是 a≥0，b＞0． 故选：B． 【点评】此题考查了分母有理化，分式的乘除法，二次根式有意义的条件，二次根式的 性质与化简，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．下列约分结果正确的是（ ） A． �+� �+� = � � B． �2−�2 �−� = � − � C． −�2+2�−1 �−1 =− � + 1 D． 6�� 3�2�3 = 2��2 【解答】解：A、 �+� �+� 是最简分式，不能化简，不符合题意． B、原式＝x+y，不符合题意． C、原式＝﹣m+1，符合题意． D、原式= 2��2，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的， 必须先分解因式． 9．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为 32和 2，则图中阴影部分的面积 为（ ） A．3 2 B．4 2 C．6 D．8 【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为 32 =4 2，小正方形的边长为 2， ∴题图中阴影部分的面积为 2（4 2 − 2）＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求 出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 10．若将分式 3�2 �2−�2 与分式 � 2(�−�) 通分后，分式 � 2(�−�) 的分母变为 2（x﹣y）（x+y），则分式 3�2 �2−�2 的分子应变为（ ） A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y） 【解答】解：∵ � 2(�−�) = �(�+�) 2(�−�)(�+�) ， ∴ 3�2 �2−�2 = 3�2 (�−�)(�+�) = 6�2 2(�−�)(�+�) ， ∴分式 3�2 �2−�2 的分子应变为 6x2， 故选：A． 【点评】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分 母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 11．下列是最简分式的是（ ） A． 9��2 3�2� B． 4 25� C． �+6 �2−36 D． 9�2+6��+�2 3�+� 【解答】解：A、 9��2 3�2� = 3��⋅3� 3��⋅� = 3� � ，不是最简分式，不符合题意； B、 4 25� 是最简分式，符合题意； C、 �+6 �2−36 = �+6 (�+6)(�−6) = 1 �−6 ，不是最简分式，不符合题意； D、 9�2+6��+�2 3�+� = (3�+�)2 3�+� =3a+b，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 12．实数 a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|� + �| − (� − �)2的结果是（ ） A．﹣a+c B．a+c C．﹣a﹣c D．a+2b+c 【解答】解：由数轴可知：a+b＜0，b﹣c＜0， ∴|� + �| − (� − �)2 ＝﹣a﹣b﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣b﹣c+b ＝﹣a﹣c， 故选：C． 【点评】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识点是关键． 13．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把 题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规 则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【解答】解：因为( 12 + 118) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 1 18 ÷ 3， 所以小明没有出现错误． 因为 12 ÷ 3 + 118÷ 3 = 4 + 1 18 × 1 3 = 4 + 1 54， 所以小丽出现错误． 因为 4 + 16 = 2 + 1×6 6×6 = 2 + 6 6 ， 所以小红出现错误． 因为 2 + 136 = 2 + 1 6 = 2 1 6， 所以小亮没有出现错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的运算法则是解题的关键． 14．分式 �+1 �2−� ， 2 �2−1 ，− ��2+2�+1的最简公分母是（ ） A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2 【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2， ∴分式 �+1 �2−� ， 2 �2−1 ，− ��2+2�+1的最简公分母是 x（x﹣1）（x+1） 2． 故选：C． 【点评】本题考查了最简公分母，能熟练掌握找最简公分母的方法（系数找各个分母系 数的最小公倍数，相同字母找最高次幂）是解此题的关键． 15．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 2和 4，则阴影部分的面积为（ ） A．2 + 2 B．2 2 − 2 C．4 − 2 D．2 − 2 【解答】解：由条件可知：阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即：2 × (2 + 2) − 2 − 4 = 2 2 − 2， 故选：B． