精品解析：山东省滨州市无棣县2024-2025学年上学期期末学业质量检测九年级数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B. 射击运动员射击一次，命中环 C. 掷一次骰子，向上一面的点数是 D. 方程是一元二次方程 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键．利用事件的分类对选项逐一判断即可． 【详解】解：A中，从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球是必然事件，符合题意； B中，射击运动员射击一次，命中环是随机事件，不符合题意； C中，掷一次骰子，向上一面的点数是是随机事件，不符合题意； D中，方程是一元二次方程的前提条件是，故是随机事件，不符合题意； 故选：A． 2. 下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，求出各个选项图形的最小旋转角度，即可做出判断． 【详解】解：A、正三角形的最小旋转角度为，绕其中心旋转后，能和自身重合，不符合题意； B、正方形的最小旋转角度为，绕其中心旋转后，能和自身重合，不符合题意； C、正六边形的最小旋转角度为，绕其中心旋转后，能和自身重合，不符合题意； D、正八边形的最小旋转角度为，绕其中心旋转后，能和自身重合，符合题意． 故选：D． 3. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 本题考查了三视图的意义，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据俯视图的意义，得． 故选：C． 4. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 5. 如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，求正弦，先根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，进而根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：根据网格可得： ，，, ， ， 是直角三角形， ， 故选: C． 6. 如图，矩形顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设点A的坐标为，．则． ∴点B的纵坐标为． ∴点B的横坐标为． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 7. 如图，四边形内接于，，那么它的外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出再根据圆内接四边形的性质、邻补角的概念计算即可． 【详解】解： ， ∵四边形内接于, ， ， ， 故答案为： 8. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： …… …… …… …… 下列结论： ①；②当时，函数有最小值，最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点，点代入解析式求出、即可③；利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线过点、、， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式是， ∴， 故①正确； ∵， ∴当时，y有最小值， 故②错误； 若点，点在二次函数图象上， 则，， ∴， 故③错误； 由， 即， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故④正确； 综上，正确的结论是：①④， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（每小题3分，共计24分） 9. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则_________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡比的定义，掌握坡比的定义是解题的关键． 根据坡比的定义，代入数据即可解答． 【详解】解：迎水坡的坡比为，米， ，即， 解得：（米）， 故答案为：． 10. 一个不透明布箱子里只装有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则m的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键．确定红球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为，列式求解即可． 【详解】解：有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解，且原分式方程有意义， ∴m的值为9， 故答案为：9． 11. 抛物线与x轴只有一个交点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，根据题意可得，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，点、、在一条直线上．若，则旋转角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了旋转的定义和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的有关性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，得出，再根据三角形内角和定理求出，即为旋转角． 【详解】解：根据旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴旋转角为， 故答案为：． 13. 如图点C为弦上一点，连接，过C作，交圆O于点D，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，延长交圆O于点E，连接，，则有，然后证明，即可得到，代入数值解题即可． 【详解】解：延长交圆O于点E，连接，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得(负值舍去)， 故答案为：． 14. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，铅球落地时，，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 15. 如图在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当时，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算， 掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 16. 海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是______m．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．设交距水平地面的水平线于点，根据，求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交距水平地面的水平线于点，得矩形 ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共计72分） 17. （1）如图，在正六边形中，连接，，若的面积为，求正六边形的面积； （2）如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，则可得到，然后根据解题即可； （2）过点作于点，过点作于点，设，可以得到，然后根据平行线分线段成比例得到，即可得到，，然后过点作交于点H，得到，解题即可． 