第05讲 两角和与差的三角函数（知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第05讲 两角和与差的三角函数 目录 题型归纳 1 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 2 题型02 求15°等特殊角的余弦、正弦和正切 4 题型03 用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 6 题型04 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 8 题型05 用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 12 题型06 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 14 题型07 用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 16 分层练习 19 夯实基础 19 能力提升 25 知识点01两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 题型01已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【例1】（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】根据同角关系以及和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以，所以， 由可得， 故， 故选：A 【变式1】（22-23高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】用余弦和角公式展开，代入即可. 【详解】因为在中，，，则，. 故选：D 【变式2】（21-22高一下·上海闵行·期中）已知，且，则 . 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由已知求出，由和的余弦公式可求出. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β且小正方形与大正方形面积之比为1︰25，求的值． 【答案】/0.96 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】设大的正方形边长为1，可得小正方形的边长为，进而可得，，两式相乘，结合两角差的余弦公式即可求解. 【详解】设大的正方形边长为1，由小正方形与大正方形面积之比为1︰25， 则小正方形的边长为，由图可得： ，，   ①，  ② ①×②可得 解得． 题型02 求15°等特殊角的余弦、正弦和正切 【例2】（22-23高一上·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求15°等特殊角的余弦 【分析】由及余弦差公式求值. 【详解】， 故选：A． 【变式1】（20-21高一下·上海·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求15°等特殊角的正弦 【分析】将非特殊角转化为特殊角与的和，然后利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】解： . 故选：D. 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）求75°，15°角的余弦值． 【答案】，. 【知识点】求15°等特殊角的余弦 【分析】利用两角和与差的余弦公式即可 【详解】 ， ． 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2- 【知识点】求15°等特殊角的余弦、求15°等特殊角的正弦、求15°等特殊角的正切 【分析】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【详解】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ； （4）， 题型03 用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角差的余弦公式，即可化简求值. 【详解】． 故选：C 【变式1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据，计算出，再由展开公式即可. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】首先变换角，再结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】 ． 故答案为： 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）逆用两角和的余弦公式； （2）逆用两角差的余弦公式即可求值． 【详解】（1）原式； （2）原式． 题型04 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【例4】（22-23高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】先求出，利用差角公式求解答案. 【详解】因为，所以，所以； . 故选：A. 【变式1】（22-23高一上·福建龙岩·期末）在中，，若边上的高等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】先根据条件作图，得到为等腰直角三角形且，进而可求得，再将展开计算可得答案. 【详解】如图过作交CB的延长线于点D， 则，， 则，即为等腰直角三角形， ，即， 设，，则，， ， . 故选：A. 【变式2】（22-23高一上·广东汕头·期末）若，且α为锐角，则= 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】先化为，再根据同角平方关系和差角正弦公式计算即可. 【详解】因为α为锐角，所以，， 故. 故答案为： 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）把看作一个整体，将化为，用两角和的正弦公式求解； （2）由第（1）问求出的结果，用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）∵，∴， 又∵，∴，∴ ∴， ∴ . ∴. （2）由第（1）问，，，∴， ∴ . ∴. 题型05 用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【例5】（24-25高一下·全国·随堂练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式计算即得. 【详解】. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）在中，已知，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的正弦公式可得，即可确定选项. 【详解】由题意得，即，所以， 因为，所以，故，即， 所以是等腰三角形． 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）在中，已知，边上的高等于，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】过点作边上的高交于点，通过可得各边之间的关系，在中计算的正弦值和余弦值，利用两角和的正弦公式可得结果. 【详解】如图，过点作边上的高交于点，则为等腰直角三角形，，. 设，则， 设，则，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2). 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由诱导公式化简，再由余弦的和差角公式代入计算，即可求解； （2）由余弦的和差角公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）原式 （2）原式 . 题型06 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用两角差的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】根据锐角三角函数，结合正切和差角公式即可求解. 【详解】由于，所以, 不妨设小正方形的边长为，则，所以， 由于,所以， 所以, 故选：A 【变式2】（22-23高一上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，在上取一点，使，则 ． 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】根据条件，由勾股定理即可得到，设，，结合正切的和差角公式即可得到结果. 【详解】由，得，解得， 设，，则，． 从而． 又， ． 故答案为： 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，求的值． 【答案】7. 