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正 方形的面积求出边长． 16．下列化简结果正确的是（ ） A．(�2 − ��) ÷ �−��� = � 2� B． �2−�2 �−� = � − � C． −�2+2�−1 �−1 =− � + 1 D． �+� �+� = � � 【解答】解：A、原式＝﹣a（a﹣b）• �� �−� =−a2b，不符合题意； B、原式= (�+�)(�−�)�−� =x+y，不符合题意； C、原式=− (�−1) 2 �−1 =−（m﹣1）＝﹣m+1，符合题意； D、原式不能约分，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了分式的乘除法，以及分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题 的关键． 17．计算 1 �−1 − � �−1 的结果是（ ） A．﹣1 B．2 C． � �−1 D． 1+� �−1 【解答】解： 1 �−1 − � �−1 = 1−��−1 = −(�−1)�−1 ＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式加减法则和 分式的约分． 18．化简(−2� 2 3� ) 2的结果是（ ） A．− 4� 2 9�2 B． 4�2 9�2 C．− 4� 4 9�2 D． 4�4 9�2 【解答】解：依题意，(−2� 2 3� ) 2 = 4� 4 9�2， 故选：D． 【点评】本题考查了分式乘方运算，熟练掌握运算法则是关键． 19． 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图 ①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 21cm，宽为 4cm）的盒子底部（如图②）， 盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ） A．4 21cm B．16cm C．2（ 21 +4）cm D．4（ 21 −4）cm 【解答】解：设小长方形卡片的长为 x，宽为 y， 根据题意得：x+2y= 21， 则图②中两块阴影部分周长和是 2 21 +2（4﹣2y）+2（4﹣x）＝2 21 +4×4﹣4y﹣2x ＝2 21 +16﹣2（x+2y）＝2 21 +16﹣2 21 =16（cm）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合 图形得出答案是解题的关键． 20．已知 abc＜0，a+b+c＝0．则代数式 �+� |�| + �+� |�| + �+� |�| 的值为（ ） A．﹣1 B．3 C．﹣1或 3 D．﹣1或 1或 3 【解答】解：当 a＞0时， � |�| = 1，当 a＜0时， � |�| =− 1， ∴a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b， ∴ �+� |�| + �+� |�| + �+� |�| =− � |�| − � |�| − � |�| ， 由于 abc＜0，a+b+c＝0，因此有， ①a＞0，b＞0，c＜0， �+� |�| + �+� |�| + �+� |�| =−1﹣1+1＝﹣1； ②a＞0，b＜0，c＞0， �+� |�| + �+� |�| + �+� |�| =−1﹣1+1＝﹣1； ③a＜0，b＞0，c＞0， �+� |�| + �+� |�| + �+� |�| =1﹣1﹣1＝﹣1； 故选：A． 【点评】本题考查绝对值，理解当 a＞0时， � |�| = 1，当 a＜0时， � |�| =− 1是正确解答 的前提． 21．若（x+2）0无意义，则 x3是（ ） A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8 【解答】解：∵（x+2）0无意义， ∴x+2＝0， 解得：x＝﹣2， ∴x3＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：B． 【点评】本题主要考查了零指数幂，解答本题的关键是熟练掌握零指数幂无意义的条件． 22．已知 a＝﹣3﹣2，� = ( − 13 ) −2，� = ( − 13 ) −0，则 a、b、c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【解答】解：∵a＝﹣3﹣2，� = ( − 13 ) −2，� = ( − 13 ) −0， ∴� =− 19，b＝9，c＝1， ∴b＞c＞a， 故选：D． 【点评】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识点是关键． 23．一支部队排成 a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用 t1分钟追上 了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了 t2分钟．如果他从最前头跑步回到 队尾，那么他需要的时间是（ ） A． �1�2 �1+�2 分钟 B． 2�1�2 �1+�2 分钟 C． �1�2 2�1+�2 分钟 D． �1�2 �1+2�2 分钟 【解答】解：由题意列代数式得： � � �1 + ��2 + ��2 ，化简得： �1�2 2�1+�2 ． 故选：C． 【点评】本题是考查学生的列代数式的能力和化简代数式的能力． 24．