第七章一元一次不等式 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

7.1.1　不等式 知识点1　不等式 基础过关全练 1.(2024江苏宿迁泗阳期末)下列各式中,是不等式的是 (        ) A.x=3　　　     B.x-1>0 C.x+y=1　　　    D.4x+5 B 解析    A.x=3是一元一次方程,不符合题意;B.x-1>0是不等式, 符合题意;C.x+y=1是二元一次方程,不符合题意;D.4x+5是代 数式,不符合题意.故选B. 2.(新独家原创)若2x-3y    2 024是不等式,则“    ”内不能是  (　    ) A.=　　　    B.≠　　　    C.<　　　    D.≥ A 解析　因为2x-3y≠2 024,2x-3y<2 024,2x-3y≥2 024都是不等 式,2x-3y=2 024是方程,不是不等式,所以“    ”内不能是=.故 选A. 3.(2024河南郑州中原期末)下列式子中,是不等式的有 (        ) ①x=1;②3x+4y>0;③-2<0;④2x-3≥0;⑤y>1;⑥m+n. A.2个　　　    B.3个　　　    C.4个　　　    D.5个 C 解析　①x=1是一元一次方程,不是不等式,不符合题意;②3x +4y>0是不等式,符合题意;③-2<0是不等式,符合题意;④2x-3 ≥0是不等式,符合题意;⑤y>1是不等式,符合题意;⑥m+n是 代数式,不是不等式,不符合题意.故选C. 知识点2　不等式的解 4.(2024湖南益阳沅江一模)下列各数中,是不等式1-2x>0的解 的是 (　    ) A.0　　　    B.1　　　    C.2　　　    D.3 A 解析　将各选项分别代入1-2x>0,可知A选项符合题意.故选 A. 5.(新独家原创)如果x=-2是某不等式的一个解,那么该不等式 不可能是 (　    ) A.x>-1　　　    B.x<3 C.x>-5　　　    D.x<0 A 解析　因为-2<-1,所以x=-2不是不等式x>-1的解. 6.下列说法错误的是 (　    ) A.不等式x<3的整数解有无数个　　　     B.不等式x>-2的负整数解只有2个 C.3是不等式2x-2≤4的一个解 D.不等式x<-2的所有解都是不等式x<2的解 B 解析　不等式x>-2的负整数解只有-1.故选B. 7.(新独家原创)在|-1|,-12 024,-(-2)和-|-2|中,是不等式3x+1>-2的 解的有 (　    ) A.1个　　　    B.2个 C.3个　　　    D.4个 B 解析　将|-1|=1,-12 024=-1,-(-2)=2,-|-2|=-2分别代入不等式3x+ 1>-2检验,可知|-1|和-(-2)是不等式的解,故选B. 8.下列各数中,哪些是不等式x+1<4的解?哪些不是该不等式 的解? 8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、-6. 解析　将各数分别代入x+1<4检验,可知2、1、0、2.5、-6是 该不等式的解,8、7、5.5、4不是该不等式的解. 知识点3　列不等式表示不等关系 9.(2024广东佛山外国语学校月考)y与2的差大于0,用不等式 表示为 (　    ) A.y-2>0　　　     B.y-2<0 C.y-2≥0　　　    D.y-2≤0 A 解析　根据题意可得y-2>0.故选A. 10.(易错题)(2024福建三明期末)某电梯标明“载客不超过13 人”,设载客人数为x,x为自然数,则“载客不超过13人”用不 等式表示为 (　    ) A.x<13　　　    B.x>13　　　    C.x≤13 　　　    D.x≥13 C 解析　根据“载客不超过13人”可得x≤13,故选C. 11.(2024山西晋中寿阳期中)“x的3倍与2的差不大于-1”用 不等式表示为　　　    . 3x-2≤-1 解析　不大于即小于或等于,故“x的3倍与2的差不大于-1” 用不等式表示为3x-2≤-1. 12.(新独家原创)小明暑假去文具店买了2根跳绳和1个足球, 付款时给售货员100元,售货员说:“同学,你给的钱不够哦.” 若设跳绳的单价是a元,足球的单价是b元,则用不等式表示为 　　　　　　    . 2a+b>100 解析　由题意可得2根跳绳和1个足球的总价大于100元,即 2a+b>100. 13.(情境题·生命安全与健康)坐在行驶在公路上的汽车里会 看到不同的交通标志图形(如图),它们有着不同的意义.设汽 车的质量为x t,速度为y km/h,高度为h m,宽度为l m,用不等式 表示下列各图中的意义: 图①:　　     ;图②:　　     ;图③:　　     ;图④:　　     .   x≤5.5 y≤30 h≤4.5 l≤2 解析　易知限重、限速、限高、限宽中的“限”字的意义 就是不超过,也就是小于或等于,用“≤”表示.所以x≤5.5,y ≤30,h≤4.5,l≤2. 14.(教材变式)(2024陕西咸阳实验中学月考)根据下列数量关 系列出不等式: (1)x的 减去2是负数. (2)y的2倍与4的和不小于0. (3)a与b两数和的平方不大于b的平方. 解析    (1) -2<0. (2)2y+4≥0. (3)(a+b)2≤b2. 15.某校举行国防知识竞赛,一共设计了40道选择题,评分办 法:答对一题得5分,不答或答错一题扣2分,小明同学想要得 分不低于80分,他至少需答对多少道题?(只列不等式,不解答) 解析　设小明同学答对x道题,则不答或答错(40-x)道题,依题 意得5x-2(40-x)≥80.(答案不唯一) 16.(2023湖北恩施州来凤期末,6,★☆☆)语句“x的 与x的和 不超过5”可以表示为(　    ) A. +x≤5　　　     B. +x≥5 C. ≤5　　　    D. +x=5 能力提升全练 A 解析    x的 与x的和用代数式表示为 +x,根据“x的 与x的 和不超过5”可得 +x≤5.故选A. 17.(2024河北邯郸十三中模拟,1,★☆☆)不等式x≥3可以表 示 (　    ) A.大于3的数　　　     B.小于3的数 C.不大于3的数　　　    D.不小于3的数 D 解析　不等式x≥3可以表示不小于3的数,故选D. 18.