【详解】解：（1）取的中点，连接，则点是正六边形的外接圆圆心， ∵的面积为， ∴， ∵是正六边形， ∴； （2）过点作于点，过点作于点，设， 则，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点作交于点H， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正六边形的性质，三角形中线的性质，平行线分线段成比例和三线合一，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 18. （1）计算：； （2）如图，一组等距的平行线上有一个半圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C，D是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图，作出的角平分线．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算和垂径定理、圆周角定理的运用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，化简计算即可； （2）取弦的中点，连接并延长交圆于点，连接，则即为所作的角平分线． 【详解】解：（1） ； （2）连接并延长交圆于点，连接，则即为所作的角平分线． 19. 在甲、乙两个不透明的箱子里，甲箱子中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙箱子中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，；现从甲箱子中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙箱子中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为． （1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； （2）试比较点落在函数的图象上的概率与点落在函数上的概率的大小． 【答案】（1）见解析 （2）点落在函数的图象上的概率与点落在函数上的概率的大 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意列表格，然后由表格求得所有等可能的结果； （2）由点在函数的图象上和在函数图象上的情况，利用概率公式求出概率并比较解题即可． 【小问1详解】 解：列表为： 【小问2详解】 解：根据表格可得共有9种等可能结果，其中落在函数的图象上的点为、，故概率为； 落在函数的图象上的点为，故概率为； ∴点落在函数的图象上的概率与点落在函数上的概率的大． 20. 如图，是等腰三角形，，，线段与相交于点，点在边上，线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合． （1）试判断与的数量关系； （2）若，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再证明，再证明 ，从而可得结论； （2）利用，，得出，再由，利用三角形外角性质求出，由，即可求出． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握这些定理和性质是解本题的关键． 21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）求每件商品降价元时与该商品每天的销售量之间的关系式； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大多少元？ 【答案】（1） （2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，熟练掌握“每每降价问题”的解题方法是解题的关键． （1）由销售单价每降低元，平均每天可多售出件，则销售量为件，进而可列出函数关系式，再利用每件商品利润不少于元，得出的取值范围； （2）设商店每天销售利润为元，由题意得每件商品的利润为元，列出的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， ∵每件商品利润不少于元， ∴， ∴， ∴与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设商店每天销售利润为元， 由题意得每件商品的利润为元， 依题意得：， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为元， 即当每件商品降价元时，该商店每天销售利润最大，最大利润为元． 22. 如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1）由得到，再由已知角相等及对顶角相等，得到，利用切线的判定方法判断即可得证； （2）在中，利用勾股定理求出的长，利用切线长定理得到，由即可求出的长，在中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为圆O的切线； 【小问2详解】 解：连接， 在中，， 根据勾股定理得：， ∵与都为圆的切线， ∴， ∴． ∵为圆O切线， ∴， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求m，n的值及一次函数的解析式； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数求出交点、点的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）观察图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方的自变量的取值范围即可； （3）先求出点和点的坐标， 设 根据得到的值，再根据点在反比例函数的图象上，代入求解即可. 【小问1详解】 解：∵点、的横、纵坐标分别为、， 点、在的图象上， 当时， ；当时， ， ， ∵点、在一次函数的图象上， ，解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图象可得，当的取值范围是或 时，； 【小问3详解】 解：存在， 对于，当时， ，当时，， ， 设， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ． 【点睛】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围． 24. 如图1，二次函数的图象与x轴交于点、点B；点C是该函数与y轴的交点，且，连接、． （1）求二次函数的表达式，并判断的形状； （2）若P是此二次函数图象上第一象限内的点（如图2），设P点横坐标为m，求当四边形的面积最大时m的值； 【答案】（1）二次函数的表达式为，是直角三角形 （2）时，最大 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，割补法求面积，用含m的函数关系式表示四边形的面积是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求直线的解析式，然后过点P作轴交于点Q，得到点P，Q的纵坐标，表示长，然后根据列函数关系式得到最值解题即可． 【小问1详解】 解：∵点C是该函数与y轴的交点，且， ∴点的坐标为， 把和代入得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为， 令，则， 解得，， ∴点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 过点P作轴交于点Q， 则点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大为． 25. 