不改变分式 2−�2+� −2�3+�−3 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ） A． �2+�+2 2�3+�−3 B． �2−�+2 2�3+�−3 C． �2+�−2 2�3−�+3 D． �2−�−2 2�3−�+3 【解答】解：把分子和分母同时乘﹣1得： 2−�2+� −2�3+�−3 = −2+�2−� 2�3−�+3 ， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键． 25．分式 4�+3� 4� ， �2−1 �4−1 ， �2−��+�2 �+� ， �2+2�� ��−2�2 中，最简分式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解： �2−1 �4−1 分子分母有公因式 x2﹣1， 4�+3� 4� ； �2−��+�2 �+� ； �2+2�� ��−2�2 这三个是最简分式． 故选：C． 【点评】最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式． 26．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（ 4−�2 3�2−2�� ）÷ ， 通过查看答案，答案为 �+2 3�−2� ，则被污染的代数式为（ ） A． 2 �+1 B． �−2 � C． 2−� � D． �+1 2�−1 【解答】解：由题意得： 4−�2 3�2−2�� ÷ �+2 3�−2� = (2+�)(2−�)�(3�−2�) ⋅ 3�−2� �+2 = 2−�� ， ∴被污染的代数式为 2−� � ， 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的乘除，解题关键是熟练掌握分式的乘除法则和几种常见 的分解因式的方法． 27．定义新运算 f（x）= �+1� ，例如 f（2）= 2+1 2 = 3 2，�( 1 2 ) = 1 2+1 1 2 =3，下列说法正确的 有（ ） ①f（1）•f（2）•f（3）•⋯•f（10）＝10； ②f（1）+f（ 1 2 ）+f（ 1 3 ）+⋯f（ 1 10 ）＝65； ③当 f（a）＝﹣1，f（b）＝3时，（a+b）2023＝﹣1． A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①∵�(�) = �+1� ， ∴�(1) = 1+11 = 2， �(2) = 2+12 = 3 2， …， �(10) = 10+110 = 11 10， ∴f（1）•f（2）•f（3）•⋯•f（10） = 2 × 32 × 4 3 × . . . × 11 10 = 11，故①不正确； ②∵�(�) = �+1� ， ∴�(1) = 1+11 = 2， �( 12 ) = 1 2+1 1 2 = 3， …， �( 110 ) = 1 10+1 1 10 = 11， ∴�(1) + �( 12 ) + �( 1 3 ) + ⋯�( 1 10 ) ＝2+3+4+...+11＝65，故②正确； ③∵f（a）＝﹣1， ∴ �+1 � =− 1， ∴� =− 12． ∵f（b）＝3， ∴ �+1 � = 3， ∴� = 12． ∴(� + �)2023 = ( − 12+ 1 2 ) 2023 = 0，故③不正确． 故选：B． 【点评】本题考查了新定义，有理数的混合运算、代数式求值，熟练掌握以上知识点是 关键． 28．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． � B． � + 2 C． �2 − 2 D． �2 【解答】解：A、当 x＜0时 �没有意义，故此选项不符合题意； B、当 x+2＜0时，即 x＜﹣2时 � + 2没有意义，故此选项不符合题意； C、当 x2﹣2＜0时， �2 − 2没有意义，故此选项不符合题意； D、无论 x取任何实数都有 x2≥0，即 �2有意义，一定是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 29．若二次根式 � + 3有意义，则实数 x的取值范围是（ ） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥0 D．x＞0 【解答】解：由题可知， x+3≥0， 解答 x≥﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件 是解题的关键． 30．下列各式为最简二次根式的是（ ） A． 5 B． 12 C． 12 D． 0.4 【解答】解：A、 5是最简二次根式，符合题意； B、 12 =2 3，不是最简二次根式，不符合题意； C、 12 = 2 2 ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 0.4 = 105 ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因 数或因式；熟练掌握知识点是解题的关键． 31．下列运算正确的是（ ） A． 2 + 5 = 7 B． 27 ÷ 3 = 3 C．2 2 × 4 2 = 8 2 D．3 2 − 2 2 = 1 【解答】解：A．∵ 2， 5不是同类二次根式，不能合并，∴此选项的计算错误，故此 选项不符合题意； B．∵ 27 ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9 = 3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； C．∵2 2 × 4 2 = 2 × 4 × 2 × 2 = 4 × 2 × 2 = 16，∴此选项的计算错误，故此选项不 符合题意； D．∵3 2 − 2 2 = 2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式的有关运算，解题关键是熟练掌握二次根式的加减乘 除法则． 32．在下列计算中，正确的是（ ） A． 6 + 7 = 13 B． 