(新考向·开放性试题)(2024甘肃武威二十一中二模,12,★ ☆☆)写出一个关于x的不等式,使-5,2都是它的解,这个不等 式可以为　　 　    . x<3(答案不唯一) 解析　由-5,2均小于3可得x<3,所以符合条件的不等式可以 是x<3(答案不唯一). 19.(跨物理·天平)(2024浙江舟山一模,12,★☆☆)如图,天平左 盘放3个乒乓球,右盘放5 g砝码,天平倾斜,设每个乒乓球的质 量为x(g),请写出x与5之间的关系:　　　    .(用不等式表示)   3x>5 解析　由题意得3x>5. 20.(2023北京通州期中,13,★★☆)如图1,一个容量为600 cm3 的杯子中装有300 cm3水,将四颗相同的玻璃球放入这个杯 子,结果水没有满,如图2,设每颗玻璃球的体积为x cm3,根据 题意可列不等式为　　　　　    .   300+4x<600 解析　水的体积为300 cm3,四颗相同的玻璃球的体积总共为 4x cm3,根据题意得300+4x<600. 21.(模型观念)某校号召同学们把零用钱积攒起来,存入银行, 第一个月小明存入50元,小华存入30元,从第二个月开始,小 明每月存入12元,小华每月存入16元,那么至少几个月后,小 华的存款额不少于小明的存款额? (1)根据题意列出不等式. (2)说明在4,5,6,7,8中是否存在(1)中所列不等式的解. 素养探究全练 解析    (1)设x个月后,小华的存款额不少于小明的存款额,根 据题意得50+12(x-1)≤30+16(x-1). (2)通过验证可知,6,7,8是(1)中所列不等式的解. 谢谢观看 谢谢观看 $$7.4　解一元一次不等式组 知识点1　一元一次不等式组及其解集 基础过关全练 1.下列各项中,是一元一次不等式组的是 (　    ) A. 　　　     B.  C. 　　　    D.  B 解析    A、D选项中均含有两个未知数,所以不是一元一次 不等式组;B选项是一元一次不等式组;C选项中,(x-2)(x+3)>0 可化为x2+x-6>0,未知数的最高次数是2,所以不是一元一次不 等式组. 故选B. 2.(2022广西梧州中考)不等式组 的解集在数轴上表示 为 (　    )   　      A B C D C 解析　不等式组 的解集为-1<x<2,在数轴上表示如图, 故选C.   3.(2024吉林长春朝阳一模)下图表示的是一个不等式组的解 集,则这个不等式组的解集是 (　    )   A.1<x<2　　　     B.1≤x<2 C.1<x≤2　　　     D.1≤x≤2 C 解析　不等式组的解集是1<x≤2.故选C. 4.已知有理数a、b对应的点在数轴上的位置如图所示.   请写出下列不等式组的解集: (1) 　　　    .    (2) 　　　    . (3) 　　　    .    (4) 　　　    . x>b x<a a<x<b 无解 知识点2　一元一次不等式组的解法 5.(2024四川眉山中考)不等式组 的解集是 (        ) A.x>1　　　     B.x≤4 C.x>1或x≤4 　　　    D.1<x≤4 D 解析     解不等式①,得x>1,解不等式②,得x≤ 4,故不等式组的解集为1<x≤4.故选D. 6.(2024四川雅安中考)不等式组 的解集在数轴上 表示为 (　    )  　　　       　　　　      C 解析　解不等式3x-2≥4,得x≥2,解不等式2x<x+6,得x<6,则 不等式组的解集为2≤x<6,将不等式组的解集表示在数轴上 如下:   7.(2024河南漯河舞阳二模)不等式组 的解集是　    　    . x>-1 解析　解不等式-2x≤3,得x≥-1.5,解不等式 >1,得x>-1, ∴不等式组的解集为x>-1. 8.(2024山东枣庄中考)写出满足不等式组 的一个整 数解:　　　     . -1(答案不唯一) 解析     由①得x≥-1,由②得x<3, ∴不等式组的解集为-1≤x<3, ∴不等式组的一个整数解可以为-1.(答案不唯一) 9.(教材变式)解下列不等式组,并把不等式组的解集表示在 数轴上. (1)(2024河南开封期末)  (2)(2024河南南阳方城月考)  解析    (1)解不等式①,得x>- ,解不等式②,得x≤3,∴不等式 组的解集为- <x≤3. 将解集在数轴上表示如图所示:   (2) 解不等式①,得x≤4,解不等式②,得x> , ∴原不等式组的解集为 <x≤4,∴该不等式组的解集在数轴 上表示如图所示:   10.(教材变式)(2024江苏扬州中考)解不等式组 并 求出它的所有整数解的和. 解析　解不等式2x-6≤0,得x≤3,解不等式x< ,得x> ,则 不等式组的解集为 <x≤3,所以整数解为1,2,3,所以整数解 的和为1+2+3=6. 知识点3　列不等式组解应用题 11.(2023山西晋中期中)某校在一次外出郊游中,把学生编为 9个组,若每组比预定的人数多1,则学生总人数超过200;若每 组比预定的人数少1,则学生总人数不到190.那么每组预定的 学生人数为 (　    ) A.21　　　    B.22 C.23　　　    D.24 B 解析　设每组预定的学生人数为x,由题意得 解 得21 <x<22 ,∵x是正整数,∴x=22,∴每组预定的学生人数 为22.故选B. 12.(2024河南郑州管城月考)某次知识竞赛共有20道题,每答 对一题得8分,每答错或不答一题都扣3分.小亮获得二等奖 (70~90分),则小亮答对了　　　　    道题. 12或13 解析　设小亮答对了x道题,根据题意得 解 得 ≤x≤ , ∵x只能取整数,∴x=12或13. 故小亮答对了12道题或13道题. 13.(2024四川泸州梓橦路学校模拟)儿童节到了,某小区决定 购买一批书包送给小朋友们.经市场调查得知,购买3个男生 书包与4个女生书包费用相同,购买5个男生书包与4个女生 书包共需1 600元. (1)求男生书包和女生书包的单价. (2)该小区要求男生书包比女生书包多4个,两种书包至少需 要22个,且购买两种书包的费用不超过5 000元,求该小区有 多少种购买方案. 解析    (1)设男生书包的单价是x元,女生书包的单价是y元, 根据题意得 解得  答:男生书包的单价是200元,女生书包的单价是150元. (2)设购买m个女生书包,则购买(m+4)个男生书包, 根据题意得  解得9≤m≤12, ∵m为正整数,∴m可以为9,10,11,12. 答:该小区有4种购买方案. 