1.3乘法公式第3课时（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（北师大版2024）

1.3 乘法公式 第1章 整式的乘除 第3课时 北师大版（2024） 七年级 下册 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点;（重点） 2.会运用公式进行简单的运算；(难点) 新课导入 复习回顾 平方差公式：(a+b)(a−b)= . 平方差公式的结构特征: (1)_________________________________________________， (2)　 . a2 − b2 即两数和与这两数差的积,等于它们的　　　　.  平方差　 左边是两个二项式的乘积，即两项和与这两项差的积 右边是这两项的平方差 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.你发现了什么？ a a b b 新课导入 情境引入 你会求这块试验田的面积吗？有几种方法呢？ 新课讲授 探究：完全平方公式 计算下列各式： (2)(2+3x)2. (1)(m+3)2; 解：(1)(m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+2×3m+9 =m2+6m+9. (2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =22+2×3x+2×3x+9x2 =4+2×2×3x+9x2 =4+12x+9x2. 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？ 新课讲授 (m+3)2 = m2+6m+9, (2+3x)2 = 4+12x+9x2. 由以上计算可得： 一个二项式(两数和)的平方 两数的平方和加上这两数乘积的两倍 你能再具一些类似的例子吗？与同伴进行交流. 新课讲授 例如： (p+1)2= (p+1) (p+1) =p2+p+p+1 =p2+2p+1 (m+n)2 = (m+n)(m+n) =m2+mn+mn+n2 =m2+2mn+n2. 你能用自己的语言叙述这一结论吗? 用字母表示为：(a+b)2 = a2+2ab+b2. 两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的两倍. (1)你能用下图解释(a+b)2=a2+2ab+b2这一公式吗? 思考·交流 新课讲授 ①大正方形的面积是： . a2 ab ab b2 (a+b)2 所以(a+b)2=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2. ②大正方形的面积又可以由4小块组成，它们的面积分别为：___、___、___、___. a2 b2 ab ab 新课讲授 (2)如何计算(a-b)2=？你是怎样做的？与同伴进行交流. 两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的两倍. 解:方法一:(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2. 方法二:(a-b)2 =[a+(-b)2] =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2. 你能用自己的语言叙述这一结论吗? 用字母表示为：(a-b)2 = a2-2ab+b2. 新课讲授 (1)阴影部分的面积是： . a−b a−b a a b b ab b(a-b) (a-b)2 (2)阴影部分的面积也可以由大正方形减去______和_________. ab b(a-b) 所以(a-b)2 =a2-ab-b(a-b) =a2-2ab+b2 请你设计一个图形解释(a-b)2 =a2-2ab+b2这一公式. 尝试·思考 新课讲授 知识归纳 完全平方公式: （a+b)2= . （a-b)2= . a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 语言描述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式. 完全平方公式的特征： ①公式左边是一个二项式的完全平方． ②公式的右边是一个二次三项式,分别是二项式中每一项的平方及两项乘积的2倍． 简记为： 首平方，尾平方， 积的两倍放中央， 同号加异号减. 新课讲授 1.利用完全平方公式计算: (1)(2x-3)2; (2)(4x+5y)2; (3)(mn-a)2. (2)(4x+5y)2 =(4x)2+2·4x·5y+(5y)2 =16x2+40xy-25y2.  解:(1)(2x-3)2 =(2x)2-2·2x·3+32 =4x2-12x+9. (3)(mn-a)2 =(mn)2-2·mn·a+a2 =m2n2-2amn+a2. 新课讲授 知识归纳 利用完全平方公式计算的基本步骤: ①确定公式中的a和b;②确定和差关系;③选择公式;④计算结果. 注意:①公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可以表示含字母的单项式或多项式. ②两个平方项的底数要带上括号. ③套用公式时不要漏掉2ab项. 新课讲授 2.你认为下列各式应该怎样用完全平方公式计算? (1)(-x+3y)2; (2)(-m-n)2; (3)(a+b+c)2. 解:(1)(-x+3y)2 =[-(x-3y)]2 =(x-3y)2 =x2-6xy+9y2. (2)(-m-n)2 =[-(m+n)]2 =(m+n)2 =m2+2mn+n2. (3)(a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 新课讲授 方法归纳 完全平方公式的应用技巧: (1)当首项为负,或者两项均为负时,可以利用添括号法则变为其相反数的平方,再套公式计算; (2)三个数和的完全平方,也可以利用添括号和整体思想转化为两个数的和的完全平方进行计算. 新课讲授 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟？ 回顾·反思 用几何直观的方法对完全平方公式进行解释，不仅能清晰地“看到”公式的结构，同时能感受这样的抽象代数运算也有直观的背景. 典例分析 解:(1)(4x+0.5)2 =(4x)2+2·4x·0.5+0.52 =16x2+4x+0.25. (3)(2x2-3y2)2 =(2x2)2-2·2x2·3y2+(3y2)2 =4x4-12x2y2+9y4. (2) = =-+ 例1 用完全平方公式计算: (1)(4x+0.5)2; (2); (3)(2x2-3y2)2. 典例分析 例2：如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61． 分析:先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式确定m的值． 学以致用 2.下列各式能用完全平方公式计算的是 (　　) A.(2a+b)(a-2b) B.(a+2b)(2b-a) C.(2a+b)(-2a-b) D.(b-2a)(-2a-b) 1.计算(a-3)2的结果是 (　　) A.a2+9 B.a2+6a+9 C.a2-6a+9 D.a2-9 C C 3.下列各式中与2nm-m2-n2相等的是 (　　) A.(m-n)2 B.-(m-n)2 C.-(m+n)2 D.(m+n)2 B 学以致用 5.如图所示，将完全相同的四个长方形纸片拼成一个大的正方形,根据图形用两种不同的方法表示这个大正方形的面积,则可以得出一个等式为(　　) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.(a+b)2=(a-b)2+4ab 4.若(x+a)2=x2-8x+b,则a,b的值分别为(　　) A.4,16　 B.-4,-16　 C.4,-16　 D.-4,16 D D 学以致用 6.计算:(ab-1)(-ab+1)=　　　　　　　.  7.若代数式x2+kx+25可以写成一个多项式的平方,则k=　 　.  8.若a-b=7,ab=12,则a2-3ab+b2=　　　　.  -a2b2+2ab-1 ±10 37 (2)(-4x+3y)2 =(-4x)2+2·(-4x)·3y+(3y)2 =16x2-24xy+9y2. 9.计算:(1); (2)(-4x+3y)2. 学以致用 10.计算：(1)(2x+y)2-(y-2x)2; (2)(-2x+3y)2(-2x-3y)2. 解：(1)原式=(4x2+4xy+y2)-(y2-4xy+4x2) =8xy. (2)原式=(2x-3y)2(2x+3y)2 =[(2x-3y)(2x+3y)]2 =(4x2-9y2)2 =16x4-72x2y2+81y4. 学以致用 11.某正方形的边长为a cm(a>3),若把这个正方形的边长减少3 cm,则面积减少了多少? 解:原正方形的面积为a2 cm2,现正方形的面积为(a-3)2cm2, 面积减少了a2-(a-3)2 =a2-(a2-6a+9) =a2-a2+6a-9 =(6a-9)cm2. 故面积减少了(6a-9)cm2. (a±b)2= a2 ±2ab+b2. 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍（首平方，尾平方，积的两倍放中央，同号加异号减）. 课堂小结 乘法公式3 完全平方公式 在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2. 注意 作业布置 习题1.3：3，4，11，13题. 北师大版（2024） 七年级 下册 感谢聆听 解:(1) -2·m·n+ m2-mn+n2. $$