27 + 2 3 = 5 3 C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1 【解答】解：A、 6与 7不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、 27 + 2 3 = 3 3 + 2 3 = 5 3，正确，符合题意； C、（2a）3＝8a3，原计算错误，不符合题意； D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方法则，完全平方公式，熟 练掌握知识点是解题的关键． 33．化简(1 + 2)( 2 − 1)2，结果正确的是（ ） A．1 B．1 − 2 C． 2 − 1 D．1 + 2 【解答】解：原式= ( 2 + 1)( 2 − 1)( 2 − 1) = (2 − 1) × ( 2 − 1) = 2 − 1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法 法则和乘法公式是解决问题的关键． 34．若� = 2 − 2024，则代数式 x2﹣4x+4的值为（ ） A．﹣2024 B．﹣2 C．2 D．2024 【解答】解：∵� = 2 − 2024， ∴x2﹣4x+4， ＝（x﹣2）2 = (2 − 2024 − 2)2 = ( − 2024)2 ＝2024 故选：D． 【点评】本题考查了考查了二次根式的化简求值，解题的关键是学会应用公式解决问题． 35．如果 12�是一个正整数，那么 x可以取到的最小正整数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：将 12�化简后得 2 3�， ∴x可取的最小正整数的值为 3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是正确进行化简． 36．下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是（ ） 小明： 3 × 6 = 3 × 6 = 3 × 3 × 2 = 32 × 2 = 3 2； 小亮：2 5 × 10 = 2 5 × 5 × 2 = 2 5 × 5 × 2 = 2( 5)2 × 2 = 10 2． A．只有小明的做法正确 B．两人的做法都不正确 C．小明在计算时用到了 � ⋅ � = ��（a≥0，b≥0） D．小亮在计算时用到了 �2 = �(� ≥ 0) 【解答】解：小明： 3 × 6 = 3 × 6 = 3 × 3 × 2 = 32 × 2 = 3 2，做法是正确的， 计算时用到了 � ⋅ � = ��，故 A不符合题意，C符合题意； 小亮：2 5 × 10 = 2 5 × 5 × 2 = 2 5 × 5 × 2 = 2( 5)2 × 2 = 10 2，做法是正 确的，( �)2 = �(� ≥ 0)，故 B不符合题意，D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 37．已知� = 3 + 1，� = 3 − 1，则 m2+2mn+n2的值为（ ） A．2 3 B．12 C．10 D．6 【解答】解：∵� = 3 + 1，� = 3 − 1， ∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（2 3）2＝12． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，掌握完全平方公式（m+n）2 ＝m2+2mn+n2是解题的关键． 38．二次根式 ��3、 �2 + 1、 �5、 3 2 中最简二次根式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解： ��3 = � ��、 �5 = 5� 5 ， 即最简二次根式有 �2 + 1和 3 2 共 2个， 故选：B． 【点评】本题考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：① 被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 39．化简 3 5− 2 时，甲的解法是：原式= 3( 5+ 2) ( 5− 2)( 5+ 2) = 5 + 2；乙的解法是：原式 = ( 5− 2)( 5+ 2) ( 5− 2) = 5 + 2，以下判断正确的是（ ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【解答】解：甲根据分式的基本性质，给分子分母同乘以 5 + 2，进行约分得出结果． 乙是先将分子进行因式分解，再与分母进行约分得出结果． 综上可知甲、乙都正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式等知识，解题的关键是灵活应用所 学知识解决问题． 40．已知� = 5 + 2，� = 2 − 5，则 a2024b2023的值为（ ） A． 5 + 2 B．− 5 − 2 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵� = 5 + 2，� = 2 − 5， ∴ab＝（ 5 +2）× (2 − 5）＝4﹣5＝﹣1； ∴�2024�2023 = (��)2023 ⋅ � = ( − 1)2023 × ( 5 + 2) =− 5 − 2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的乘法以及积的乘方与同 底数幂的乘法是关键． 41．设 x＜0，x− 1� = 5，则代数式 �10+�6+�4+1 �10+�8+�2+1 的值（ ） A．1 B． 42 47 C． 41 47 D． 