14.(2024河南中考,5,★☆☆)下列不等式中,与-x>1组成的不 等式组无解的是 (　    ) A.x>2　　　    B.x<0　　　    C.x<-2 　　　    D.x>-3 能力提升全练 A 解析　∵-x>1,∴x<-1.A. 无解,故此选项符合题意;B.  的解集是x<-1,故此选项不符合题意;C. 的解集 是x<-2,故此选项不符合题意;D. 的解集是-3<x<-1,故 此选项不符合题意.故选A. 15.(2024河南开封期末,10,★★☆)若关于x的不等式组  恰好有4个整数解,则a的取值范围为 (　    ) A.4≤a<5　　　    B.4≤a≤5 C.5≤a<6　　　    D.5≤a≤6 C 解析     由①得x>1,由②得x≤a,∵不等式组有解, ∴1<x≤a,∵不等式组恰好有4个整数解,∴5≤a<6.故选C. 16.(新考向·新定义试题)(2023河南南阳西峡期末,7,★★☆) 定义一种新运算:a⊗b=2a-b+3.例如:5⊗4=2×5-4+3=9,则不等 式组 的解集为 (　    ) A.x>3　　　    B.3<x<6　　　    C.无解　　　    D.-1<x<6 B 解析　由0.5⊗x>-2得1-x+3>-2,解得x<6,由2x⊗5>3x+1得4x-5 +3>3x+1,解得x>3,∴不等式组的解集为3<x<6,故选B. 17.(新考向·新定义试题)(2024河南周口郸城期中,14,★★☆) 定义:对于任何实数m,符号[m]表示不大于m的最大整数.已知 [x]=a,则a≤x<a+1.例如:若[x]=4,则4≤x<5.如果[x-1]=2 024, 那么x的取值范围是　　　　 　    .  2 025≤x<2 026 解析　由题意可得2 024≤x-1<2 025,解得2 025≤x<2 026. 18.(新考向·代数推理)(2024重庆沙坪坝凤鸣山中学教育集团 期中,16,★★☆)已知关于x,y的方程组 其中-3≤t ≤1,若M=x-y,则M的最大值为　　　    .  3 解析     ①+②,得2x-2y=4+2t,∴x-y=2+t,∵-3≤t ≤1,∴-1≤2+t≤3,即-1≤x-y≤3,∴-1≤M≤3,∴M的最大值 为3. 19.(2023河南商丘柘城期末,15,★★☆)若关于x,y的二元一次 方程组 的解满足 则m的取值范围 为　　　　     . -5<m<  解析     ①+②,得3x+3y=-3m+9,∴x+y=-m+ 3,①-②,得x-y=-5m+1,∵ ∴ 解不等 式③,得m< ,解不等式④,得m>-5,∴-5<m< . 20.(2024河南洛阳宜阳期末,21,★★☆)已知关于x、y的方程 组 的解都为正数. (1)求m的取值范围. (2)化简:|3m+2|-|m-5|. 解析    (1) ①+②,得2x=6m+4, ∴x=3m+2,①-②,得2y=-2m+10,∴y=-m+5,∵x、y都是正数, ∴ 由③得m>- , 由④得m<5,∴m的取值范围是- <m<5. (2)由(1)知- <m<5,∴3m+2>0,m-5<0, ∴|3m+2|-|m-5|=3m+2+m-5=4m-3. 21.(2024河南郑州惠济外国语中学月考,20,★★☆)已知关于 x、y的方程组  (1)若此方程组的解满足-1<x+y≤3,求a的取值范围. (2)在(1)的条件下,若关于m的不等式2am-m>2a-1的解集为m< 1,求满足条件的a的整数值. 解析    (1) ①+②,得3x+3y=3+3a,∴x+y=1+a, ∵-1<x+y≤3,∴-1<1+a≤3,解得-2<a≤2. (2)∵关于m的不等式2am-m>2a-1的解集为m<1,∴2a-1<0,∴a < ,∵-2<a≤2,∴-2<a< ,∴满足条件的a的整数值为-1,0. 22.(2023湖南怀化中考,23,★★☆)某中学组织学生研学,原 计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆,则有30人没有座 位;若租用可坐乘客60人的B种客车,则可少租6辆,且恰好坐 满. (1)原计划租用A种客车多少辆?这次研学去了多少人? (2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆,要求B种客车不超 过7辆,且每人都有座位,则有哪几种租车方案? (3)在(2)的条件下,若A种客车租金为每辆220元,B种客车租 金为每辆300元,应该怎样租车才最合算? 解析    (1)设原计划租用A种客车x辆,则这次研学去了(45x+ 30)人, 根据题意得45x+30=60(x-6),解得x=26, ∴45x+30=45×26+30=1 200. 答:原计划租用A种客车26辆,这次研学去了1 200人. (2)设租用B种客车y辆,则租用A种客车(25-y)辆, 根据题意得 解得5≤y≤7, ∵y为整数,∴y的值为5,6,7, ∴该校共有3种租车方案, 方案1:租用5辆B种客车,20辆A种客车; 方案2:租用6辆B种客车,19辆A种客车; 方案3:租用7辆B种客车,18辆A种客车. (3)选择方案1的总租金为300×5+220×20=5 900(元); 选择方案2的总租金为300×6+220×19=5 980(元); 选择方案3的总租金为300×7+220×18=6 060(元). ∵5 900<5 980<6 060, ∴租用5辆B种客车,20辆A种客车最合算. 23.(2024吉林白山江源期末,25,★★☆)“天青色等烟雨”形 容的就是青花瓷中最上等的天青色,古时只能在下雨天烧制, 不同釉色的瓷器价格也是大不相同,下表是某瓷器专卖店近 两个月两款瓷器的销售情况. 销售时间 釉色A 销售数量 釉色B 销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6 530元 第2个月 9套 5套 6 550元 (1)求釉色A,B两款瓷器每套的售价分别为多少元. (2)若釉色A瓷器每套的进价为300元,釉色B瓷器每套的进价 为600元,现专卖店计划用不超过8 500元购进釉色A,B两款 瓷器一共20套,且釉色B瓷器的数量不少于釉色A瓷器数量 的一半,请你帮忙计算有哪几种进货方案.(瓷器数量为整数) (3)在(2)的条件及进货方案下,求该专卖店卖出这些瓷器的最 大利润. 