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用差角的正切公式计算即得. 【详解】由，，得 题型07 用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 【例7】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式代入计算即可. 【详解】由两角和得正切公式得. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切和角公式得到，整理后得到答案. 【详解】， ， ． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和差的正切公式代入计算即可. 【详解】， 解得， 解得，故． 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）由两角差的正切公式即可求解； （2）由两角差的正切公式即可求解； 【详解】（1）原式. （2）原式 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】结合题意利用两角差的正切公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A 2．（23-24高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由差角公式计算即可. 【详解】. 故选：D 3．（24-25高一下·全国·课后作业）不满足的一组值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用两角差的余弦公式得，，逐一验算各个选项即可求解. 【详解】因为，所以， 对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，符合题意； 故选：C． 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用两角和的正切公式计算即可. 【详解】因为，，则. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）若，则 的可能值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据两角和的余弦公式可知，，代入选项进行判断即可. 【详解】由题意得， ， ，当 或 时均符合， 当 或 时不符合. 故选：AC. 6．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦、余弦的两角和差公式即可逐一求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 7．（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 8．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得，由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的余弦公式即可得解． 【详解】在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆交于点， ，设，则， 又，，， ． 故答案为：． 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）用两角和的余弦公式证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用两角和的余弦公式即可证明结论. 【详解】证明：， 故. 10．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式可求值； （2）逆用两角和的正切公式可求值． 【详解】（1） （2） ． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：． 【答案】见解析 【分析】由已知结合，及和差角公式进行化简即可证明． 【详解】，， ， 即 ． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据两角和差的正余弦公式及正切公式即可求解． 【详解】（1）． （2）． （3）． （4）． 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可； （2）利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）. 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，进而得到的值. 【详解】因为，， 所以, 因为，都是锐角， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和、差的正弦可求得和的值，即可得到. 【详解】由题意得， 联立两式得， 故． 故选：A. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用拆角变换由和求得，再将拆角后展开，代入以上结论即得. 【详解】由， 因，代入可得，， 则. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查和（差）角公式在求解函数值上的应用，属于难题. 解题的关键在于两次拆角变换，①，利用题设求得；②，利用已知和所得结论求解. 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出和的值，利用两角和与差的三角函数公式求出结果即可. 【详解】由题意可知，设直角三角形两直角边为a，， 则，解得， ， ， 故选：B 二、多选题 5．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据三角恒等变换，化简求值. 【详解】A. ，故A正确； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D正确. 故选：ACD 6．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在中，下列说法正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则该三角形的形状一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是直角三角形 【答案】ABD 【分析】移项，根据两角和的余弦公式，以及三角形内角和定理判断A； 利用三角形内角和定理化简，结合两角和差的正弦公式判断B； ，在中，得或，判断C； 利用向量，得，判断D. 【详解】对于A，若，则，即， 即，所以，所以是钝角三角形，故A正确； 对于B，若，则，即， 即，因为在中，只有，所以该三角形的形状一定是等腰三角形，故B正确； 对于C，若，在中，得或， 则或，则是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，若，则，所以一定是直角三角形，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 7．（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式计算化简可得结果. 【详解】易知 故答案为： 8．（24-25高一上·吉林松原·期末）已知，且，则 . 【答案】/ 【分析】由两角差的正弦公式可得，再利用同角间关系即可求出余弦. 【详解】因为， 且， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由于，所以利用两角差的正公式化简后可得，然后代入等式的左边化简可得结论. 【详解】证明：因为， 所以， 所以， 所以 所以左边 右边. 所以原等式成立. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，其中、为锐角，求的最大值. 【答案】 【分析】结合等式特征，将拆成，整理化成，取，继而将其化成关于的一元二次方程，利用判别式非负，解之即得. 【详解】∵、为锐角，且， ∴， 化简可得， 即， 整理得：，取，则得， 依题意，该方程有实数解，故， 解得. ∵为锐角，∴， 则的最大值是. 11．（24-25高一上·吉林·期末）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）逆用两角差的正弦公式计算即可； （2）逆用两角和的余弦公式计算即可； （3）由，再逆用两角和的正切公式求解即可. 【详解】（1）由公式，得. （2）由公式，得. （3）由公式及， 得. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过C作，利用直角三角形边角关系求出即可得解. （2）求得，再分别求出即可得解. 【详解】（1）如图，过C作于，    由，得四边形为矩形， 又，，，则，， 而，，则，， 于是，，在中，同理， 所以，. （2）由，，得， ， 而，，则， 又，，则， 所以. 13．（20-21高一下·上海虹口·期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析. 