1 3 【解答】解：∵x− 1� = 5， ∴（x− 1�） 2＝5， ∴x2+ 1�2 =7， ∴（x+ 1�） 2＝x2+2+ 1�2 =9， ∵x＜0， ∴x+ 1� =−3， ∴x2+1＝﹣3x， ∴x4+1＝7x2， ∵（x2+ 1�2） 2＝x4+2+ 1�4， ∴x4+ 1�4 =47， ∴x8+1＝47x4， ∵x3+ 1�3 =（x+ 1 �）（x 2﹣1+ 1�2）， ∴x3+ 1�3 =−18， ∴x6+1＝﹣18x3， ∴原式= � 6(�4+1)+(�4+1) �8(�2+1)+(�2+1) = (� 4+1)(�6+1) (�2+1)(�8+1) = 7� 2(�6+1) −3�(�8+1) = 7� 2⋅(−18�3) −3�⋅47�4 = 4247 故选：B． 【点评】本题考查学生的整体的思想，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及立方和 公式，本题属于难题． 42．已知代数式 � �+1 ，第一次操作将 � �+1 作为新的 x代入 � �+1 中化简后得到新的式子记为�1 = � 2�+1，第二次操作将 � 2�+1 作为新的 x代入 F1中化简后得到新的式子记为�2 = � 4�+1，第 三次操作将 � 4�+1 作为新的 x代入 F2中化简后得到新的式子 F3…以此类推重复上述操作， 以下结论中正确的有（ ） ①�3 = � 6�+1； ②若 1 2 ＜�＜1，则 87＜ 1�2 + 1�4 + 1�6 ＜90； ③不存在整数 x使得 �2 �5 的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：由题意，∵�2 = � 4�+1， ∴F3= � 4�+1 4� 4�+1+1 = �8�+1，故①错误． ∴F4= � 16�+1，F5= � 32�+1，F6= � 64�+1． ∴ 1 �2 + 1 �4 + 1 �6 = 4�+1 � + 16�+1 � + 64�+1 � = 84�+3 � =84+ 3�． ∵ 1 2 ＜x＜1， ∴1＜ 1�＜2． ∴87＜84+ 3�＜90，即 87＜ 1 �2 + 1�4 + 1�6 ＜90，故②正确． ∵ �2 �5 = � 4�+1 � 32�+1 = 32�+1 4�+1 = 8(4�+1)−7 4�+1 =8− 74�+1， 又若整数 x使得 �2 �5 为整数， ∴4x+1＝﹣7． ∴此时， �2 �5 为 15． ∴不存在整数 x使得 �2 �5 的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共 2个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能读懂题意，准确计算是 关键． 43．估计 4 2 × 7 + 1的值在（ ） A．14到 14.5之间 B．14.5到 15之间 C．15到 15.5之间 D．15.5到 16之间 【解答】解：4 2 × 7 + 1 = 4 14 + 1， ∵4 14 + 1 = 224 + 1，14.5 = 210.25＜ 224＜ 225 = 15， 则 15.5＜ 224 + 1＜16， 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，解答本题的关键要掌握用 有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 44．若关于 x的不等式组 3�−1 2 ＜� + 2 2(� + 1) ≥− � + � 有且仅有 3 个整数解，且使得分式 4�+20 �2−25 的值 是一个整数，则满足条件的所有整数 a的和为（ ） A．6 B．13 C．15 D．21 【解答】解：解不等式组，得 �−2 3 ≤x＜5， ∵不等式组有且仅有 3个整数解， ∴1＜ �−23 ≤2， ∴5＜a≤8， ∵a为整数， ∴a＝6，7，8． 4�+20 �2−25 = 4 �−5 ， 当 a＝6时， 4 �−5 = 4 6−5 =4； 当 a＝7时， 4 �−5 = 4 7−5 =2； 当 a＝8时， 4 �−5 = 4 8−5 = 4 3 （舍去）， 6+7＝13， ∴满足条件的所有整数 a的和为 13． 故选：B． 【点评】本题考查分式的值、一元一次不等式组的整数解，掌握分式一元一次不等式组 的解法是解题的关键． 45．化简( 3 + 2)2024 ⋅ ( 3 − 2)2023的结果是（ ） A．− 3 − 2 B． 3 − 2 C．− 3 + 2 D． 3 + 2 【解答】解：原式= ( 3 + 2) ⋅ ( 3 + 2)2023 ⋅ ( 3 − 2)2023 = ( 3 + 2) ⋅ [( 3 + 2)( 3 − 2)]2023 = ( 3 + 2) ⋅ (3 − 4)2023 = ( 3 + 2) ⋅ ( − 1)2023 =− 3 − 2， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆 运算，掌握运算法则是关键． 46．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若 x为正整数，求 4�−2 �2−1 − 1 �−1 的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是 （ ） 甲：（把原式通分）原式= 4�−2(�+1)(�−1) − �+1 (�+1)(�−1) = (4�−2)−(�+1) (�+1)(�−1) ． 乙：（得到化简结果）= 3(�−1)(�+1)(�−1) = 3 �+1． 丙：（确定 x的值）因为 x为正整数，所以 x有最小值 1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值= 31+1 = 3 2． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：原式= 4�−2(�+1)(�−1) − �+1 (�+1)(�−1) = (4�−2)−(�+1)(�+1)(�−1) ，故甲正确， = 3(�−1)(�+1)(�−1) = 3�+1，故乙正确， ∵分式要意义， ∴（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x≠1或 x≠﹣1， ∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意； ∵x为正整数，且 x≠1， ∴x的最小值为 2， ∴原式有最大值，最大值= 32+1 = 1， 故选：C． 【点评】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握分式的性质，分式有意义的条件是解 题的关键． 47．若实数 a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 (� − 2)2 − |� − 1|的结果是（ ） A．﹣1 B．1 C．3﹣2a D．2a﹣3 【解答】解：由图知：1＜a＜2， ∴a﹣2＜0，a﹣1＞0， ∴原式＝2﹣a﹣（a﹣1） ＝2﹣a﹣a+1 ＝3﹣2a． 故选：C． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴、绝对值，掌握二次根式的基本 性质是解题关键． 48．对于分式� = ��，我们把分式�′ = 1−� 1+�叫做 P的伴随分式．若分式�1 = �−1 � ，分式 P2 是 P1的伴随分式，分式 P3是 P2的伴随分式，分式 P4是 P3的伴随分式，…以此类推， 则分式 P2025等于（ ） A． �−1 � B． 1−� � C． 1−� 2−� D． �−1 2−� 【解答】解：∵P1= �−1 � ， ∴P2= 1−� 1+�−1 = 1−� � ， ∴P3= 1−� 1+1−� = 1−� 2−�， ∴P4= 1−2+� 1+1−� = �−1 2−�， ∴P5= 1−2+�1+�−1 = �−1 � ， ∴P5＝P1，P6＝P2，......， ∴4个一循环， ∵2025÷4＝506...1， ∴P2025＝P1= �−1 � ． 故选：A． 【点评】本题考查了分式的定义，规律型：数字的变化，理解伴随分式的求法，找出规 律是解题的关键． 49．已知两个二次根式： � + 1， �（x≥0），将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将 � + 1与 �的和记为 M1，差记为 N1； 第二次操作：将 M1与 N1的和记为 M2，差记为 N2； 第三次操作：将 M2与 N2的和记为 M3，差记为 N3； ⋯； 以此类推． 下列说法： ①当 x＝1时，N2+N4+N6+N8＝30； ②M12＝64 � + 1； ③M2n+1•N2n+1＝22n（n为自然数）． 其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意得： �1 = � + 1 + �，�1 = � + 1 − �； �2 = � + 1 + � + � + 1 − � = 2 � + 1，�2 = � + 1 + � − � + 1 + � = 2 �， �3 = �2 +�2 = 2 � + 1 + 2 �，�2 = 2 � + 1 − 2 �； �4 = 4 � + 1，�4 = 4 �； �5 = 4 � + 1 + 4 �，�5 = 4 � + 1 − 4 �； �6 = 8 � + 1，�6 = 8 �； �7 = 8 � + 1 + 8 �，�7 = 8 � + 1 − 8 �； �8 = 16 � + 1，�8 = 16 �； �9 = 16 � + 1 + 16 �，�9 = 16 � + 1 − 16 �； �10 = 32 � + 1，�10 = 32 �； �11 = 32 � + 1 + 32 �，�11 = 32 � + 1 − 32 �， �12 = 64 � + 1，�12 = 64 � ∴当 x＝1时， N2+N4+N6+N8 = 2 � + 4 � + 8 � + 16 � = 30 � = 30 1 ＝30， ∴①的说法正确； 由以上计算可知：M12＝64 � + 1， ∴②的说法正确； ∵�3 ⋅ �3 = (2 � + 1 + 2 �)(2 � + 1 − 2 �) = 4(� + 1) − 4� = 4 = 22； �5 ⋅ �5 = (4 � + 1 + 4 �)(4 � + 1 − 4 �) = 16(� + 1) − 16� = 16 = 24； �7 ⋅ �7 = (8 � + 1 + 8 �)(8 � + 1 − 8 �) = 64(� + 1) − 64� = 64 = 26； … ∵�2�+1 ⋅ �2�+1 = 22� ∴③的说法正确， 综上可知：正确的个数为 3个， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解题意，找出规律，进行 解答即可． 50．二次根式除法可以这样解：如 2+ 3 2− 3 = (2+ 3)(2+ 3) (2− 3)(2+ 3) =7+4 3．像这样通过分子、分 母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下 列选项正确的是（ ） ①若 a是 2的小数部分，则 3 � 的值为 2 +1； ②比较两个二次根式的大小 1 6−2 ＞ 1 5− 3 ； ③计算 2 3+ 3 + 2 5 3+3 5 + 2 7 5+5 7 + ⋯ + 2 99 97+97 99 =1− 33； ④对于式子 1 5− 2 ，对它的分子分母同时乘以 5 − 2或 5或 7﹣2 10，均不能对其分 母有理化； ⑤设实数 x，y满足（x+ �2 + 2022）（y+ �2 + 2022）＝2022，则（x+y）2+2022＝2022； ⑥若 x= �+1− � �+1+ � ，y= 1�，且 19x 2+123xy+19y2＝1985，则正整数 n＝2． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【解答】解：①若 a是 2的小数部分，则 3 � = 3 2−1 = 3( 2+1) ( 2−1)( 2+1) =3 2 +3， 故①错误，不符合题意； ②∵ 1 6−2 = 6+2 ( 6−2)( 6+2) = 6+2 2 ， 1 5− 3 = 5+ 3 2 ， 6 + 2＞ 5 + 3， ∴ 1 6−2 ＞ 1 5− 3 ， 故②正确，符合题意； ③ 2 3+ 3 + 2 5 3+3 5 + 2 7 5+5 7 + ⋯ + 2 99 97+97 99 = 3− 33 + 5 3−3 5 15 + 7 5−5 7 35 +...+ 99 97−97 99 9603 ＝1− 33 + 3 3 − 5 5 + 5 5 − 7 7 +...+ 97 97 − 99 99 ＝1− 9999 ＝1− 1133 ， 故③错误； ④ 1 5− 2 = 5− 2 ( 5− 2)( 5− 2) = 5− 2 7−2 10 ， 1 5− 2 = 5 ( 5− 2)× 5 = 5 5− 10 ， 1 5− 2 = 7−2 10 ( 5− 2)(7−2 10) = 7−2 10 15 5−17 2 ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确； ⑤∵（x+ �2 + 2022）（y+ �2 + 2022）＝2022， ∴（x+ �2 + 2022）= 2022 �+ �2+2022 ， ∴x+ �2 + 2022 = �2 + 2022 −y， 同理 y+ �2 + 2022 = �2 + 2022 −x， 两式相加得，x+y＝0， ∴（x+y）2+2022＝2022， 故⑤正确； ⑥x= �+1− � �+1+ � = ( �+1− �) 2 ( �+1+ �)( �+1− �) =2n+1﹣2 �(� + 1)， y= 1� = �+1+ � �+1− � =2n+1+2 �(� + 1)， ∴x+y＝4n+2，xy＝1，x＞0，y＞0， ∴19x2+123+19y2＝1985， ∴x2+y2＝98， ∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝100， ∴x+y＝10， ∴n＝2， 故⑥正确； 故选：C． 【点评】本题考查了分母有理化，也是阅读材料问题，此类问题要认真阅读材料，理解材料 中的知识：分母有理化．解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化。 中考数学第一轮复习 选择题练习 数与式之分式与二次根式 单选题： 1．下列各式，，，中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知，则（　　） A．12 B．14 C．8 D．16 3．若分式有意义，则x应满足的条件是（　　） A．x＝1 B．x≠1 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2 4．若2＜a＜3，则（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5 5．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．x＝±2 B．x＝2 C．x＝﹣2 D．x＝±4 6．把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 7．二次根式的除法则成立的条件是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a≥0，b＞0 C．a≥0，b≥0 D．a≤0，b＜0 8．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C．6 D．8 10．若将分式与分式通分后，分式的分母变为2（x﹣y）（x+y），则分式的分子应变为（　　） A．6x2 B．x（x+y） C．x2 D．3x2（x+y） 11．下列是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 12．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣a+c B．a+c C．﹣a﹣c D．a+2b+c 13．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 14．分式，，的最简公分母是（　　） A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2 15．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 16．下列化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 17．计算的结果是（　　） A．﹣1 B．2 C． D． 18．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 19．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．4cm B．16cm C．2（4）cm D．4（4）cm 20．已知abc＜0，a+b+c＝0．则代数式的值为（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．﹣1或1或3 21．若（x+2）0无意义，则x3是（　　） A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8 22．已知a＝﹣3﹣2，，，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 23．