解析    (1)设釉色A瓷器每套的售价为a元,釉色B瓷器每套的 售价为b元, 由题意得 解得  答:釉色A瓷器每套的售价为350元,釉色B瓷器每套的售价为 680元. (2)设购进釉色A瓷器m套,则购进釉色B瓷器(20-m)套,由题意 得 解得11 ≤m≤13 ,∵m为整数, ∴m的值为12或13, ∴有两种进货方案:①购进釉色A瓷器12套,釉色B瓷器8套; ②购进釉色A瓷器13套,釉色B瓷器7套. (3)按方案①进货时,其利润为(350-300)×12+(680-600)×8=1 240 (元), 按方案②进货时,其利润为(350-300)×13+(680-600)×7=1 210 (元), ∵1 210<1 240, ∴该专卖店卖出这些瓷器的最大利润是1 240元. 24.(运算能力)(新考向·阅读理解试题)(2024吉林长春九台期 中)阅读下列材料. 例题:求不等式(x+2)(x-2)>0的解集. 解:要使(x+2)(x-2)>0成立,由有理数的乘法法则“两数相乘, 同号得正”可得① 或② 解不等式组①, 得x>2,解不等式组②,得x<-2.∴不等式(x+2)(x-2)>0的解集为 x>2或x<-2. 请根据上面例题的解法,解决下列问题: 素养探究全练 (1)不等式(x+4)(x-2)>0的解集是　　　    . (2)求不等式 <0的解集. 解析    (1)原不等式可化为① 或② 解不等 式组①,得x>2,解不等式组②,得x<-4,∴原不等式的解集为x> 2或x<-4. (2)原不等式可化为① 或② 解不等式组①, 得1<x<3,不等式组②无解,∴原不等式的解集为1<x<3. 谢谢观看 谢谢观看 $$7.1.2　不等式的解集 知识点1　不等式的解集 基础过关全练 1.(2024四川眉山洪雅期中)下列不等式的解集中,不包括-4的 是 (　    ) A.x≤4　　　    B.x≥-4 　　　    C.x≤-5 　　　    D.x≥-5 C 解析    x≤-5不包括-4.故选C. 知识点2　在数轴上表示不等式的解集 2.(2024湖南怀化麻阳期末)不等式x>4的解集在数轴上表示 正确的是 (　    )  　　　       　　　      D 解析　不等式x>4的解集在数轴上表示如图所示,故选D.   3.(情境题·生命安全与健康)遵守交通规则,人人有责,了解一 些交通警示标志是必要的,如图所示的交通警示标志用数轴 表示其含义正确的是 (　    )     A B C D A 解析　题中交通警示标志的含义是限高3.5米,即小于或等于 3.5米,在数轴上表示为A. 4.(教材变式)将下列不等式的解集在数轴上表示出来:①x>-1; ②x≤-2;③x≥0;④x<-3. 解析　如图.  ①　      ②  ③　      ④ 5.(2024贵州中考,4,★☆☆)不等式x<1的解集在数轴上表示 正确的是 (　    )  　　　       　　　      能力提升全练 C 解析　不等式x<1的解集在数轴上表示为  .故选C. 6.(跨物理·天平)(2022广东河源紫金二模,3,★☆☆)如图,x和5 分别是天平上两边的砝码的质量,则x的取值范围在数轴上 可表示为 (　    )     B A C D C 解析　由题图得x>5.故选C. 7.(2024江苏盐城东台期末改编,5,★★☆)关于x的不等式的解集为 x≤ ,在数轴上表示如图所示,则a的值为 (       )   A.1　　　    B. 　　　    C.-1　　　    D.-  D 解析　根据题意得 =-1,解得a=- . 故选D. 8.(运算能力)已知一个不等式的解集为x≤a,该不等式的所有 正整数解为1,2,3,4. (1)当a为整数时,a的值是多少? (2)当a为有理数时,a的取值范围是多少? 解析    (1)当a为整数时,a=4. (2)当a为有理数时,4≤a<5. 谢谢观看 谢谢观看 $$7.3　解一元一次不等式 第1课时　解一元一次不等式 知识点1　一元一次不等式的概念 基础过关全练 1.(2024河南周口商水期中)以下是一元一次不等式的是  (　    ) A.x2-1>0　　　    B.x-1>2　　　    C.x2≠3　　　    D.3>1 B 解析    A.x2-1>0中,未知数的次数是2,所以不是一元一次不等 式,不符合题意;B.x-1>2是一元一次不等式,符合题意;C.x2≠3 中,未知数的次数是2,所以不是一元一次不等式,不符合题意; D.3>1中,没有未知数,所以不是一元一次不等式,不符合题意. 故选B. 2.(易错题)(2024广东揭阳榕城期末)若(m-2)x|m-1|-3>6是关于x 的一元一次不等式,则m=　　　    .  0 解析　根据题意,得|m-1|=1且m-2≠0,解得m=0. 易错警示     　　本题易因忽略系数m-2≠0而出错. 知识点2　不等式的简单变形 3.(2024四川乐山中考)不等式x-2<0的解集是 (　    ) A.x<2　　　    B.x>2　　　    C.x<-2　　　    D.x>-2 A 解析　不等式两边同时加上2得x<2.故选A. 4.(2024江苏宿迁泗阳期末)下列各数中,是不等式5x-3<7的一 个解的是 (　    ) A. 　　　    B.2　　　    C. 　　　    D.3 A 解析　不等式两边同时加上3,得5x<10,∴x<2. 故选A. 5.(2024江苏扬州宝应期末)不等式3x≥-1+2x的解集在数轴 上表示为 (　    )  　　　       　　　      C 解析　∵3x≥-1+2x,∴3x-2x≥-1+2x-2x,∴x≥-1,故选C. 6.(2024江苏连云港新海实验中学二模)不等式3x-1>-4的解集 为　　　    . x>-1 解析　不等式两边同时加上1得3x>-3,两边同时乘 得x>-1. 7.(教材变式)(2023陕西西安月考)将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式. (1)5x>4x+6.(2)x-2<-1.(3)- >8. 解析    (1)两边同时减去4x,得5x-4x>4x+6-4x,即x>6. (2)两边同时加上2,得x-2+2<-1+2,即x<1. (3)两边同时乘-4,得x<-32. 知识点3　解一元一次不等式 8.(2024陕西中考A卷)不等式2(x-1)≥6的解集是 (　    ) A.x≤2　　　    B.x≥2 C.x≤4　　　    D.x≥4 D 解析　去括号,得2x-2≥6,移项,得2x≥6+2,合并同类项,得2x ≥8,系数化为1,得x≥4. 