【分析】（1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”； （2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”. 【详解】（1）因为，取， 则，，， 显然，即不能构成三角形的三边， 故函数不是“保三角形函数”. （2）①当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； ②当时，，所以最大. 由得，， 故，即能构成三角形的三边； ③当时，，所以最大. 由得，所以， 故，即能构成三角形的三边； 综合①②③可知，函数是“保三角形函数”. 【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分，，三种情况证明能构成三角形的三边. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 两角和与差的三角函数 目录 题型归纳 1 题型01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 2 题型02 求15°等特殊角的余弦、正弦和正切 3 题型03 用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 4 题型04 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 4 题型05 用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 5 题型06 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 6 题型07 用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 11 知识点01两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 题型01已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【例1】（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一·全国·课后作业）在中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一下·上海闵行·期中）已知，且，则 . 【变式3】（24-25高一·上海·随堂练习）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β且小正方形与大正方形面积之比为1︰25，求的值． 题型02 求15°等特殊角的余弦、正弦和正切 【例2】（22-23高一上·云南·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一下·上海·课后作业）的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·全国·课堂例题）求75°，15°角的余弦值． 【变式3】（2023高一上·全国·专题练习）利用和（差）公式，求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 题型03 用和逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业） ． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）化简： (1)； (2)． 题型04 已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【例4】（22-23高一上·福建福州·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·福建龙岩·期末）在中，，若边上的高等于，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·广东汕头·期末）若，且α为锐角，则= 【变式3】（20-21高一·全国·课后作业）已知，. (1)求的值； (2)求的值. 题型05 用和逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【例5】（24-25高一下·全国·随堂练习）化简等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）在中，已知，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）在中，已知，边上的高等于，则 ． 【变式3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求值： (1)； (2). 题型06 已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知，则（    ） A．－3 B．2 C．3 D．不存在 【变式1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，已知E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点F，H分别在边AD，EC上，若．则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，，在上取一点，使，则 ． 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，求的值． 题型07 用和逆用和、差角的正切公式化简、求值 【例7】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）化简下列各式： (1)； (2). 【夯实基础】 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若，，则等于（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高一下·山东临沂·期中）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）不满足的一组值的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一上·全国·课后作业）（多选）若，则 的可能值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏盐城·期中）下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高一上·天津南开·期末）已知、为锐角，，，则 . 8．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，角为第四象限角，角的终边与单位圆O交于点，若，则 ． 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）用两角和的余弦公式证明：． 10．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 11．（23-24高一·上海·课堂例题）证明：． 12．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知角，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计．弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较大的锐角为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）下列各式中，计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）在中，下列说法正确的是（   ） A．若，则是钝角三角形 B．若，则该三角形的形状一定是等腰三角形 C．若，则一定是等腰三角形 D．若，则一定是直角三角形 三、填空题 7．（24-25高一上·全国·课后作业） ． 8．（24-25高一上·吉林松原·期末）已知，且，则 . 四、解答题 9．（24-25高一上·上海·课后作业）求证：. 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，其中、为锐角，求的最大值. 11．（24-25高一上·吉林·期末）利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 12．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 13．（20-21高一下·上海虹口·期中）如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”. （1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由； （2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$