2025年中考数学一轮专题考点突破：三角形的内切圆与内心

2025年中考数学一轮专题考点突破：三角形的内切圆与内心 知识点回顾：三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 一．选择题（共15小题） 1．△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，则点I是△DEF（　　） A．三条高的交点 B．三个内角平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（　　） A． B．3 C．1 D．2 3．如图所示，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=6，BE=4，CF=8，则△ABC的周长为（　　） A．36 B．38 C．40 D．42 4．△ABC中，∠A=68°，点I是内心，则∠BIC=（　　） A．124° B．112° C．136° D．56° 5．已知三角形内的一个点到它的三边距离相等，那么这个点是（　　） A．三角形的外心 B．三角形的重心 C．三角形的内心 D．三角形的垂心 6．如图，△ABC的内切圆⊙O与各边相切于D、E、F，且∠FOD=∠EOD=120°，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A=70°，则∠BOC=（　　） A．125° B．115° C．100° D．130° 8．如图，∠AOB=90°，一动点P从O沿O→T→S折线运动，其中0°≤∠AOT≤90°，ST∥OA，且OT=4，ST=2，⊙I为△OST的内切圆，则⊙I的半径的最大值为（　　） A．3- B．3+ C．1 D． 9．如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm.如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（　　） A．150π B．150 C．300 D．200 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF为（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 11．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，∠B=45°，∠C=55°，连接OE、OF，则∠EDF等于（　　） A．45° B．55° C．50° D．70° 12．如图，△ABC和△DBC中，点D在△ABC内，AB=AC=BC=2，DB=DC，且∠D=90°，则△ABC的内心和△DBC的外心之间的距离为（　　） A． B．1 C． D． 13．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O经过点C，分别过点B，C作⊙O的两条切线相交于点D，OD交⊙O于点E，AE的延长线交BD于点F．下面结论中，错误的是（　　） A．BC⊥OD B．AC∥OD C．FD=FE D．点E为△BCD的内心 14．如图，点1为△ABC的内切圆的圆心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，连接BD．已知AD=5，BD=3，则AI的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 15．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、BD、DC．下列说法中正确的有（　　） ①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合； ②I到△ABC三个顶点的距离相等； ③∠BID=2∠BAD； ④DI=DB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 16．如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为 ______． 17．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，若CD=5，则CE的长为 ______． 18．如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 ______． 19．如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，则花圃的面积为 ______． 20．如图，正方形ABCD的边长为6，正方形CEFG的边长为，将正方形CEFG绕点C旋转，BG和DE相交于点K，则AK的最大值是 ______．连结BE，当点C正好是△BKE的内心时，CK的长是 ______． 三．解答题（共6小题） 21．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm,求AF，BD，CE的长． 22．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）求证：DB=DC； （2）若AB=AC，∠BAC=80°，AD=3，求的长． 23．如图，⊙O为Rt△ABC（∠ACB=90°）的内切圆，∠BOC=105°，AB=4 cm. （1）∠A的度数； （2）△ABC的面积． 24．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，切AB、AC于点D、E． （1）如果∠DOE=100°，∠ACB=60°，求∠ABC的度数． （2）如果∠A=70°，求∠BOC的度数． 25．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D． （1）求证：∠BAD=∠CBD； （2）求证：BD=ID； （3）连接BI、CI，求证：点D是△BIC的外心． 26．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC； （1）求证：直线DM是⊙O的切线； （2）若DF=2，AF=5，求BD长． 2025年中考数学一轮专题考点突破：三角形的内切圆与内心 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、D 2、A 3、A 4、A 5、C 6、B 7、A 8、A 9、C 10、C 11、C 12、C 13、C 14、C 15、B  二．填空题（共5小题） 16、117.5°； 17、5； 18、π； 19、4π； 20、6；；  三．解答题（共6小题） 21、解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AF=AE，BF=BD，CD=CE． 设AF=AE=x,则BF=BD=5-x,EC=DC=6-x. 根据题意得5-x+6-x=7． 解得；x=2cm. ∴AF=2cm.BD=5-x=5-2=3cm,EC=6-x=4cm. ∴AF=2cm,BD=3cm,EC=4cm. 22、解：（1）∵E是内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． ∴∠BAD=∠CAD， ∴， ∴DB=DC； （2）∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴AD是△ABC的外接圆的直径， 如图，设圆心为O，连接OB， ∵∠BAC=80°，OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=∠OAC=40°， ∴∠AOB=100°， ∵AD=3， ∴半径为1.5， ∴的长为． 23、解：（1）∵⊙O为Rt△ABC（∠ACB=90°）的内切圆， ∴OC平分∠ACB，OB平分∠ABC， ∴∠OCB=×90°=45°， ∴∠OBC=180°-∠OCB-∠BOC=180°-45°-105°=30°， ∴∠ABC=2∠OBC=60°， ∴∠A=90°-∠ABC=30°； （2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°， ∴BC=AB=×4=2， ∴AC=BC=2， ∴△ABC的面积=•2•2=2（cm2）． 24、解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OD⊥AB，OE⊥AC，而∠DOE=100°， ∴∠A=360°-90°-90°-100°=80°， ∴∠ABC=180°-80°-60°=40°． （2）∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠ABO=∠CBO（设为α），∠ACO=∠BCO（设为β）， ∵∠A=70°， ∴2（α+β）=180°-70°=110°， ∴α+β=55°， ∴∠BOC=180°-55°=125°． 25、证明：（1）∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD； （2）如图，连接BI， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∴∠BID=∠ABI+∠BAD， ∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD， ∵∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴ID=BD； （3）如图，连接BI、CI，DC， ∵∠BAD=∠CAD， ∴=， ∴BD=CD， ∴BD=CD=ID， ∴点D是△BIC的外心． 26、（1）证明：如图所示，连接OD， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD， ∴=， ∴OD⊥BC， 又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC， ∴∠BDM=∠DBC， ∴BC∥DM， ∴OD⊥DM， 又∵OD为⊙O半径， ∴直线DM是⊙O的切线； （2）∵=， ∴∠DBF=∠DAB， 又∵∠BDF=∠ADB（公共角）， ∴△DBF∽△DAB， ∴，即DB2=DF•DA， ∵DF=2，AF=5∴DA=DF+AF=7 ∴DB2=DF•DA=14 ∴DB=． 学科网（北京）股份有限公司 $$