故选D. 9.不等式 <x+1的解集在数轴上表示正确的是 (　    )   　　　        B A B C D 解析　去分母、去括号,得x-1<3x+3,移项,得x-3x<3+1,合并 同类项,得-2x<4,系数化为1,得x>-2,将不等式的解集表示在 数轴上为 .故选B. 10.(易错题)(2023河南南阳唐河期中)不等式 ≥ -1 的非负整数解有 (　    ) A.2个　　　    B.3个　　　    C.4个　　　    D.5个 D 解析　去分母,得3(3x-2)≥5(2x+1)-15,去括号,得9x-6≥10x+5 -15,移项、合并同类项,得x≤4,所以非负整数解是0,1,2,3,4, 故选D. 易错警示     　　本题易因对“非负整数”理解不准确而出错. 11.(1)(2024广西中考)不等式7x+5<5x+1的解集为　　　    . (2)(2024河南驻马店二中月考)不等式 ≥-2的解集是　        . x<-2   x≥-1 解析    (1)移项,得7x-5x<1-5,合并同类项,得2x<-4,解得x<-2. (2)去分母,得x-3≥-4,移项,得x≥-4+3,解得x≥-1. 12.(2024河南周口商水期末)代数式 的值不小于代数式x -2的值,则x的取值范围是　　　    . x≤1 解析　根据题意得 ≥x-2,去分母、去括号,得1-3x≥2x- 4,移项、合并同类项,得-5x≥-5,解得x≤1. 13.(2024山西晋中介休期中)不等式 (x+3)≤5的最大正整数 解是　　    .  7 解析　解不等式 (x+3)≤5,得x≤7,所以不等式 (x+3)≤5的 最大正整数解是7. 14.(新独家原创)若x=-1是关于x的不等式3(x-2a)>-2x的一个 解,则a的取值范围是　　　    . a<-  解析　将x=-1代入不等式3(x-2a)>-2x,得3(-1-2a)>-2×(-1),即- 3-6a>2,解得a<- . 15.(新考法)(2024北京十三中分校期中)如图所示的是一位同 学求解不等式 ≥1- 的部分过程:   他在分析错因时写道:单独一个数或字母,在“去分母”时, 容易漏乘,应该在“1”下面标注“    ”或另作标记,提醒自 己注意. (1)“ ”内应修改的正确结果是　　　    . 12 (2)“去分母”这步,依据的不等式的基本性质是 　　　　     　　　　　  . (请写明基本性质的具体内容) 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变 解析　本题以图形的形式呈现解不等式时的错误,直观、形 象,能吸引学生的注意. (1)“○”内应修改的正确结果是12. (2)“去分母”这步,依据的不等式的基本性质是不等式两边 都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 16.(教材变式)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来. (1)(2024河南焦作温县期中)3(1+x)<2x+4. (2)(2024吉林长春第二实验中学月考)2(5x+3)≤x-3(1-2x). (3)(2024河南洛阳期中)x≤ +2. (4)(2024四川眉山中考) -1≤ . (5)(2024吉林长春月考) - >3. 解析    (1)去括号,得3+3x<2x+4,移项,得3x-2x<4-3,合并同类 项,得x<1.将解集表示在数轴上如图:   (2)去括号,得10x+6≤x-3+6x,移项、合并同类项,得3x≤-9,系 数化为1,得x≤-3.将解集表示在数轴上如图:   (3)去分母,得3x≤x-2+6,移项,得3x-x≤-2+6,合并同类项,得2x ≤4,系数化为1,得x≤2.将解集表示在数轴上如图: (4)去分母,得2(x+1)-6≤3(2-x),去括号,得2x+2-6≤6-3x,移项, 得2x+3x≤6+6-2,合并同类项,得5x≤10,系数化为1,得x≤2. 将解集表示在数轴上如图: (5)去分母,得2(x+4)-3(3x-1)>18,去括号,得2x+8-9x+3>18,移 项、合并同类项,得-7x>7,系数化为1,得x<-1.将解集表示在 数轴上如图: 17.(新考法)(2024河北邯郸邱县二模,5,★☆☆)如图,两位同 学在讨论一个一元一次不等式.   根据上面对话提供的信息,他们讨论的不等式可能是 (        ) A.2x≤10　　　     B.2x<10 C.-2x≥-10　　　     D.-2x≤-10 能力提升全练 C 解析　本题以对话形式呈现题目条件,能够激发学生的积极 性和主动性. A.2x≤10,解得x≤5,不符合题意;B.2x<10,解得x<5,不符合题 意;C.-2x≥-10,解得x≤5,符合题意;D.-2x≤-10,解得x≥5,不符 合题意. 故选C. 18.(2024安徽芜湖无为月考,10,★★☆)规定max{m,n}(m≠n) 表示m,n中较大的数,若max  - ,2 =2,则x的取值范围 是(　    ) A.x≤17　　　    B.x<17 C.x>23　　　     D.x<23 B 解析　由题意得 - <2,解得x<17.故选B. 19.(2023河南郑州期末,9,★★☆)已知不等式 < -1的 负整数解是关于x的方程 - =1的解,则a的值为 (        ) A.-3　　　    B.-2 C.2　　　     D.3 A 解析　解不等式 < -1,得x>-2,∴不等式的负整数解 为x=-1,将x=-1代入方程 - =1,得-1- =1,解得a=-3. 故选A. 20.(2023河南平顶山郏县二模,6,★★☆)已知关于x的不等式 3x-2(m-1)>2mx-1的解集是x<-1,则m的取值范围在数轴上可 表示为(　    )  A     B     C     D B 解析　不等式3x-2(m-1)>2mx-1可变形为(3-2m)x>-(3-2m), ∵关于x的不等式3x-2(m-1)>2mx-1的解集是x<-1,∴3-2m<0,解 得m> ,在数轴上表示为 .故选B. 21.(新考向·开放性试题)(2024山东烟台中考,12,★☆☆)若关 于x的不等式m- ≤1-x有正数解,则m的值可以是　 　　     (写出一个即可). 