【概念】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 【应用】学了这个知识后，爱棣遇到这样一个问题：如图1，点G为的重心，连接，并延长分别交，于点E，F，连接，通过观察他发现，你帮他证明一下． 总结：这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：_____________________． 【拓展应用】在中，已知是边的中线，G是的重心，过G点的直线分别交、于点E、F．如图2，当时，求证：； 【综合提升】如图3，已知在中，，，直线经过该三角形重心，且，分别交边、于点G和点N，M是线段上的一个动点，过点M分别作，，，垂足分别为点D、E、F．设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式． 【答案】应用：见解析 拓展应用：见解析 综合提升： 【解析】 【分析】应用：根据重心得到是的中位线，然后证明即可解题； 拓展应用：根据重心的性质和平行线分线段成比例得到，即可解题； 综合提升：先根据重心的性质得到，，然后过点作于点，运用解直角三角形即可用表示和的长，再证明是矩形，即可得到函数关系式． 【详解】解： 应用：证明：∵点G为的重心， ∴点、是边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 结论是：三角形的重心到三角形的顶点的距离等于它到对边中点距离的倍． 拓展应用：证明：∵G是的重心，是边的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综合提升：解：过点作于点，则矩形， ∵直线经过该三角形重心，且， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴是矩形， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，矩形的判定和性质，解直角三角形，掌握重心的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期期末学业质量监测 九年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B. 射击运动员射击一次，命中环 C. 掷一次骰子，向上一面的点数是 D. 方程是一元二次方程 2. 下列正多边形中，绕其中心旋转后，能和自身重合的是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正六边形 D. 正八边形 3. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，四边形内接于，，那么它的外角的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： …… …… …… …… 下列结论： ①；②当时，函数有最小值，最小值为；③若点，点在二次函数图象上，则；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②④ C. ①④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（每小题3分，共计24分） 9. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则_________米． 10. 一个不透明布箱子里只装有m个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则m的值为______． 11 抛物线与x轴只有一个交点，则______． 12. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，点、、在一条直线上．若，则旋转角的度数是______． 13. 如图点C为弦上一点，连接，过C作，交圆O于点D，若，，则线段的长为______． 14. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为______米． 15. 如图在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当时，则阴影部分的面积为______． 16. 海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是______m．（参考数据：） 三、解答题（共计72分） 17. （1）如图，在正六边形中，连接，，若的面积为，求正六边形的面积； （2）如图，在中，点D、E分别在、上，，，、交于点F．若，，求的长． 18. （1）计算：； （2）如图，一组等距平行线上有一个半圆，点O为圆心，为直径，点A，B，C，D是半圆弧与平行线的交点．只用无刻度的直尺作图，作出的角平分线．（保留作图痕迹） 19. 在甲、乙两个不透明的箱子里，甲箱子中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3；乙箱子中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，；现从甲箱子中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙箱子中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为． （1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标； （2）试比较点落在函数的图象上的概率与点落在函数上的概率的大小． 20. 如图，是等腰三角形，，，线段与相交于点，点在边上，线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合． （1）试判断与的数量关系； （2）若，求的度数． 21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售、增加利润，该店采取了降价措施，在保障每件商品利润不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）求每件商品降价元时与该商品每天的销售量之间的关系式； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润最大？最大多少元？ 22. 如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A的坐标为，点B的坐标为，一次函数图象与x轴交于点C，与y轴交于点D． （1）求m，n的值及一次函数的解析式； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点M，使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，二次函数的图象与x轴交于点、点B；点C是该函数与y轴的交点，且，连接、． （1）求二次函数的表达式，并判断的形状； （2）若P是此二次函数图象上第一象限内的点（如图2），设P点横坐标为m，求当四边形的面积最大时m的值； 25. 【概念】三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 【应用】学了这个知识后，爱棣遇到这样一个问题：如图1，点G为的重心，连接，并延长分别交，于点E，F，连接，通过观察他发现，你帮他证明一下． 总结：这个发现非常重要，由以上的证明你得到的结论是：_____________________． 【拓展应用】在中，已知是边的中线，G是的重心，过G点的直线分别交、于点E、F．如图2，当时，求证：； 【综合提升】如图3，已知在中，，，直线经过该三角形重心，且，分别交边、于点G和点N，M是线段上的一个动点，过点M分别作，，，垂足分别为点D、E、F．设，四边形的面积为y，求y关于x的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$