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 24．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（　　） A． B． C． D． 25．分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（）÷，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为（　　） A． B． C． D． 27．定义新运算f（x），例如f（2）3，下列说法正确的有（　　） ①f（1）•f（2）•f（3）•⋯•f（10）＝10； ②f（1）+f（）+f（）+⋯f（）＝65； ③当f（a）＝﹣1，f（b）＝3时，（a+b）2023＝﹣1． A．0 B．1 C．2 D．3 28．下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 29．若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥0 D．x＞0 30．下列各式为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 31．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 32．在下列计算中，正确的是（　　） A． B． C．（2a）3＝6a3 D．（a+1）2＝a2+1 33．化简，结果正确的是（　　） A．1 B． C． D． 34．若，则代数式x2﹣4x+4的值为（　　） A．﹣2024 B．﹣2 C．2 D．2024 35．如果是一个正整数，那么x可以取到的最小正整数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 36．下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是（　　） 小明：； 小亮：． A．只有小明的做法正确 B．两人的做法都不正确 C．小明在计算时用到了（a≥0，b≥0） D．小亮在计算时用到了 37．已知，，则m2+2mn+n2的值为（　　） A． B．12 C．10 D．6 38．二次根式、、、中最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．化简时，甲的解法是：原式；乙的解法是：原式，以下判断正确的是（　　） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 40．已知，，则a2024b2023的值为（　　） A． B． C．1 D．﹣1 41．设x＜0，x，则代数式的值（　　） A．1 B． C． D． 42．已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 43．估计的值在（　　） A．14到14.5之间 B．14.5到15之间 C．15到15.5之间 D．15.5到16之间 44．若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且使得分式的值是一个整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A．6 B．13 C．15 D．21 45．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 46．老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若x为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（　　） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定x的值）因为x为正整数，所以x有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 47．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣1 B．1 C．3﹣2a D．2a﹣3 48．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…以此类推，则分式P2025等于（　　） A． B． C． D． 49．已知两个二次根式：（x≥0），将这两个二次根式进行如下操作： 第一次操作：将与的和记为M1，差记为N1； 第二次操作：将M1与N1的和记为M2，差记为N2； 第三次操作：将M2与N2的和记为M3，差记为N3； ⋯； 以此类推． 下列说法： ①当x＝1时，N2+N4+N6+N8＝30； ②M12＝64； ③M2n+1•N2n+1＝22n（n为自然数）． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 50．二次根式除法可以这样解：如7+4．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　） ①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算1； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或7﹣2，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足（x）（y）＝2022，则（x+y）2+2022＝2022； ⑥若x，y，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n＝2． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$