0(答案不唯一) 解析　解m- ≤1-x,得x≤2-2m,∵m- ≤1-x有正数解,∴2- 2m>0,解得m<1,∴m的值可以是0(答案不唯一). 22.(2024河南驻马店泌阳期中,14,★★☆)若x=-3是关于x的 方程x=m+1的解,则关于x的不等式2(1-2x)≥-6+m的最大整数 解为　　　    . 3 解析　把x=-3代入方程x=m+1,得m+1=-3,解得m=-4,把m=-4 代入2(1-2x)≥-6+m得2(1-2x)≥-6-4,解得x≤3,所以最大整数 解为3. 23.(2024河南新乡期末,14,★★☆)已知关于x,y的二元一次方 程组为 若x+y>2,则a的取值范围是　　　    . a>4 解析     ①-②,得2x+2y=2a-4.整理,得x+y=a-2. ∵x+y>2,∴a-2>2,解得a>4. 24.(2021四川乐山中考,17,★☆☆)当x取何正整数时,代数式  与 的值的差大于1? 解析　依题意得 - >1,去分母,得3(x+3)-2(2x-1)>6,去 括号,得3x+9-4x+2>6,移项,得3x-4x>6-2-9,合并同类项,得-x> -5,系数化为1,得x<5.∵x取正整数,∴x的值为1,2,3,4. 25.(2024湖北襄阳襄州月考,19,★☆☆)已知关于x的不等 式x> 的解集在数轴上表示如图,求a的值.   解析　由题图可知不等式的解集为x>2, ∴ =2,解得a=5. 26.(2024河南驻马店泌阳期末,22,★★☆)已知关于x、y的二 元一次方程组 的解满足x+y>0. (1)求a的取值范围. (2)化简:|2-a|-|a-3|. (3)求关于k的不等式(2a-5)k<4a-10的解集. 解析    (1)解方程组得 ∴x+y=3-2a+a-1=2-a,∵x+y> 0,∴2-a>0,∴a<2. (2)由(1)知a<2,∴2-a>0,a-3<0, ∴|2-a|-|a-3|=2-a-(3-a)=2-a-3+a=-1. (3)由(1)知a<2,∴2a-5<0,解(2a-5)k<4a-10,得k>2. 27.(新考向·新定义试题)(2024河南驻马店泌阳期中,20,★★ ☆)定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式解集范围 内,则称该一元一次方程为该不等式的“子方程”,例如:2x-1 =3的解为x=2,2x-3<9-x的解集为x<4.不难发现x=2在x<4的范 围内,所以一元一次方程2x-1=3是不等式2x-3<9-x的“子方 程”. 问题解决: (1)方程①3x-1=0,② x-1=0,③2x+3(x+2)=11中,是不等式3(x- 2)-x≤-4的“子方程”的是　　　    .(填序号) (2)若关于x的方程2x-k=3是不等式 <x- 的“子方程”, 求k的取值范围. 解析    (1)方程①3x-1=0的解是x= ,方程② x-1=0的解为x=  ,方程③2x+3(x+2)=11的解为x=1.不等式3(x-2)-x≤-4的解集 是x≤1,∴不等式3(x-2)-x≤-4的“子方程”是①③,故答案为 ①③. (2)由方程2x-k=3可得x= ,由不等式 <x- 可得x>-1, ∵关于x的方程2x-k=3是不等式 <x- 的“子方程”, ∴ >-1,解得k>-5. 第2课时　列一元一次不等式解应用题 知识点4　列一元一次不等式解应用题 基础过关全练 1.(教材变式)(2024河南开封期末)一次智力测验,有20道选择 题,评分标准:答对1道题得5分,答错1道题扣2分,不答题不得 分也不扣分,小明有2道题未答,则他至少要答对几道题,总分 才不会低于60分?设他要答对x道题,则可列不等式为 (        ) A.5x-2(20-2-x)≥60 B.5x-2(20-x)≥60 C.5x-2(20-2-x)<60 D.5x+2(20-x)<60 A 解析　根据题意可得5x-2(20-2-x)≥60,故选A. 2.(教材变式)(2024吉林长春南关博硕学校模拟)某高速公路 工地需要实施爆破,操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前 跑到400米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是 厘米 /秒,人跑步的速度是5米/秒.设导火线的长度为x厘米,则导火 线必须满足的条件是 (　    ) A. < 　　　    B. >  C. < 　　　    D. >  B 解析　依题意得 > ,即 > .故选B. 3.(2024四川达州达川期末)某精品水果店准备将进价为40元/千克,标价为55元/千克的优质车厘子进行打折销售,为了保证利润率不低于10%,则该车厘子最多打　　　    折. 八 解析　设该车厘子打x折销售,根据题意得55× -40≥40×10%,解得x≥8,∴x的最小值为8,即该车厘子最多打八折. 4.(新独家原创)规定:投进一个球可得3分,投丢一个球扣1分, 每人投篮12次.每位同学的得分不低于28分才算过关,则每位 同学至少需要投进　　　    个球. 10 解析　设投进了x个球,则投丢了(12-x)个球,根据题意得3x-(12- x)≥28,解得x≥10,∴x的最小值为10,∴每位同学至少需要 投进10个球. 5.(2024山西晋中榆次一模)为帮助同学们新学期以新形态树 新目标,以新姿态显新气象,王老师准备在开学第一天举行 “奋斗,让青春更有活力”的主题班会,计划让15名同学进行 总计不超过35分钟的演讲或朗诵活动,要求每个活动只能有 一名同学参加,每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式,演 讲时间为3分钟,朗诵时间为2分钟,那么最多能安排　　　     名同学进行演讲. 5 解析　设安排x名同学进行演讲,由题意可得3x+2(15-x)≤35, 解得x≤5,∴x的最大值为5,∴最多能安排5名同学进行演讲. 6.(情境题·生命安全与健康)(2024山西中考)为加强校园消防 安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共 50个,其中水基灭火器的单价为540元,干粉灭火器的单价为 380元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最 多可购买这种型号的水基灭火器多少个?        解析　设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭 火器(50-x)个,根据题意得540x+380(50-x)≤21 000,解得x≤1 2.5,∵x为整数,∴x的最大值为12. 答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个. 7.(跨生物·营养与安全)随着中国经济的快速增长,物质日益 丰富,人们对食品的营养与安全要求越来越高.腾飞兴趣小组 从食品安全监督部门提供的一周快餐营养情况中抽查了一 天的信息:①快餐的成分:蛋白质、脂肪、矿物质、碳水化合 物;②快餐的总质量为400 g;③脂肪所占的百分比为5%;④所 含蛋白质质量是矿物质质量的4倍. (1)若碳水化合物的质量占快餐总质量的40%,求这份快餐所 含矿物质的质量. (2)若这份快餐所含碳水化合物的质量不低于140 g,求所含 矿物质质量m(g)的取值范围. 解析    (1)由题意可得,400×(1-5%-40%)× =400×55%× = 44(g). 答:这份快餐所含矿物质的质量为44 g. (2)∵所含矿物质的质量为m g,所含蛋白质质量是矿物质质 量的4倍,∴所含蛋白质的质量是4m g, ∵这份快餐所含碳水化合物的质量不低于140 g, ∴400-400×5%-m-4m≥140,解得m≤48. 答:所含矿物质质量m(g)的取值范围是0<m≤48. 8.(2024山西晋中介休期中,9,★★☆)小涵家距图书馆的路程是8 km,他骑自行车前往图书馆看书,上午8:30出发,先以15 km/h的速度骑行了x h,随后以18 km/h的速度骑行,结果他在9:00之前赶到了图书馆.根据题意列出的不等式为 (　    ) A. < +x　　　    B. < +x C. +x< 　　　    D. +x<  C 解析　由题意得 +x< .故选C. 9.(2024山西百校联考,14,★☆☆)某专卖店采购了2.5 L装6.7 度和7.0度的陈醋共2 000壶,其零售价如下,若能全部售出,且 总销售收入不低于59 600元,则最多可购入2.5 L装6.7度的陈 醋　　　    壶. 2.5 L装 6.7度 27元/壶 7.0度 34元/壶 1 200 解析　设购买了2.5 L装6.7度的陈醋x壶,则购买了2.5 L装7.0 度的陈醋(2 000-x)壶,由题意可得27x+34(2 000-x)≥59 600,解 得x≤1 200,∴最多可购入2.5 L装6.7度的陈醋1 200壶. 10.(2024湖南中考,23,★★☆)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需 110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元. (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价. (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费 用不超过38 000元,则最多可以购买脐橙树苗多少棵? 解析    (1)设脐橙树苗的单价为x元,黄金贡柚树苗的单价为y 元, 由题意得 解得  答:脐橙树苗的单价为50元,黄金贡柚树苗的单价为30元. (2)设购买脐橙树苗m棵,则购买黄金贡柚树苗(1 000-m)棵,由 题意得50m+30(1 000-m)≤38 000,解得m≤400. 答:最多可以购买脐橙树苗400棵. 11.(2024河南南阳镇平月考,23,★★☆)某健身器材专卖店推 出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种. 活动一:所购商品按原价打八折; 活动二:所购商品按原价每满300元减80元.(如:所购商品原 价为300元,可减80元,需付款220元;所购商品原价为770元,可 减160元,需付款610元) (1)购买一件原价为460元的健身器材时,选择哪种活动更合 算?请说明理由. (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时,若选择活动一 和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价. (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时,原价在什么范 围内,选择活动二比选择活动一更合算?设一件这种健身器 材的原价为a元,请直接写出a的取值范围. 解析    (1)选择活动一更合算.理由:当购买一件原价为460元 的健身器材时,活动一需付款460×0.8=368(元),活动二需付款 460-80=380(元),∵368<380,∴选择活动一更合算. (2)设一件这种健身器材的原价为x元,由题意得0.8x=x-80,解 得x=400. 答:一件这种健身器材的原价是400元. (3)300≤a<400或600≤a<800. 详解:∵一件这种健身器材的原价为a元,∴选择活动一需付 款0.8a元,选择活动二:当0<a<300时,需付款a元,当300≤a<600时,需付款(a-80)元,当600≤a<900时,需付款(a-160)元.当0<a <300时,a>0.8a,此时无论a为何值,都是选择活动一更合算;当 300≤a<600时,令a-80<0.8a,解得a<400,∴当300≤a<400时, 选择活动二更合算;当600≤a<900时,令a-160<0.8a,解得a<800,∴当600≤a<800时,选择活动二更合算. 综上,当300≤a<400或600≤a<800时,选择活动二更合算. 12.(运算能力)(分类讨论思想)(2024吉林省实验中学期中)阅 读下面的材料:对于有理数a,b,我们定义符号max{a,b}:当a<b 时,max{a,b}=b;当a≥b时,max{a,b}=a.例如:max{-4,2}=2,max {5,5}=5. 根据上面的材料,解答下列问题: (1)max{-1,3}=　　　    . (2)若max{x-1,7}=x-1,则x的取值范围是　　　    . (3)当max{2x-3,x+2}= 时,求x的值. 素养探究全练 解析    (1)max{-1,3}=3,故答案为3. (2)∵max{x-1,7}=x-1,∴x-1≥7,解得x≥8,故答案为x≥8. (3)当2x-3≥x+2时,2x-3= ,解得x=-9(此时2x-3<x+2,不符 合题意,舍去);当2x-3<x+2时,x+2= ,解得x= .故x的值为  . 方法解读     分类讨论思想的应用 所谓分类讨论,就是当题目所给的对象不能进行统一研究时, 就需要对研究对象按某个标准进行分类,然后对每个类别进 行研究,得出每一类的结论,最后将各类结果进行综合,得到 整个问题的解答.分类讨论思想是一种非常重要的数学思想, 同时也是一种逻辑方法与解题策略.本题运用分类讨论思想 求字母的值. 13.(运算能力)(新考向·实践探究试题)(2024河南周口郸城期 末改编)如图所示的是小欣在“A超市”买的一些商品的发 票,后来不小心发票被污染了,有几个数据看不清. (1)根据发票中的信息,请求出小欣这次采购中巧克力与小饼 干各买了多少包. (2)五一期间,小欣发现A、B两超市以同样的价格出售同样 的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在A超市累计购物 超过50元后,超过50元的部分打九折;在B超市累计购物超过 100元后,超过100元的部分打八折.若小欣的购物金额在100 元以上,问:五一期间,小欣去哪家超市购物更划算?   解析    (1)设巧克力买了x包,小饼干买了y包,根据发票信息可 得,  解得  答:巧克力买了1包,小饼干买了4包. (2)设小欣的购物金额为z(z>100)元,则在A超市购物需付款5 0+0.9(z-50)=(0.9z+5)元,在B超市购物需付款100+0.8(z-100)= (0.8z+20)元.当0.9z+5=0.8z+20时,z=150;当0.9z+5>0.8z+20时, z>150;当0.9z+5<0.8z+20时,z<150.∴当购物金额在100元和150元之间时,去A超市更划算;当购物金额等于150元时,去两 家超市都一样;当购物金额超过150元时,去B超市更划算. $$7.2　不等式的基本性质 知识点　不等式的基本性质 基础过关全练 1.(教材变式)(2024广东广州中考)若a<b,则(　    ) A.a+3>b+3　　　    B.a-2>b-2 C.-a<-b　　　     D.2a<2b D 解析    a<b,两边同时加上3,得a+3<b+3,故A不符合题意;a<b, 两边同时减去2,得a-2<b-2,故B不符合题意;a<b,两边同时乘 -1,得-a>-b,故C不符合题意;a<b,两边同时乘2,得2a<2b,故D符 合题意.故选D. 2.(2024河南商丘夏邑月考)已知- a<- b,则下列不等式一定 成立的是 (　    ) A.a<b　　　     B.a>-b C.a-b>0　　　    D.a+b<0 C 解析　∵- a<- b,∴a>b,∴a-b>0,故选C. 3.若0<m<1,则m,m2, 的大小关系是 (　    ) A.m<m2< 　　　    B.m2<m<  C. <m<m2　　　    D. <m2<m B 解析　∵0<m<1,∴由不等式的基本性质2得1< ,m2<m,∴m2 <m< .故选B. 4.(1)(2024湖北襄阳襄州月考)已知m>n,则-2m　　　    -2n (填“>”“=”或“<”). (2)(新独家原创)若a>b,则2 024a-2 024　　    2 024b-2 024 (填“>”“=”或“<”). < > 解析    (1)∵m>n,∴-2m<-2n. (2)∵a>b,∴2 024a>2 024b,∴2 024a-2 024>2 024b-2 024. 5.(新考向·代数推理)已知x>y. (1)比较9-x与9-y的大小,并说明理由. (2)若mx+4<my+4,求m的取值范围. 解析    (1)9-x<9-y.理由如下:∵x>y,∴-x<-y(不等式的基本性 质3),∴9-x<9-y(不等式的基本性质1). (2)由x>y,mx+4<my+4可知,m<0. 6.(新考法)(2024吉林长春中考,5,★☆☆)不等关系在生活中 广泛存在.如图,a、b分别表示两位同学的身高,c表示台阶的 高度.图中两人的对话体现的数学原理是 (　    ) A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,b>c,则a>c 能力提升全练 C.若a>b,c>0,则ac>bc D.若a>b,c>0,则 >  A 解析　本题运用比较身高类比不等式的基本性质,能够直 观、生动地激发学生的积极性. 由题意得a>b,∴a+c>b+c,∴题图中两人的对话体现的数学 原理是若a>b,则a+c>b+c.故选A. 7.(2024吉林长春模拟,2,★☆☆)已知a<b,则一定有6-4a    6-4 b,“    ”中应填的符号是(　    ) A.>　　　    B.<　　　    C.≥　　　    D.= A 解析　∵a<b,∴-4a>-4b,∴6-4a>6-4b,故选A. 8.(2024山东济宁泗水期末,8,★★☆)某小区便利店负责人上 午买回来30千克黄瓜,价格为每千克x元,下午他又买回来20 千克黄瓜,价格为每千克y元,后来他以每千克 元的价格 卖完后,发现自己赔了钱,其原因是 (　    ) A.x<y　　　    B.x>y　　　    C.x≤y　　　    D.x≥y B 解析　根据题意得,他买黄瓜每千克的平均价格是  元,因为以每千克 元的价格卖完后,发现自己赔了钱,所 以 > ,所以x>y.所以赔钱的原因是x>y.故选B. 9.(推理能力)(新考向·代数推理)(2024北京大兴期末)两个数比较大 小,可以通过它们的差来判断,例如:比较m和n的大小,我们可以这样判断,当m-n>0时,一定有m>n;当m-n=0时,一定有m=n;当m-n<0时,一定有m<n.请你根据上述方法解答下列问题. (1)已知M=4a+2b,N=3a+3b,当a>b时,一定有M　　　    N(填 “>”“=”或“<”). (2)已知M= a- b-1,N= b- a,当M>N时,一定有a　　　    b 素养探究全练 (填“>”“=”或“<”). > > 解析    (1)M-N=(4a+2b)-(3a+3b)=4a+2b-3a-3b=a-b,∵a>b,∴a -b>0,∴M>N. (2)∵M>N,∴M-N>0,即 -  b- a >0,整理得a-b- 1>0,∴a-b>1,∴a>b. 谢谢观看 谢谢观看 $$